Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây

MỤC TIÊU

– Hiểu được quan hệ giữa đường kính và dây cung về so sánh độ dài và quan hệ vuông góc.

– Biết cách tìm mối liên hệ giữa đường kính và dây cung; áp dụng tính chất vào giải toán.

A.B. Hoạt động khởi động và hình thành kiến thức

1. Thực hiện các hoạt động sau

a) Điền vào chỗ chấm (…)

Bài toán. Cho đường tròn (O; R) có AB là dây bất kì. Chứng minh AB ≤ 2R

Gợi ý

* Trường hợp AB là đường kính (h.80a), ta có: AB = ……..

* Trường hợp AB không là đường kính (h.80b), ta có:

Xét OAB, có OA + OB … AB

Mà OA = OB = …

Suy ra … > AB

Vậy AB < ….

Trả lời:

* Trường hợp AB là đường kình (h.80a), ta có AB = 2R

* Trường hợp AB không à đường kình (h.80b), ta có:

Xét ΔOAB, có OA + OB > AB

Mà OA = OB = R

Suy ra 2R > AB

Vậy AB < 2R.

b) Đọc kĩ nội dung sau:

Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

c) Cho hình 81 có BK, AH là các đường cao của ABC.

Chứng tỏ rằng

* A, K, H, B cùng nằm trên một đường tròn.

* AB > HK.

Gợi ý.

* Lấy O là trung điểm của AB

⇒ KO = HO = OA = OB = AB/2 (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ABK và HAB).

* Xét (O; AB/2), có: HK là dây cung, AB là đường kính nên HK < AB

2. Thực hiện các hoạt động sau

2.1. a) Giải bài toán sau:

Hướng dẫn

* Nếu CD đi qua tâm O thì có I trùng với O, khi đó I là trung điểm của CD.

* Nếu CD không đi qua tâm O

Nối OC, OD. Xét OCD, có OC = OD = …. ⇒ OCD

Mà AB ⊥ CD tại I. Suy ra AB là ……..

Vậy I là ….

Trả lời:

* Nếu CD đi qua tâm O thì có I trùng với O, khi đó I là trung điểm của CD.

* Nếu CD không đi qua tâm O

Nối OC, OD. Xét ΔOCD, có OC = OD = R

⇒ OCD cân

Mà AB ⊥ CD tại I. Suy ra AB là đường trung trực của CD

Vậy I là là trung điểm của CD.

b) Đọc kĩ nội dung sau:

Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó.

c) Cho hình 83. Biết bán kính OA của (O) vuông góc với dây BC tại M, BC = 8cm, OM = 3cm. Tính bán kính của (O).

Gợi ý.

– Nối OB

– Áp dụng quan hệ giữa đường kính và dây cung ta có

– Áp dụng định lí Py-ta-go vào MOB vuông tại M, ta tính được OB.

Trả lời:

Bán kính OA vuông góc với BC tại M tức M là trung điểm của BC

Theo định lý Py-ta-go ta có:

2.2. a) Đố em!

Đường kính AB của đường tròn (O) đi qua trung điểm M của dây CD thì AB có vuông góc với CD không? Vì sao? (Hãy vẽ hình theo hai trường hợp dây CD là đường kính và dây CD không phải là đường kính của (O)).

Trả lời:

* Nếu CD không là đường kính:

Xét ΔOCD có OC = OD nên ΔOCD là tam giác cân

M là trung điểm CD nên OM ⊥ CD hay AB ⊥ CD

Vậy trong trường hợp CD không là đường kính, đường kính AB của (O) đi qua trung điểm M của dây CD thì AB vuông góc với CD.

* Nếu CD là đường kính:

Đường kính AB đi qua trung điểm của CD thì AB không vuông góc với CD trong trường hợp CD là đường kính của (O).

b) Đọc kĩ nội dung sau:

Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

c) Cho hình 84.

Hãy tính độ dài dây CD, biết OC = 1,5cm, CM = MD, OM = 0,9cm.

Gợi ý.

+ Chứng minh OM ⊥ CD tại M

+ Áp dụng định lí Py-ta-go tính được CM, MD rồi suy ra CD

Trả lời:

Vì CM = MD nên M là trung điểm của CD suy ra OM ⊥ CD

Theo định lý Py-ta-go trong tam giác vuông ta có:

Suy ra CD = 2CM = 2,4cm.

C. Hoạt động luyện tập

Giải các bài tập sau:

Bài tập 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi E và F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng: OE = OF và CF = DE.

