Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây

A. Hoạt động khởi động

Cho các phương trình

 a) 5y = 0

 b) 2 – 3x = 0

 c) x – x² = 0

 d) 5x + 1 = 0

 e) 2t² – 1 = 0

 g) y² – 4y + 3 = 0

1. Chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình trên và giải chúng.

2. Trong các phương trình trên, hãy nhận xét về bậc của biến trong các phương trình không phải là phương trình bậc nhất. Nêu các giải các phương trình đó mà em biết.

Trả lời:

1. Các phương trình bậc nhất là: a, b, d

a) 5y = 0 ⇔ y = 0

b) 2 − 3x = 0 ⇔ 3x = 2 ⇔ x =

d) 5x + 1 = 0 ⇔ 5x = −1 ⇔ x =

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1. a) Viết tiếp vào chỗ chấm (…) để hoàn thiện các bước lập phương trình cho bài toán sau

Bài toán: Trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài là 32m; chiều rộng là 28m, bác Minh định làm một vườn cây cảnh có con đường đi xung quanh (h.12). Hỏi bề rộng của mặt đường là bao nhiêu để diện tích phần đất còn lại bằng 672m².

Lập phương trình:

Gọi bề rộng mặt đường là x (m). 0 < 2x < 28. Phần dất còn lại hình chữ nhật có:

Chiều dài là: 32 – 2x (m)

Chiều rộng là: …….

Diện tích là: (32 – 2x)(………) (m²)

Theo đầu bài, ta có phương trình:

(32 – 2x)(………) = 672, hay x² – 30x + 56 = 0

Để giải bài toán trên, ta cần giải phương trình x² – 30x + 56 = 0. Phương trình x² – 30x + 56 = 0 có bậc của ẩn x bằng 2 và được gọi là một phương trình bậc 2.

b) Đọc kĩ nội dung sau

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: ax² + bx + c = 0, trong đó x là ẩn ; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.

Ví dụ:

i) x² – 30x + 56 = 0 là một phương trình bậc hai với các hệ số a = 1; b = -30; c = 56

ii) -x² + x = 0 là một phương trình bậc hai với các hệ số a = -1; b = 1; c = 0

iii) 2x² – 1 = 0 là một phương trình bậc hai với các hệ số a = 2; b = 0; c = -1.

c) Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai? Chỉ rõ hệ số a, b, c của mỗi phương trình ấy.

i) x³ – 5 = 0;

ii) 3x² – 2x = 0

iii) -2x + 7 = 0

iv) -5x² = 0;

v) 4x² + 1 = 0

vi) x² + 2x – 3 = 0

Trả lời:

a) Gọi bề trông mặt đường là x (m), 0 < 2x < 28. Phần đất còn lại hình chữ nhật có:

Chiều dài là: 32 − 2x (m)

Chiều rộng là: 28 − 2x

Diện tích là: (32 − 2x)(28 − 2x) (m²)

Theo đầu bài, ta có phương trình:

 (32 − 2x)(28 − 2x) = 672, hay x²−30x + 56 = 0

c) Các phương trình bậc 2 là:

• ii) 3x² − 2x = 0 với a = 3; b = -2; c = 0

• iv) −5x² = 0 với a = -5; b = c = 0

• v) 4x² + 1 = 0 với a = 4; b = 0; c = 1;

• vi) x² + 2x − 3 = 0 với a = 1; b = 2; c = -3.

2. Viết tiếp vào chỗ chấm (…) để

a) Giải phương trình 3x² – 2x = 0:

Ta có: 3x² – 2x = 0 ⇔ x(……..) = 0

⇔ x = … hoặc … = 0

⇔ x = … hoặc x = …

Vậy …………………………..

b) Giải phương trình 4x² – 1 = 0:

Ta có: 4x² – 1 = 0 ⇔ 4x² = ……

⇔ …………………………

Vậy ……………………….

c) Giải phương trình 4x² + 1 = 0:

Ta có: 4x² + 1 = 0 ⇔ 4x² = ……. (Mâu thuẫn vì ………..)

Vậy …………………….

Nhận xét. Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

– Nếu c = 0, phương trình có dạng ax² + bx = 0. Ta đưa về phương trình dạng tích để giải.

  ax² + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0 ⇔ x = 0 hoặc

– Nếu b = 0, phương trình có dạng ax² + c = 0 ⇔

Trả lời

a) Giải phương trình 3x² − 2x = 0

Ta có:

 3x² − 2x = 0

⇔ x(3x − 2) = 0

⇔ x = 0 hoặc 3x − 2 = 0

⇔ x = 0 hoặc x =

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0 hoặc x =

b) Giải phương trình 4x² − 1 = 0

Ta có:

 4x² − 1 = 0

⇔ 4x² = 1

⇔ x = ±

Vậy phương trình có hai nghiệm: x = ±

c) Giải phương trình 4x² + 1 = 0

Ta có:

 4x² + 1 = 0

⇔ 4x² = −1

(Mâu thuẫn vì 4x² ≥ 0 ∀x)

Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Thực hiện các hoạt động sau

a) Viết tiếp vào chỗ chấm (…) để giải phương trình 2x² – 12x + 17 = 0.

