Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây
A. Hoạt động khởi động
Giải các phương trình sau
i) x2 – 31x + 30 = 0
ii) 2x2 + 5x + 3 = 0
– Tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình trên.
– Nhận xét về tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình với các hệ số của phương trình đó.
Trả lời:
B. Hoạt động hình thành kiến thức
1. a) Thực hiện hoạt động sau
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép ta đều có thể viết các nghiệm đó dưới dạng:
Hãy tính: x1 + x2 ; x1.x2 theo a, b, c.
b) Đọc kĩ nội dung sau
Định lí Vi-ét
Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
c) Biết rằng các phương trình sau có nghiệm, không giải phương trình, hãy tính tổng và tích của chún theo mẫu:
i) 2x2 + 9x – 2 = 0;
ii) -3x2 – 6x + 1 = 0.
Mẫu: Phương trình 4x2 – 5x – 7 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 (do ac = -28 < 0)
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
2. a) Thực hiện các hoạt động sau
Cho phương trình: 3x2 – 7x + 4 = 0
• Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c
• Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của phương trình.
• Dùng hệ thức Vi-ét để tìm x2.
b) Đọc kĩ nội dung sau
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là 
c) Tính nhẩm nghiệm của phương trình -5x2 + 11x – 6 = 0 (theo mẫu):
Mẫu: Tính nhẩm nghiệm của phương trình x2 – 31x + 30 = 0
Giải. Có a = 1; b = -31; c = 30 => a + b + c = 1 + (-31) + 30 = 0
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 
Trả lời:
a) Các hệ số: a = 3; b = -7; c = 4; a + b + c = 3 + (-7) + 4 = 0;
Thay x1 = 1 vào vế trái phương trình: 3×12 − 7×1 + 4 = 0 = VP.
Vậy, x1 = 1 là một nghiệm của phương trình.
3. a) Thực hiện các hoạt động sau
Cho phương trình: x2 + 7x + 6 = 0
• Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a – b + c
• Chứng tỏ x1 = -1 là một nghiệm của phương trình.
• Dùng hệ thức Vi-ét để tìm x2.
b) Đọc kĩ nội dung sau
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là 
c) Tính nhẩm nghiệm của phương trình 2017x2 + 2018x + 1 = 0 (theo mẫu):
Mẫu: Tính nhẩm nghiệm của phương trình 2x2 + 5x + 3 = 0
Giải. Có a = 2; b = 5; c = 3 => a – b + c = 2 – 5 + 3 = 0
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 
Trả lời:
a) Các hệ số: a = 1; b = 7; c = 6; a – b + c = 1 – 7 + 6 = 0;
Thay x1 = −1 vào vế trái phương trình: ×(−1)2 + 7×(−1) + 6 = 0 = VP.
Vậy, x1 = −1 là một nghiệm của phương trình.
4. a) Viết tiếp vào chỗ chấm (…) để giải bài toán sau
Tìm hai số có tổng bằng S và tích bằng P.
Giải. Gọi một số là x thì số còn lại là ………
Theo giả thiết ta có phương trình x(S – x) = ……..
Hay x2 – Sx + P = 0 (1)
Nếu ∆ = S2 – 4P ≥ 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm:
x1 = …….. ; x2 = ……….
Các nghiệm này chính là hai số cần tìm.
b) Đọc kĩ nội dung sau
Nếu hai số có tổng bảng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0
Điều kiện để có hai nghiệm đó là S2 – 4P ≥ 0.
c) Viết tiếp vào chỗ chấm (…) để tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 29 và tích của chúng bằng 198.
Giải. Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: x2 – 29x + 198 = 0
∆ = ………………………, suy ra 
x1 = …………. ; x2 = ………….
Vậy hai số cần tìm là: …………….
Tương tự, hãy tìm hai số biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180.
d) Viết tiếp vào chỗ chấm (…) để nhẩm nghiệm của phương trình x2 + x – 6 = 0.
Giải. Vì 3 + (-2) = 1 và 3.(-2) = -6 nên x1 = …….. ; x2 = …… là hai nghiệm của phương trình đã cho.
Trả lời:
a) Gọi một số là x thì số còn lại là S − x
Theo giả thiết ta có phương trình: x(S − x)=P
Hay x2 – Sx + P = 0
Nếu Δ = S2 − 4P ≥ 0 thì (1) có hai nghiệm:
Các nghiệm này chính là hai số cần tìm.
c)
• Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: x2 − 29x + 198 = 0
Vậy hai số cần tìm là: 18 và 11
• Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: x2 − 27x + 180 = 0
Vậy hai số cần tìm là: 15 và 12
d) Vì (−3) + 2 = −1 và (−3)×2 = −6 nên x1 = −3; x2 = 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho.
