Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm đkxđ.

Bước 2: Đặt một (hoặc nhiều) biểu thức thích hợp làm ẩn mới, (thường là các biểu thức chứa căn thức) tìm điều kiện của ẩn mới.

Bước 3: Biến đổi phương trình theo ẩn mới (Có thể biến đổi hoàn toàn thành ẩn mới hoặc để cả 2 ẩn cũ và mới) rồi giải phương trình theo ẩn mới.

Bước 4: Thay trả lại ẩn cũ và tìm nghiệm, đối chiếu đkxđ và kết luận.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: ∀ x ∈ R.

Phương trình trở thành:

t² + t – 42 = 0 ⇔ (t – 6)(t + 7) = 0

Với t = 6 ⇒

⇔ 2x² + 3x + 9 = 36

⇔ 2x² + 3x – 27 = 0

⇔ (x-3) (2x+9) = 0 .

⇔ x = 3 hoặc x = -9/2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = -9/2.

Ví dụ 2: Giải phương trình

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : 4x² + 5x + 1 ≥ 0

Phương trình trở thành : a – b = a² – b²

⇔ (a-b)(a+b-1) = 0 ⇔ a – b = 0 hoặc a + b – 1 = 0.

TH1 : a – b = 0 ⇔ 9x – 3 = 0 ⇔ x = 1/3 (t.m đkxđ).

⇒ Phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/3 .

Ví dụ 3: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: ∀ x ∈ R.

Phương trình trở thành: t² – (x+3)t + 3x = 0

⇔ (t-3)(t-x) = 0 ⇔ t = 3 hoặc t = x .

+ t = 3 ⇒

⇔ x² = 8 ⇔ x = ±2√2 .

+ t = x ⇒ ⇒ x² + 1 = x². Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có hai nghiệm .

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Cho phương trình: Nếu đặt

thì t phải lưu ý điều kiện nào?

A. t ∈ R    B. t ≤ 1

C. t ≥ 1    D. t ≥ -1 .

Đáp án: D

Bài 2: Số nghiệm của phương trình là:

A. 0    B. 2    C. 4    D. 6

Đáp án: B

Bài 3: Tập nghiệm của phương trình có bao nhiêu phần tử?

A. 0    B. 2    C. 4    D. 6

Đáp án: B

Bài 4: Cho phương trình

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Phương trình có nghiệm âm duy nhất.

B. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

C. Phương trình có 2 nghiệm âm.

D. Phương trình có hai nghiệm dương.

Đáp án: D

Bài 5: Phương trình có tổng các nghiệm bằng:

A. 3/2    B. 1    C. 2/3    D. -3/2 .

Đáp án: C

Bài 6: Giải phương trình

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Phương trình trở thành: t + t³ – 30 = 0 ⇔ (t-3)(t² + 3t + 10) = 0 ⇔ t = 3

Thay trả lại biến x ta được:

⇔ x² – 4x + 31 = 27

⇔ x² – 4x + 4 = 0

⇔ (x-2)² = 0

⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Bài 7: Giải phương trình :

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ:

Phương trình trở thành:

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

b) Đkxđ: x – 1/x ≥ 0 ; x ≠ 0 .

Chia cả hai vế của phương trình cho x ta được:

Pt trở thành: t² + 2t – 3 = 0 ⇔ (t + 3)(t – 1) = 0 ⇔ t = -3(L) hoặc t = 1 (t/m) .

+ t = 1

Vậy phương trình có hai nghiệm

c) Đkxđ: x ≥ -1 .

Phương trình trở thành : 2a² – 5ab + 2b² = 0

⇔ (2a-b) (a-2b) = 0

⇔ a = b/2 hoặc a = 2b

+ a = b/2 ⇔

⇔ x² – x + 1 = 4(x+1) ⇔ x² – 5x – 3 = 0 ⇔

+ a = 2b ⇔

⇔ x+1 = 4(x² – x + 1)⇔ 4x² -5x + 3 = 0

Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có hai nghiệm .

Bài 8: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ: x² ≤ 15.

Đặt

⇒ a² – b² = (25 – x²) – (15 – x²) = 10

Thay trả lại biến x ta được:

Vậy phương trình có hai nghiệm

b)

Đkxđ: x ≥ 1.

Đặt

⇒ u³ + v² = 2 – x + x – 1 = 1(*)

Mà theo đề bài ta có u + v = 1 ⇒ v = 1 – u

Thay v = 1 – u vào (*) ta được: u³ + (1 – u)² = 1

⇔ u³ + u² – 2u + 1 = 1

⇔ u³ + u² – 2u = 0

⇔ u(u² + u – 2) = 0

⇔ u(u – 1)(u + 2) = 0

⇔ u = 0 hoặc u = 1 hoặc u = -2.

+ u = 0 ⇒ x = 2 (t.m)

+ u = 1 ⇒ x = 1 (t.m)

+ u = -2 ⇒ x = 10 (t.m)

Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1; x = 2 và x = 10.

c)

Đkxđ: ∀x ∈ R.

Đặt

⇒ a³ – b³ = 2

⇒ (a – b)(a² + b² + ab) = 2 (*)

Phương trình trở thành: a² + b² + ab = 1 (**)

Thay vào (*) ta được: (a – b).1 = 2 ⇒ a – b = 2 ⇒ a = 2 + b

Thay a = 2 + b vào (**) ta được:

⇔ 3b² + 6b + 3 = 0

⇔ 3(b + 1)2 = 0

⇔ b = -1

⇒ ⇔ x = 0.

Thử lại x = 0 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

Bài 9: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: x ≥ 1 .

Đặt

Khi đó

Phương trình trở thành:

a + b = 1 + ab ⇔ ab + 1 – a – b = 0 ⇔ (a – 1)(b – 1) = 0 ⇔ a = 1 hoặc b = 1

+ a = 1 ⇔ √(x-1) = 1 ⇔ x = 2.

+ b = 1 ⇔

⇔ x³ + x² + x = 0

⇔ x(x² + x + 1) = 0

⇔ x = 0 (không t.m đkxđ).

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Bài 10: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: -18/5 ≤ x > 64/5 .

Đặt

⇒ a⁴ + b⁴ = 18 – 5x + 64 + 5x = 82(*)

Phương trình trở thành: a + b = 4 (**)

⇒ a² + b² = (a+b)² – 2ab = 16 – 2ab

⇒ a⁴ + b⁴ = (a² + b²)² – 2a²b² = (16-2ab)² – 2a²b²= 2a²b² – 64ab + 256

Hay 2a²b² – 64ab + 256 = 82

⇔ a²b² – 64ab + 256 = 82

⇔ 2a²b² – 32ab + 87 = 0

⇔ (ab – 3)(ab – 29) = 0

⇔ ab = 3 hoặc ab = 29.

+ ab = 3.

Từ (**) ⇒ a = 4 – b.

Thay vào ab = 3 ⇒ (4 – b)b = 3 ⇔ b2 – 4b + 3 = 0 ⇔ (b – 1)(b – 3) = 0 ⇔

Nếu a = 3; b = 1 ⇒ ⇒ x =

Nếu a = 1; b = 3 ⇒ ⇒ x =

Thử lại cả hai đều là nghiệm của phương trình.

+ Nếu ab = 29

Từ (**)⇒ a = 4 – b.

Thay vào ab = 29 ⇒ (4 – b)b= 29 ⇔ b² – 4b + 29 = 0.

Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 63/5 và x = -17/5

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

box-most-viewed-courses