Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây
A. Hoạt động khởi động
1. Đọc và nhớ lại
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bước 1. Lập phương trình:
– Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;
– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
– Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2. Giải phương trình
Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
2. Vận dụng giải bài toán cổ sau
Quýt, cam mười bảy quả tươi,
Đem chia cho một trăm người cùng vui.
Chia ba mỗi quả quýt rồi,
Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh.
Trăm người, trăm miếng ngọt lành
Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?
Lời giải
Gọi x là số quả quýt (điều kiện: x N, 0 < x < 17)
Số quả cam là: 17 – x
Tổng số miếng quýt sau khi chia là: 3x
Tổng số miếng cam sau khi chia là: 10(17 – x)
Theo bài ta có phương trình: 3x + 10(17 – x) = 100
Giải phương trình tìm được: x = 10 (thỏa mãn)
Vậy có 10 quả quýt và 7 quả cam.
Trên đây là cách giải bài toán bằng cách lập luận phương trình với một ẩn số. Có thể giải bài toán đó bằng cách lập phương trình với hai ẩn số?
Cách giải
Gọi x là số quả quýt, y là số quả cam (điều kiện: x ∈ N, 0 < x, y < 17).
Tổng số miếng quýt sau khi chia là: 3x
Tổng số miếng cam sau khi chia là: 10y
Theo đề bài ta có x + y = 17 và 3x + 10y = 100.
Như vậy ta có hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình tìm được 
B. Hoạt động hình thành kiến thức
1. Đọc kĩ nội dung sau
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bước 1. Lập phương trình:
– Chọn hai số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số
– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
– Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2. Giải phương trình
Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu
Lời giải
Gọi x (giờ) là thời gian ô tô dự định đi hết quãng đường AB. (Điều kiện x > 1)
Gọi y (km) là độ dài của quãng đường AB. (Điều kiện y > 0)
Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h trên quãng đường AB thì cần khoảng thời gian là 
Theo đề bài ta có phương trình:
Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h trên quãng đường AB thì cần khoảng thời gian là 
Theo đề bài ta có phương trình: 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Vậy quãng đường AB dài 350km và thời gian dự định đi từ A đến B lúc đầu là 8 giờ.
Ví dụ 2. Hai đội công nhân làm một đoạn đường 12 ngày thì xong. Mỗi ngày đội thứ hai làm được khối lượng công việc nhiều gấp đôi đội thứ nhất. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong mấy ngày?
Lời giải
Gọi năng suất làm việc trong một ngày của đội thứ nhất và đội thứ hai lần lượt là x và y (x > 0; y > 0).
Năng suất làm việc trong một ngày của cả hai đội là 
Mỗi ngày đội thứ hai làm được khối lượng công việc nhiều gấp đôi đội thứ nhất nên: y = 2x.
Ta có hệ phương trình: 
Giải hệ ta có
Thời gian làm một mình xong đoạn đường của đội thứ nhất là 36 ngày, của đội thứ hai là 18 ngày
3. Giải bài toán sau
Một số có hai chữ số, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 6. Nếu viết xen chữ số 0 vào giữa hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì được số mới lớn hơn số cũ 720 đơn vị. Tìm số ban đầu.
Trả lời:
Gọi chữ số hàng chục là a (a ≠ 0), chữ số hàng đơn vị là b.
Vậy số ban đầu là: 10a + b.
Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 6 nên: a − b = 6 (1).
Khi xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số mới tạo thành là: 100a + b.
Số mới lớn hơn số cũ 720 đơn vị nên: (100a + b) − (10a + b) (2).
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
C. Hoạt động luyện tập
1. Một số tự nhiên có hai chữ số. Nếu lấy số đó trừ đi 2 lần tổng các chữ số của nó thì được kết quả là 51. Nếu lấy 2 lần chữ số hàng chục cộng với 3 lần chữ số hàng đơn vị thì được 29. Tìm số đã cho.
Bài làm:
Gọi chữ số hàng chục là a, chữ số hàng đơn vị là b (a ≠ 0, a, b = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Nếu lấy số đó trừ đi hai lần tổng các chữ số của nó thì được kết quả là 51 nên: (10a + b) − 2(a + b) = 51 ⇒ 8a − b = 51 (1)
Nếu lấy hai lần chữ số hàng chục cộng với ba lần chữ số hàng đơn vị thì được 29 nên: 2a + 3b = 29 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:
2. Trong một phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp 3 học sinh ngồi một ghế thì 6 học sinh không có chỗ ngồi. Nếu xếp 4 học sinh ngồi một ghế thì thừa 1 ghế. Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh?
Bài làm:
Gọi số ghế của lớp là x (x > 0). Số học sinh của lớp là y (y > 0). (x, y ∈Z)
Nếu xếp 3 học sinh ngồi một ghế thì 6 học sinh không có chỗ ngồi nên:
3x + 6 = y ⇒ 3x − y = −6 (1)
Nếu xếp 4 học sinh ngồi một ghế thì thừa 1 ghế nên:
(x − 1).4 = y ⇒ 4x − y = 4 (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình sau:
Vậy lớp có 36 học sinh và 10 ghế .