Gợi ý. Kẻ OM ⊥ CD tại M

Lời giải:

Kẻ OM ⊥ CD

* Ta có AE // OM // BF (cùng ⊥ CD)

Theo định lý Ta-lét ta được:

Mà OA = OB nên FM = ME

Xét ΔOEF có M là trung điểm EF và OM ⊥ EF ⇒ ΔOEF cân ⇒ OE = OF (đpcm).

* Ta có: ME = MF

MC = MD

⇒ ME – MC = MF – MD

⇔ CE = DF

Ta có: DC + CE = CD + DF ⇔ CF = DE (đpcm).

Bài tập 2. a) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ dây CD bất kì khác AB. Từ C và D lần lượt kẻ các đường vuông góc với CD, các đường này cắt AB thứ tự tại E và F. Chứng minh AF = BE.

b) Cho nửa đường tròn (O), đường kính MN. Trên MN lấy hai điểm A và B sao cho AM = BN. Qua A và B kẻ các đường thẳng song song với nhau chúng cắt nửa đường tròn (O) lần lượt tại E và F. Chứng minh AE và BF vuông góc với EF.

Gợi ý. a) Kẻ OM ⊥ CD tại M.

b) Kẻ OM // AE // BF (M ∈ EF)

Lời giải:

a)

Kẻ OM ⊥ CD

Xét ΔOCD có OC = OD nên ΔOCD cân tại O, OM ⊥ CD nên M là trung điểm CD ⇒ DM = MC

Ta có: EC // OM // FD (cùng vuông góc với CD)

Theo định lý Ta-lét ta được:

Mà DM = MC nên FO = OE

Ta có:

OA = OB

OF = OE

suy ra: OA + OF = OB + OE

⇔ AF = BE (đpcm).

b)

Kẻ OM // AE // BF (M ∈ EF)

Ta có: OM = ON, AM = BN nên OM – AM = OB – BN ⇔ OA = OB

Theo định lý Ta-lét ta được:

Mà OA = OB nên FM = ME hay M là trung điểm EF

Xét ΔOEF có OE = OF, M là trung điểm EF nên OM ⊥ EF

Mặt khác AE // BF // OM nên AE ⊥ EF và BF ⊥ EF (đpcm).

D.E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Bài tập 1. Hai cầu thủ ở hai vị trí A và B như hình 85, có tốc độ chạy bằng nhau xuất phát cùng xuất phát cùng thời điểm. Hỏi ai có thể tiếp cận quả bóng tại C trước?

Lời giải:

Theo như hinh vẽ minh họa ta có quãng đường chạy AC của cầu thủ A bằng đường kính của đường tròn (O), quãng đường chạy BC của cầu thủ B bằng dây cung BC của đường tròn (O)

Theo tính chất dây cung của đường tròn ta có: dây cung bất kì của đường tròn nhỏ hơn hoặc bằng đường kính

Hay AC > BC

Vậy cầu thủ B có thể tiếp cận quả bóng C trước.

Bài tập 2. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Dây CD cắt đường kính AB tại M. Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên CD. Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với CD tại H và cắt AF tại K. Chứng minh rằng:

a) KA = KF

b) CE = DF

Lời giải:

a) Ta có: HK // AE (cùng vuông góc với CD)

Theo định lý Ta-lét trong tam giác AEF, ta có:

Mà AO = OB nên KA = KF (đpcm).

b) * Ta có: OK // BF (cùng vuông góc với CD)

Theo định lý Ta-lét trong tam giác ABF, ta có:

Mà KF = KA (theo câu a) nên HE = HF

* ΔOCD có OC = OD nên ΔOCD cân tại O

OH ⊥ CD nên H là trung điểm CD ⇒ HC = HD

Ta có: HE = HF và HC = HD ⇒ HC – HE = HD – HF ⇔ CE = DF (đpcm).

3. Có thể em chưa biết?

Từ cách vẽ đường tròn ta thấy khoảng cách từ tâm đường tròn đến các điểm trên đường tròn không thay đổi. Đây là tính chất quan trọng của đường tròn, người ta dùng tính chất này của đường tròn để chế tạo bánh xe. Trục xe đặt tại tâm của đường tròn, nên khoảng cách từ trục xe đến các điểm trên vành xe bằng nhau, nên khi chạy trục xe luôn giữ khoảng cách không đối với mặt đất. Chỉ cần mặt đường phẳng thì xe sẽ không bị xóc, người ngồi trên xe sẽ yên ổn, dễ chịu. Giả sử bánh xe hình vuông thì khoảng cách từ trục xe đến mặt đất sẽ lúc lớn, lúc nhỏ và xe sẽ rất xóc, người ngồi trên xe sẽ rất khó chịu (h.86).