C. Hoạt động luyện tập
1. Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét hãy tính tỏng và tích các nghiệm của mỗi phương trình sau (theo mẫu):
a) x2 – 12x + 9 = 0;
b) 4x2 – 5x – 6 = 0
c) 9x2 – 6x + 1 = 0
d) 3x2 – 5x – 17 = 0
Mẫu: Phương trình 2x2 – 7x + 2 = 0
Ta có: ∆ = 72 – 4.2.2. = 33 > 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1; x2.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
Bài làm:
2. Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 31x2 – 45x + 14 = 0
b) 7x2 + 23x – 30 = 0
c) 5x2 – 28x – 33 = 0
d) 1234x2 + 17x – 1217 = 0
Bài làm:
a) 31x2 − 45x + 14 = 0
Phương trình có: 31 + (−45) + 14 = 0 nên có hai nghiệm là 
b) 7x2 + 23x – 30 = 0
Phương trình có: 7 + 23 + (−30) = 0 nên có hai nghiệm là 
c) 5x2 – 28x – 33 = 0
Phương trình có: 5 − (−28) + (−33) = 0 nên có hai nghiệm là 
d) 1234x2 + 17x – 1217 = 0
Phương trình có: 1234 − 17 + (−1217) = 0 nên có hai nghiệm là 
3. Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) x2 + 5x – 24 = 0
b) x2 – x – 20 = 0
Bài làm:
a) x2 + 5x – 24 = 0
Vì (−8) + 3 = −5 và (−8)×3 = −24 nên phương trình có hai nghiệm là: x1 = −8 và x2 = 3
b) x2 – x – 20 = 0
Vì (−4) + 5 = 1 và (−4)×5 = −20 nên phương trình có hai nghiệm là: x1 = −4 và x2 = 5
4. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = -7; uv = 12
b) u + v = 32; uv = 231
c) u + v = 3; uv = -154
Bài làm:
a) u + v = −7; u×v = 12
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 + 7x + 12 = 0
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Vậy, hai số cần tìm là: −3 và −4
b) u + v = 32; u×v = 231
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 − 32x + 231 = 0
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Vậy, hai số cần tìm là: 21 và 11
c) u + v = 3; u×v = −154
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 − 3x − 154 = 0
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Vậy, hai số cần tìm là: 11 và −14
D.E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi mở rộng
1. Chứng tỏ rằng phương trình 7x2 – 3x – 54 = 0 có một nghiệm là 3. Tìm nghiệm còn lại.
Bài làm:
Thay x = 3 vào vế trái của phương trình: 7×(3)2 − 3×3 − 54 = 0 = VP
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có: 
2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:
Bài làm:
a) −3 và 7
Tổng hai số đã cho là: −3 + 7 = 4.
Tích hai số đã cho là: (−3)×7 = −21
Vậy, phương trình bậc hai lập được là: x2 − 4x − 21 = 0
3. Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x1 và x2 thì tam thức ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 2x2 – 5x + 3
b) 3x2 + 8x + 5
Bài làm:
• Chứng minh:
Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x1 và x2 khi Δ = b2 − 4ac ≥ 0
Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2;
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: 
Xét tam thức:
• Áp dụng:
a) 2x2 − 5x + 3 = 0
Phương trình trên có: 2 + (-5) + 3 = 0 nên có một nghiệm là
b) 3x2 + 8x + 5 = 0
Phương trình trên có: 3 – 8 + 5 = 0 nên có một nghiệm là
4. Em có biết?
Phrăng-xoa Vi-ét (F.Viete) sinh năm 1540 tại Pháp. Ông là một nhà toán học nổi tiếng. Chính ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu các ẩn và cả các hệ số của phương trình, đồng thời dùng chúng trong việc biến đỏi và giải phương trình. Nhờ cách dùng chữ để kí hiệu mà Đại số đã phát triển mạnh mẽ. Ông đã phát hiện mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình bậc hai.
Ngoài việc làm toán, Vi-ét còn là một luật sư và một chính trị ra nổi tiếng. Ông mất năm 1603.
(Trang 53, Sách giáo khoa toán 9 tập hai, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016)