3. Bài toán cổ Ấn Độ. Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rupi?
Bài làm:
Gọi giá tiền một quả thanh yên là x (rupi, x > 0), giá tiền mua một quả táo rừng thơm là y (rupi, y > 0).
Mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm hết 107 rupi nên: 9x + 8y = 107. (1)
Mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm hết 91 rupi nên: 7x + 7y = 91 (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình sau:
Vậy, giá tiền một quả thanh yên là 3 rupi, một quả táo rừng thơm là 10 rupi
4. Lúc 7 giờ người thứ nhất đi xe máy từ A với vận tốc 40km/h. Sau đó, lúc 8 giờ 30 phút người thứ hai cũng đi xe máy từ A với vận tốc 60km/h đuổi theo người thứ nhất. Hỏi hai người gặp nhau vào lúc mấy giờ?
Bài làm:
Gọi thời gian đi của người thứ nhất là x (giờ), người thứ 2 là y (giờ) (x, y > 0).
Vì người thứ 2 đi sau người thứ nhất 1,5 giờ nên ta có phương trình: x − y = 1,5 (1)
Quãng đường đi được của hai người lần lượt là: 40x và 60y.
Đến khi gặp nhau thì quãng đường đi được của hai người phải bằng nhau nên ta có phương trình: 40x = 60y ⇒ 2x − 3y = 0 (2).
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Vậy thời gian đi của người thứ nhất là 4,5 giờ, người thứ 2 là 3 giờ.
Thời điểm gặp nhau là 7h + 4h30′ = 11h30′
5. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 110m. Nếu tăng chiều dài thêm 10m và chiều rộng thêm 5m thì diện tích tăng thêm 350m2. Tính kích thước của mảnh vườn đó.
Bài làm:
Gọi chiều dài của mảnh vườn là x (m), chiều rộng mảnh vườn là y (m), (x, y > 0)
Chu vi của hình chữ nhật là: 2(x + y) = 110 ⇒ x + y = 55 (1)
Nếu tăng chiều dài thêm 10m và chiều rộng thêm 5m thì diện tích tăng thêm 350m2 nên ta có phương trình:
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Vậy, kích thước của mảnh vườn là: 50×5
6. Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà, mất 2 ngày mới xong việc. Nếu người thợ thứ nhất làm một mình trong 4 ngày rồi nghỉ và người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì mới xong việc. Hỏi mỗi người làm việc một mình thì sau bao lâu xong công việc?
Bài làm:
Trong một ngày, nếu người thứ nhất làm một mình thì làm được x (phần công việc).
Trong một ngày, nếu người thứ hai làm một mình thì làm được y (phần công việc). (x, y > 0).
Vì nếu hai người thợ cùng sơn thì trong hai ngày là hoàn thành công việc nên ta có hệ phương trình: 2(x + y) = 1 (1)
Vì nếu người thợ thứ nhất làm một mình trong 4 ngày, người thợ thứ 2 làm một mình thêm 1 ngày nữa thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình:
4x + y = 1 (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình sau:
Vậy, nếu người thứ nhất làm một mình thì trong 
Nếu người thứ hai làm một mình thì trong 
7. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau 1 giờ 20 phút bề đầy. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì được 
Bài làm:
Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được x (phần) bể nước, vòi 2 chảy được y (phần) bể nước. (x, y > 0).
Nếu hai vòi cùng chảy thì sau 1h20′ = 
Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút = 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:
Vậy, thời gian để vòi thứ nhất chảy 1 mình đầy bề là: 
Thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: 
D.E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi mở rộng
1. Trong kho tàng văn hóa dân gian Việt Nam có bài toán Trăm trâu trăm cỏ sau đây:
Trăm trâu trăm cỏ
Trâu đứng ăn năm
Trâu nằm ăn ba
Lụ khụ trâu già
Ba con một bó.
Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, bao nhiêu trâu nằm, bao nhiêu trâu già?
Bài toán trên thuộc loại phương trình Đi-ô-phăng (Diophante), đặt theo tên một nhà toán học cổ Hi Lạp. Trong toán học, phương trình Đi-ô-phăng là một phương trình đa thức không xác định mà ẩn số cũng như các hệ số là những số nguyên dương hay nguyên âm. Trong bài toán Đi-ô-phăng, các nhà toán học đã tìm được những tính chất sâu sắc của số nguyên, hữu tỉ, số đại số. Giải phương trình Đi-ô-phăng đã đưa đến sự ra đời của liên phân số, lí thuyết cong elliptic, lí thuyết xấp xỉ Đi-ô-phăng, thặng dư bình phương, số học modular,…
2. Một số bài toán dân gian về phương trình Đi-ô-phăng
a)
Một đàn em nhỏ đứng ven sông
To nhỏ cãi nhau chuyện chia bông
Mỗi em năm quả còn năm quả
Mỗi em sáu quả một em không
Hỏi chàng trai trẻ đang dừng bước
Có mấy em thơ, mấy quả bông?
b)
Đem một trăm đồng chẵn
Mua gà được trăm con
Nắm đồng mỗi con trống
Con mái ba đồng tròn
Mỗi đồng ba gà chiếp (gà con)
Hỏi mỗi loại mấy con?