Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây
A. Phương pháp giải
1. Định nghĩa
– Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc ở tâm.
– Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
– Số đo của cung lớn bằng trừ đi số đo của cung nhỏ.
– Số đo của nửa đường tròn bằng.
2. Trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
– Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
– Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
3. Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì:
Sđ AB = Sđ AC + Sđ CB
4. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
– Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
– Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
5. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
– Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
– Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
B. Bài tập tự luận
Bài 1: Cho đường tròn (O, R) và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Gọi MA, MB là hai tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA và OB nếu:
a) ∠AMB = 70o
b) MA = R
c) MO = 2R
Hướng dẫn giải
Vì MA và MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B nên: MA ⊥ OA, MB ⊥ OB
Suy ra: ∠MAO = ∠MBO = 90o
a)
Xét tứ giác MAOB có:
∠AMB + ∠AOB + ∠MAO + ∠MBO = 360o
⇔ ∠AOB = 360o – (∠AMB + ∠MAO + ∠MBO)
= 360o – (70o+ 90o + 90o)
= 110o
Vậy số đo góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB bằng 110o .
b)
Nếu MA = R
Xét ΔMAO có: MA = AO = R và ∠MAO = 90o
=> Δ MAO vuông cân tại A
=> ang;MOA = 45o
Vậy ∠AOB = 2.∠MOA = 90o
c)
Nếu MO = 2R
Xét ΔMAO vuông tại A có: MO = 2.AO
=> ∠AMO = 30o => ∠AOM = 60o
Vậy: ∠AOB = 2.∠AOM = 120o
Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và dây AB không đi qua O. Trên dây AB lấy các điểm M, N sao cho AM = MN = NB. Tia OM, ON cắt (O) lần lượt tại C và D.
Hướng dẫn giải
Thât vậy, xét ΔAOM và ΔBON có:
OA = OB = R
∠OAM = ∠OBN (do ΔOAB cân tại O)
AM = BN (gt)
Suy ra ΔAOM = ΔBON(c-g-c)
Suy ra ∠AOM = ∠BON (hai góc tương ứng)
Gọi I là trung điểm của OB. Suy ra NI là đường trung bình của ΔOBM nên NI // OM => ∠MON = ∠ONI(so le trong) (1)
Mặt khác ta có: OB = OC = R, mà M ∈ OC => OM < OB hay NI < OI.
Xét ΔONI có NI < OI nên: ∠NOI < ∠ONI (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∠NOI < ∠MON
Bài 3: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ dây AM của đường tròn (O) và dây BN của đường tròn (O’) sao cho AM // BN.
Hướng dẫn giải
Vì AM // BN (gt) => ∠MAB = ∠ABN (so le trong) (1)
Mặt khác: OA = OB = O’A = O’B nên tứ giác OAO’B là hình thoi, do đó ∠OAB = ∠ABO’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ∠MAO = ∠NBO’
Ta có: ΔMOA cân tại O và ΔNO’B cân tại O’ có góc ở đáy bằng nhau nên ∠MOA = ∠NO’B
Do đó: ΔMOA = ΔNO’B(c.g.c) => AM = BN
Mặt khác hai đường tròn (O) và (O”) bằng nhau nên
Bài 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm A và B (R < R’). Kẻ đường kính BOC và BO’D.
a) Chứng minh rằng: Ba điểm C, A, D thẳng hàng.
b) So sánh số đo hai cung nhỏ AC và AD.
Hướng dẫn giải
a) Vì ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính BC nên ΔABC vuông tại A hay ∠BAC = 90o .
Tương tự ta có: ∠BAD = 90o
Suy ra: ∠CAD = ∠BAD + ∠BAC = 180o nên 3 điểm C, A, D thẳng hàng.
b) Xét đường tròn (O) có:
Xét đường tròn (O’) có:
Từ đó suy ra
Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C thuộc đường tròn (O) sao cho SđBC = 30o, điểm M thuộc cung AC nhỏ. Gọi D và E là các điểm đối xứng với M qua AB và OC. Chứng minh rằng: ΔDOE đều.
Hướng dẫn giải
Vì SđBC = 30o => ∠BOC = 30o
Gọi I là giao điểm của MD và AB, J là giao điểm của ME và OC.
