Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây

Phương pháp giải

Chứng minh họ đường thẳng y = ax + b, (trong đó a, b là các đa thức chứa tham số m) đi qua một điểm cố định.

+ Gọi điểm cố định mà họ đường thẳng luôn đi qua là (x_o; y_o) với mọi m

+ Thay (x_o; y_o) vào phương trình đường thẳng.

+ Đưa phương trình về dạng f_k(x_o; y_o).m^k + f_k-1(x_o; y_o).m^k-1 + … + f_o(x_o; y_o) = 0 với mọi m

Giải hệ phương trình tìm được điểm cố định mà họ đường thẳng luôn đi qua.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.

Hướng dẫn giải:

Gọi điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua là A(x_o ; y_o) .

Khi đó y_o = (2m – 1)x_o + m – 3 với ∀ m.

⇔ (2m – 1)x_o + m – 3 – y_o = _o với ∀ m

⇔ m(2x_o + 1) – (x_o + 3 + y_o) = 0 với ∀ m

Vậy điểm cố định đồ thị hàm số đi qua với mọi m là (-1/2;5/2) .

Ví dụ 2: Chứng minh rằng họ đường thẳng y = (m² – m – 1)x – 2m² + 2m – 3 luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn giải:

Giả sử họ đường thẳng y = (m² – m – 1)x – 2m² + 2m – 3 luôn đi qua A(x_o; y_o) cố định.

Khi đó: y_o = (m² – m – 1)x_o – 2m² + 2m – 3 với ∀ m

⇔ (m² – m – 1)x_o – 2m² + 2m – 3 – y_o = 0 với ∀ m

⇔ m²(x_o – 2) – m(x_o – 2) – x_o – 3 – y_o = 0 với ∀ m

Vậy họ đường thẳng trên luôn đi qua điểm cố định (2; -5).

Ví dụ 3: Tìm giá trị của k để ba đường thẳng y = kx – 2; y = 4x + 3; y = (k – 1)x + 4 đồng quy tại một điểm.

Hướng dẫn giải:

Gọi 3 đường thẳng trên lần lượt là d₁; d₂; d₃.

Giao điểm của d₁ và d₃ là nghiệm của phương trình:

kx – 2 = (k – 1)x + 4 ⇔ kx – 2 = kx – x + 4 ⇔ x = 6.

⇒ y = 6k – 2.

Vậy giao điểm của d₁ và d₃ là A(6; 6k – 2).

Để d₁; d₂; d₃ đồng quy thì A(6; 6k – 2) ∈ d₂

⇔ 6k – 2 = 4.6 + 3 ⇔ 6k = 29 ⇔ k = 29/6 .

Vậy k = 29/6 .

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Đồ thị hàm số nào dưới đây đồng quy với đồ thị hai hàm số y = x + 2; y = -1/2x – 5/2 ?

Đáp án : A

Bài 2: Đồ thị hàm số y = mx + 1 luôn đi qua điểm nào dưới đây?

A. (0; 1)    B. (1; 0).

C. (-1; 0)    D. (1; 2).

Đáp án : A

Bài 3: Khẳng định nào đúng về ba đường thẳng y = -x + 2 ; y = 2x – 1 và y = -2x + 3 ?

A. Song song với nhau

B. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng còn lại.

C. Đồng quy.

D. Đôi một cắt nhau tạo thành một tam giác.

Đáp án : C

Bài 4: Đồ thị hàm số y = (m² – 2)x + m² – 1 luôn đi qua điểm nào dưới đây với mọi m?

A. (0; -1)    B. (-1; 1)

C. (-1; 3)    D. (1; 0).

Đáp án : B

Bài 5: Đồ thị hàm số nào dưới đây có điểm cố định và điểm cố định đó nằm trên trục tung?

A. y = (m² + m)x + m + 2    B. y = (m – 1)x + 2

C. y = (m + 2)x + m + 1    D. y = m²x + m.

Đáp án : B

Bài tập tự luận tự luyện

Bài 6: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y = (m – 2)x + 3m – 1 luôn đi qua.

Hướng dẫn giải:

Gọi A(x_o; y_o) là điểm cố định mà đường thẳng y = (m – 2)x + 3m – 1 đi qua

Khi đó: y_o = (m – 2)x_o + 3m – 1 với ∀m

⇔ m(x_o + 3) – 2x_o – 1 – y_o = 0 với ∀m

Vậy đồ thị hàm số y = (m – 2)x + 3m – 2 luôn đi qua (-3; 5).

Bài 7: Đường thẳng y = (m – 2n + 1)x – 2m + 4n – 3 có đi qua một điểm cố định nào với mọi m, n hay không?

Hướng dẫn giải:

Giả sử có điểm A(x_o; y_o) mà đường thẳng đi qua

⇔ y_o = (m – 2n + 1)x_o – 2m + 4n – 3 với ∀ m, n

⇔ m(x_o – 2) – 2n(x_o – 2) + x_o – 3 – y_o = 0 với ∀m, n.

Vậy đường thẳng đi qua điểm cố định (2; -1) với mọi m, n.

Bài 8: Chứng minh bốn đường thẳng y = (2m – 3)x – 4m + 5; y = (m + 1)x – 2m – 3; y = (2 – m)x + 2m – 5 và y = (1 – 3m)x + 6m – 3 luôn đồng quy tại một điểm với mọi m.

Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn: Chứng minh cả 4 đường thẳng trên đều đi qua điểm cố định A(2; -1).

Bài 9: Cho hàm số y = (m – 2)x + 2m – 1. Tìm m sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

+ Gọi (x_o; y_o) là điểm mà đường thẳng (d) đi qua với mọi m.

⇔ y_o = (m – 2)x_o + 2m – 1

⇔ m(x_o + 2) – 2x_o – 1 – y_o = 0

Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua A(-2; 3).

+ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến (d)

Ta có OH vuông góc với đường thẳng, OA là đường xiên

⇒ OH ≤ OA.

OH = OA ⇔ d ⊥ OA.

+ Đường thẳng đi qua hai điểm O và A là y = -3/2x

+ d ⊥ OA ⇔ (m – 2). -3/2 = -1 ⇔ m – 2 = 2/3 ⇔ m = 8/3 .

Vậy m = 8/3 .

Bài 10: Cho hàm số: y = (3 – m)x + 3. Tìm m sao cho khoảng cách từ điểm B(1; 2) đến đồ thị hàm số là lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

Cho hàm số: y = (3 – m)x + 3. Tìm m sao cho khoảng cách từ điểm B(1; 2) đến đồ thị hàm số là lớn nhất.

+ Gọi A(x_o; y_o) là điểm cố định mà đường thẳng (d): y = (3 – m)x + 3 đi qua.

⇔ y_o = (3 – m)x_o + 3 với

⇔ mx_o + y_o – 3x_o – 3 = 0

Vậy đường thẳng y = (3 – m)x + 3 luôn đi qua A(0; 3).

+ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B đến d.

BH là hình chiếu, BA là đường xiên

⇒ BH ≤ BA với mọi m .

+ BH = BA ⇔ d ⊥ BA.

+ Gọi đường thẳng đi qua B và A là y = ax + b

B(1; 2) và A(0; 3) ∈ y = ax + b ⇔

Vậy đường thẳng đi qua A và B là AB: y = -x + 3.

+ d ⊥ AB ⇔ (3 – m).(-1) = -1 ⇔ 3 – m = 1 ⇔ m = 2.

Vậy m = 2.

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

box-most-viewed-courses