Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm đkxđ

Bước 2: Đánh giá một vế lớn hơn hoặc bằng vế còn lại hoặc đánh giá cả hai vế.

+ Cách 1: Đưa 1 vế về dạng A² + B² + C² + … = 0

Phương trình có nghiệm ⇔ A = B = C = … = 0.

+ Cách 2 : Sử dụng các BĐT để đánh giá.

BĐT Cô-si áp dụng cho hai số dương : a² + b² ≥ 2ab

BĐT hệ quả : 2(a² + b²) ≥ (a+b)²

BĐT Cô-si áp dụng cho ba số dương : a³ + b³ + c³ ≥ 3abc

…

Bước 3 : Xét dấu = xảy ra và đối chiếu tìm nghiệm của phương trình.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

Ta có: (x-2)² ≥ 0

⇒ (x-2)² + 27 ≥ 27

Dấu “=” khi (x – 2)² = 0 ⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải:

⇔

Ta có:

Suy ra

Suy ra pt (1) ⇔

Vậy phương trình có nghiệm x = 1; y = 2; z = 3.

Ví dụ 3: Giải phương trình

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : x ≠ 0.

Nhân cả hai vế với 3x ta được : (1) .

Ta có :

Áp dụng BĐT Cô si cho ba số ta có :

⇒ VT (1) ≤ VP (1).

PT có nghiệm ⇔ 5x² = 2x² + 9 ⇔ 3x² = 9 ⇔ x² = 3 ⇔ x = ±√3 .

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = ±√3 .

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: BĐT nào dưới đây là đúng với mọi số thực x ?

A. x² + 1 ≥ 2x    B. x³ + 1 ≥ 3x

C. x⁴ + 1 ≥ 4x    D. x⁵ + 1 ≥ 5x

Đáp án: A

Bài 2: Phương trình

có tổng các nghiệm bằng :

A. 0    B. 1

C. 2    D. 3

Đáp án: C

Bài 3: Đánh giá nào dưới đây là không đúng ?

Đáp án: C

Bài 4: Khẳng định nào dưới đây đúng về phương trình :

A. Phương trình có một nghiệm âm

B. Phương trình có một nghiệm dương

C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu

D. Phương trình vô nghiệm.

Đáp án: D

Bài 5: Phương trình

có số nghiệm là :

A. 0    B. 1

C. 2    D. 3

Đáp án: B

Bài 6: Giải phương trình

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : x ≥ -1.

Nhận thấy : VT = với mọi x.

PT có nghiệm ⇔ ⇔ x = 3 (t.m)

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

Bài 7: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

Ta có :

VT

Phương trình có nghiệm ⇔

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 8: Giải phương trình :

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : 5 ≤ x ≤ 7 .

+ Áp dụng BĐT : (a + b)² ≤ 2(a² + b²) ta có:

+ x² – 12x + 38 = (x-6)² + 2 ≥ 2

⇒ VT ≤ VP với mọi x.

Phương trình có nghiệm ⇔ ⇔ x = 6.

Vậy phương trình có nghiệm x = 6.

Bài 9: Giải phương trình :

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : 0 ≤ x ≤ 1 .

+ Nếu x = 1, VT (*) = 3 ; VP (*) = 3.

⇒ x = 1 là nghiệm của phương trình.

+ Với 0 ≤ x ≤ 1 thì

⇒ Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Bài 10: Giải phương trình :

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: PT có nghiệm x = 1/2 . Do đó ta thêm bớt các số để đánh giá BĐT sao cho dấu = đều xảy ra tại x = 1/2 .

Giải :

Nhận xét : VT = 4x⁴ + x² + 3x + 4 > 0 với mọi x.

PT có nghiệm ⇔ ⇔ x > 0.

Khi đó áp dụng BĐT Cô-si cho VT ta có :

Áp dụng BĐT Cô-si cho vế trái ta được :

⇒ VT ≥ VP

Phương trình có nghiệm ⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

box-most-viewed-courses