Giải.

Ta có:

 2x² – 12x + 17 = 0

⇔ 2x² – 12x = ……….. (Chuyển 17 sang vế phải)

⇔ x² – 6x = ………….. (Chia cả hai vế cho 2)

⇔ x² – 2.x.3 + 3² = ….. (Thêm vào cả hai vế cùng một số là 3² để vế trái thành một bình phương)

⇔ (x – 3)² = ………….

⇔ x – 3 = ……….

⇔ x = 3 ± ……

Vậy phương trình có hai nghiệm: x₁ = …. x₂ = …….

Nhận xét. Để giải phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a, b, c cùng khác 0), ta có thể dử dụng các phép biến đổi đại số (chuyển vế; nhân, chia cả hai vế của phương trình với cùng một số khác 0 ; thêm, bớt ; …) để chuyển phương trình đã cho về một phương trình tương đường mà vế trái là bình phương của một biểu thức chứa ẩn, vế phải là hằng số và giải tương tự như phương trình bậc hai khuyết b.

b) Giải phương trình x² + 4x – 12 = 0

Trả lời:

a) Ta có:

 2x² − 12x + 17 = 0

⇔ 2x² − 12x = 17 (chuyển 17 sang vế phải)

⇔ x² − 6x = (chia cả hai vế cho 2)

⇔ x² − 2×x×3 + 3² = + 3² (Thêm vào cả hai vế cùng một số là 3² để vế trái thành một bình phương)

Phương trình có hai nghiệm x₁ = 3 + ; x₂ = 3 −

b) x² + 4x − 12 = 0

⇔ x² + 2×x×2 = 12

⇔ x² + 2×x×2 + 2² = 12 + 2²

⇔ (x + 2)² = 16

⇔ x + 2 = ± 4

⇔ x= −2 ± 4

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = 2; x₂ = −6

C. Hoạt động luyện tập

1. Đưa các phương trình sau về dạng ax² + bx + c= 0 rồi chia rỗ các hệ số a, b, c.

Bài làm:

a) 3x² − 5x + 1 = 2x − 3

⇔ 3x² − 7x + 4 = 0

Hệ số: a = 3; b = -7; c = 4

d) x² − 5(m + 1)x = 2 − m² (m là tham số).

⇔ x² − 5(m + 1)x − 2 + m² = 0

Hệ số: a = 1; b = 5(m + 1); c = m² −2

2. Giải các phương trình sau:

 a) x² – 18 = 0

 b) 3x² – 15 = 0;

 c) 0,5x² + 3 = 0

 d) 2x² + x = 0

 e) -0,6x² + 2,4x = 0

Bài làm:

3. Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương, còn vế phải là một hằng số.

Bài làm:

D.E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi mở rộng

1. Biến đổi vế trái của mỗi phương trình sau về dạng tích rồi giải.

 a) x² + 4x – 5 = 0

 b) x² – 4x – 1 = 0

 c) 4x² + 24x + 9 = 0

Bài làm:

2. Giải các phương trình sau:

 a) x² – 4x + 3 = 0

 b) 2x² + 5x + 2 = 0

 c) 4x² – 12x + 9 = 0

Bài làm:

3. Em có biết?

Ngay từ năm 2000 trước Công Nguyên, các nhà toán học Babylon đã có thể giải những bài toán liên quan đến diện tích và các cạnh của hình chữ nhật. Có bằng chứng chỉ ra thuật toán này xuất hiện từ triều đại Ur thứ ba. Ở Babylon, Ai Cập, Hi Lạp, Trung Quốc và Ấn Độ, phương pháp hình học được sử dụng để giải phương trình bậc hai. Ví dụ, trong một tài liệu Toán của Trung Quốc, vào khoảng thế kỉ hai trước Công Nguyên, có một bài toán như sau:

Một thành lũy xây trên một khoảng đất hình vuông mà không biết độ dài của cạnh (hình 13). Ở chính giữa mỗi cạnh có một cổng. Ở ngoài thành, từ cổng phía bắc nhìn thẳng ra chừng 20 bộ (1 bộ ≈ 1,6m) có một cột đá. Nếu đi thẳng từ cổng hía nam ra ngoài 14 bộ rồi rẽ sang phía tây đi tiếp 1775 bộ thì có thể nhìn thấy cột đá. Hỏi độ dài mỗi cạnh của khoảnh đất là bao nhiêu?

Sử dụng các kiến thức về tam giác đồng dạng, bài toán sẽ dẫn tới một phương trình bậc hai.

(Trang 46, Sách giáo khoa Toán 9 tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016)