Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây

Phương pháp giải

+ Hàm số y = f(x) đồng biến nếu với mọi x₁; x₂ thuộc tập xác định thỏa mãn x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂)

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến nếu với mọi x₁; x₂ thuộc tập xác định thỏa mãn x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂)

+ Ngoài dựa vào định nghĩa, ta có thể dựa vào việc xét dấu biểu thức A = (f(x₁)- f(x₂))(x₁ – x₂) hoặc .

Nếu A > 0 (hoặc B > 0 ) thì hàm số đồng biến.

Nếu A < 0 (hoặc B < 0) thì hàm số nghịch biến.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y = f(x) = 3x-7 .

b) y = g(x) = -2x+5 .

c) y = h(x) = √(x+2)

Hướng dẫn giải:

a) Lấy x₁ ≠ x₂ ∈ R, ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên toàn tập số thực.

b) Lấy x₁ ≠ x₂ ∈ R, ta có:

Vậy hàm số y = g(x) nghịch biến trên toàn tập số thực.

c) Đkxđ : x ≥ -2.

Lấy x₁ ≠ x₂ thỏa mãn x₁; x₂ ≥ -2 ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định x ≥ -2.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng :

a) f(x) = x² + 2x + 4 đồng biến khi x > -1 và nghịch biến khi x < -1.

b) g(x) = -x² + 4x + 1 đồng biến khi x < 2 và nghich biến khi x > 2.

Hướng dẫn giải:

a) Lấy x₁ ; x₂ ∈ R ta có :

+ Với mọi x₁ < -1 ; x₂ < -1 thì x₁ + x₂ + 2 < 0

Vậy hàm số f(x) = x² + 2x + 4 nghịch biến với mọi x < -1.

+ Với mọi x₁ > -1 ; x₂ > -1 thì x₁ + x₂ + 2 > 0

Vậy hàm số f(x) = x² + 2x + 4 đồng biến với mọi x > -1.

b) Lấy x₁ ; x₂ ∈ R, xét :

+ Với mọi x₁ < 2 ; x₂ < 2thì x₁ + x₂ < 4.

Do đó

Vậy hàm số f(x) = x² + 2x + 4 nghịch biến với mọi x < -1.

+ Với mọi x₁ > -1 ; x₂ > -1 thì x₁ + x₂ + 2 > 0

Vậy hàm số f(x) = x² + 2x + 4 đồng biến với mọi x > -1.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : x ≤ 1.

Ta có:

Lấy x₁; x₂ < 1 ta có:

Suy ra hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó.

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Với x₁; x₂ thuộc tập D bất kì, hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên tập D khi :

Đáp án: D

Bài 2: Với x₁; x₂ thuộc tập D bất kì, hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên tập D khi :

Đáp án: C

Bài 3: Cho hàm số y = 1 – x . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số có tập xác định x < 1.

B. Hàm số có tập xác định x > 1.

C. Hàm số đồng biến trên tập xác định

D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Đáp án: D

Bài 4: Cho hàm số y = x² – 6x . Hàm số đồng biến khi :

A. 0 < x < 5 B. x < 3 C. x > 3 D. -2 <x < 2.

Đáp án: C

Bài 5: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên toàn tập số thực:

Đáp án: A

Bài tập tự luận tự luyện

Bài 6: Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên tập số thực.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số

Lấy x₁; x₂ ∈ R bất kì, ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên tập số thực.

Bài 7: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số với x < 1.

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: x ≤ 3/2 .

Lấy x₁; x₂ < 1 bất kì ta có:

Vậy hàm số nghịch biến với mọi x < 1.

Bài 8: Cho hàm số y = x² – x + 1.

Chứng minh hàm số đồng biến khi x > 1/2 và nghịch biến khi x < 1/2.

Hướng dẫn giải:

f(x) = x² – x + 1

+ Lấy x₁; x₂ < 1/2 bất kì ta có:

Với x₁; x₂ < 1/2 thì x₁ + x₂ < 1 nên x₁ + x₂ – 1 < 0 .

Hay hay hàm số nghịch biến với x < 1/2 .

+ Lấy x₁; x₂ > 1/2 bất kì ta có x₁ + x₂ > 1 , suy ra x₁ + x₂ – 1 > 0

Suy ra

Hay hay hàm số đồng biến với x > 1/2 .

Bài 9: Chứng minh hàm số đồng biến với x > 2.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: x ≠ 2 .

Lấy x₁; x₂ > 2. Ta có:

Với x₁;x₂ > 2 ta có: 2 – x₁ < 0 ; 2 – x₂ < 0

Do đó

Vậy hàm số đồng biến với x > 2.

Bài 10: Tìm điều kiện của a để hàm số y = ax + 3 nghịch biến trên toàn tập số thực.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = f(x) = ax + 3.

Lấy x₁ ; x₂ ∈ R bất kì.

Ta có :

Để hàm số nghịch biến trên R thì hay a < 0.

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

box-most-viewed-courses