Theo giả thiết: M và D đối xứng với nhau qua AB, mà M thuộc đường tròn (O) nên D cũng thuộc đường tròn (O). Tương tự E thuộc đường tròn (O).
Tứ giác MIOJ có ∠I = ∠J = 90o
=> ∠IMJ + ∠IOJ = 180o
=> ∠IMJ = 180o – ∠IOJ = ∠BOC = 30o
Ta có ΔMOD và ΔMOE cân tại O nên:
∠MOD = 180o – 2∠DMO
∠MOE = 180o – 2∠EMO
=> ∠MOD + ∠MOE = 360o – 2(∠DMO + ∠EMO)
⇔ 360o – ∠DOE = 360o – ∠IMJ
⇔ ∠DOE = 2∠IMJ = 60o
Vậy ΔDOE đều.
Bài 6: Cho điểm M chuyển động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By với đường tròn (O). Tiếp tuyến tại M với (O) cắt Ax tại C và cắt By tại D; các đường thẳng CO và OD cắt (O) lần lượt tại E và F.
a) Tính Sđ EF.
b) Tìm tập hợp tâm I của đường tròn ngoại tiếp .
Hướng dẫn giải
a) Vì CA và BM là hai tiếp tuyến với (O) nên OC là tia phân giác của ∠AOM .
Tương tự ta có OD là tia phân giác của ∠BOM
Mà ∠AOM và ∠BOM là hai góc kề bù, suy ra OC ⊥ OD
Vậy ta có ∠COD = 90o hay SđEF = 90o .
b) * Phần thuận:
Vì ΔCOD vuông tại O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ΔCOD là trung điểm của CD.
Dễ thấy tứ giác ABCD là hình thang có OI là đường trung bình nên OI//AC => OI ⊥ AB.
Vậy I chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với AB tại O.
* Phần đảo và giới hạn: Học sinh tự chứng minh.
Bài 7: Cho AB là dây cung của đường tròn (O), I là trung điểm của AB. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M tùy ý. Gọi giao điểm OI và MI với (O) lần lượt C và N. So sánh và .
Hướng dẫn giải
Kẻ OH ⊥ MN
Ta có: ΔOHI vuông tại H nên OH < OI.
Mà OH, OI lần lượt là các khoảng cách từ O đến hai dây MN và AB nên suy ra AB < MN. Do đó
Bài 8: Cho ΔABC đều. Vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính BC ra phía ngoài ΔABC. Gọi D và E là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho cungBD = cungDE = cungEC . AD và AE cắt BC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a) ΔABN ∼ ΔECN
b) BM = MN = NC
Hướng dẫn giải
b) Vì ΔABC và ΔOCE là hai tam giác đều có BC = 2OC nên suy ra AB = 2CE.
Lại có: ΔABN ∼ ΔECN (chứng minh a)
⇔ BN = 2NC do đó: BM = MN = NC.
Bài 9: Qua điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai cát tuyến MAB và MCD với đường tròn sao cho AB > CD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a) MH > MK
b) ∠MOH > ∠MOK
Hướng dẫn giải
a) Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD nên OH ⊥ AB, OK ⊥ CD (quan hệ giữa đường kính và dây cung).
Ta có: AB > CD => OH < OK (liên hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm).
=> MH > MK
Vì ∠MHO = ∠MKO = 90o nên H, K cùng thuộc đường tròn đường kính MO.
Trong đường tròn đường kính MO, ta có MH > MK
Mặt khác: ∠MOH = 1/2 SđMH
∠MOK = 1/2 SđMK
Từ đó suy ra: ∠MOH > ∠MOK .
Bài 10: Trên đường tròn (O; R), lấy lần lượt theo cùng một chiều các điểm A, B, C, D sao cho 
Chứng minh rằng SΔAOB = SΔCOD .
Hướng dẫn giải
Kéo dài OC cắt đường tròn (O) tại E.
Do đó: ΔAOB = ΔEOD nên SΔAOD = SΔEOD (1)
Mặt khác: ΔEOD và ΔCOD có chung chiều cao kẻ từ D xuống EC và độ dài hai đáy EO = OC nên SΔEOD = SΔCOD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: SΔAOB = SΔCOD .
Tham khảo thêm các Chuyên đề Toán lớp 9 khác:
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
box-most-viewed-courses