Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây

C. Hoạt động luyện tập

1. Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

a) 7x² – 2x – 5 = 0

b) x² – 3x + 6 = 0

c) 3x² – 6x + 2 = 0

d) 12x² – 5x – 1 = 0

Bài làm:

a) 7x² – 2x – 5 = 0

Phương trình trên có a×c < 0 nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

Gọi hai nghiệm của phương trình là x₁ và x₂.

b) x² – 3x + 6 = 0

Phương trình trên có Δ =(−3)² – 4×1×6 = −15 < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

c) 3x² – 6x + 2 = 0

Phương trình trên có Δ’ = (−3)² – 3×2 = 2 > 0 nên phương trình đã cho hai nghiệm phân biệt.

Gọi hai nghiệm của phương trình là x₁ và x₂.

d) 12x² – 5x – 1 = 0

Phương trình trên có a×c < 0 nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

Gọi hai nghiệm của phương trình là x₁ và x₂.

2. Tìm giá trị của m để mỗi phương trình sau có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của phương trình đó theo m.

a) x² – 4x + m = 0

b) x² – 2(m + 3)x + m² + 3 = 0

Bài làm:

a) x² – 4x + m = 0

Δ’ = (−2)² – 1×m = 4 − m.

Để phương trình có nghiệm thì Δ’ ≥ 0 ⇔ 4 − m ≥ 0 ⇔ m < 4.

Với m < 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm, gọi hai nghiệm đó là x₁ và x₂.

Theo hệ thức Vi-et, ta có:

b) x² – 2(m + 3)x + m² + 3 = 0

Δ’ = [−(m + 3)]² – 1×(m² + 3) = 6(m + 1).

Để phương trình có nghiệm thì Δ’ ≥ 0 ⇔ 6(m + 1) ≥ 0 ⇔ m > −1.

Với m > −1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm, gọi hai nghiệm đó là x₁ và x₂.

Theo hệ thức Vi-et, ta có:

3. Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

Bài làm:

4. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

Bài làm:

a) u + v = -8; uv = 7

Hai số đã cho là nghiệm của phương trình: x² + 8x + 7 = 0 (1)

Phương trình thu được có: a − b + c = 1 − 8 + 7 = 0 do đó (1) có hai nghiệm là

Vậy, hai số cần tìm là: -1 và -7

Vậy hai số cần tìm là u = 1 và v = −4 hoặc u = 4 và v = −1

5. Lập phương trình bậc hai có nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

Bài làm:

a) −3 và 7

Tổng hai số là: (−3) + 7 = 4

Tích hai số là: (−3)×7 = −21

Hai số đã cho là nghiệm của phương trình: x² − 4x − 21 = 0.

6. Cho phương trình x² – 5x + 3 = 0. Gọi x₁ ; x₂ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

Bài làm:

Phương trình có: Δ = (−5)² − 4×1×3 = 13 > 0.

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: x₁ và x₂.

Theo hệ thức Vi-et, ta có:

7. Cho phương trình 2x² – x – 15 = 0. Kí hiệu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

Bài làm:

Phương trình 2x² – x – 15 = 0 có a×c < 0 nên có hai nghiệm phân biệt.

Tổng và tích của hai nghiệm đó là:

a) Tổng và tích của hai nghiệm của phương trình cần lập là:

Phương trình lập được là:

b) Tổng và tích của hai nghiệm của phương trình cần lập là:

Phương trình lập được là:

D.E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi mở rộng

1. Cho phương trình: 2x² – 6x + m + 7 = 0

a) Giải phương trình với m = -3.

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có một trong các nghiệm bằng -4?

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện x₁ = -2x₂.

Bài làm:

a) Thay m = -3 vào phương trình, ta được: 2x² − 6x + 4 = 0 ⇔ x² − 3x + 2 = 0

Phương trình thu được có: a + b + c = 1 − 3 + 2 = 0 nên có hai nghiệm là: x₁ = 1 và x₂ = 2

b) Δ’ = (−3)² − 2×(m + 7) = −2m − 5

Để phương trình có nghiệm thì Δ ≥ 0 ⇔ −2m − 5 ≥ 0 ⇔ m ≤ .

Theo hệ thức Vi-et:

Không mất tính tổng quát, giả sử x₁ = −4

c) Theo hệ thức Vi-et:

Kết hợp điều kiện x₁ = −2x₂ với (1), ta có:

2. Cho phương trình: x² – (2a – 1)x – 4x – 3 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x² không phụ thuộc vào a.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài làm:

a) Δ = [−(2a − 1)]² − 4×1×(−4a − 3)

= 4a² + 12a + 13

= (2a)² + 2×2a×3 + 9 + 4

= (2a + 3)² + 4 ≥ 0 ∀ a

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a.

b) Gọi x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình đã cho.

Theo hệ thức Vi-et:

3. Cho phương trình: x² – 2(m – 2)x + m² + 2m – 3 = 0. Tìm m để phương trình có các nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức:

Bài làm:

Δ’ = (m − 2)² − 1×(m² + 2m − 3) = −6m + 7

Để phương trình có nghiệm thì: Δ ≥ 0 ⇔ −6m + 7 ≥ 0 ⇔ m ≤

Với m ≤ thì phương trình có hai nghiệm. Gọi hai nghiệm đó là x₁; x₂

Theo hệ thức Vi-et:

Theo bài ra:

Thay (1) và (2) vào (3), ta có: