Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây

MỤC TIÊU

– Vận dụng được vị trí tương đối của hai đường tròn, tính chất đường nối tấm, các hệ thức liên hệ giữa khoảng cách giữa hai tâm với tổng, hiệu hai bán kính của hai đường tròn để giải một số bài toán.

– Tìm được một số ứng dụng của vị trí tương đối của hai đường tròn trong thực tế.

C. Hoạt động luyện tập

Bài tập 1. Điền các từ thích hợp vào chỗ chấm (…)

a) Tâm của các đường tròn có bán kính 2cm tiếp xúc ngoài với đường tròn (O;4cm) nằm trên …

b) Tâm của các đường tròn có bán kính 2cm tiếp xúc trong với đường tròn (O; 4cm) nằm trên …….

Lời giải:

a) Tâm của các đường tròn có bán kính 2cm tiếp xúc ngoài với đường tròn (O; 4cm) nằm trên đường tròn (O; 6cm)

b) Tâm của các đường tròn có bán kính 2cm tiếp xúc trong với đường tròn (O; 4cm) nằm trên đường tròn (O; 2cm).

Bài tập 2. Cho hai đường tròn (O;3cm) và (O’; 2cm) tiếp xúc ngoài tại A. Từ O và O’ kẻ hai bán kính OC và O’D song song với nhau và cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng OO’.

a) Chứng minh rằng AD và AC vuông góc với nhau;

b) Kéo dài CD cắt OO’ tại K. Tính độ dài KO’.

Gợi ý.

a) Ta chứng minh

+ ∠(COA) + ∠(DO’A) = 180^o

⇒ ∠(COA) + ∠(DAO’) = 90^o

b) Áp dụng định lí Ta-lét trong ΔKOC ta this được KO’.

Lời giải:

a) Ta có:

Mặt khác ∠(COA) + ∠(DO’A) = 180^o

⇔ ∠(COA) + ∠(O’AD) = 90^o ⇒ ∠(CAD) = 90^o hay AD và AC vuông góc với nhau.

b) Theo bài ra ta có: OC // O’D, áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác KOC ta có:

Vậy KO’ = 10cm.

Bài tập 3. Cho đừng tròn tâm O đường kính AB. Gọi I là trung điểm của AO. Vẽ đường tròn tâm I đường kính AO.

a) Chứng minh đường tròn (O) và (I) tiếp xúc với nhau tại A.

b) Qua A vẽ đường thẳng cắt (O) tại C và cắt (I) tại D (C, D khác A). Chứng minh ID // OC và OD // CB.

c) Lấy K trên đoạn CB sao cho BK = 2KC. Chứng minh AK đi qua trung điểm của OC.

Gợi ý câu c). Gọi giao điểm AK và CO là H.

Lấy M là trung điểm của KB, nối OM.

Ta chứng minh OM là đường trung bình của ΔAKB ⇒ OM//KH

Ta chứng minh HK là đường trung bình của ΔCOM

Lời giải:

a) Vì I là trung điểm của OA nên OI = OA – IA nên hai đường tròn tiếp xúc trong tại A.

b) * ΔIAD có IA = ID nên ΔIAD cân tại I ⇒ ∠(IAD) = ∠(IDA)

ΔOAC có OA = OC nên ΔOAC cân tại O ⇒ ∠(OAC) = ∠(OCA)

Mặt khác: ∠(IAD) = ∠(OAC) ⇒ ∠(IDA) = ∠(OCA) hay ID // OC

* Ta chứng minh được ID // OC, theo định lý Ta-lét trong ΔOAC có:

c) Gọi M là trung điểm BK

Tam giác ABK có: M là trung điểm BK, O là trung điểm AB nên OM là đường trung bình ΔABK

⇒ MO // KA hay MO // KH

Tam giác OBC có MO // KH, K là trung điểm CM nên MO là đường trung bình ΔOBC

⇒ H là trung điểm CO

Vậy AK đi qua trung điểm CO (đpcm).

D. Hoạt động vận dụng

Bài tập 1. Chỉ với 13 hình tròn được sắp đặt một cách diệu kì, họa sĩ trẻ Dorota Panhowska đến từ Canada khiến mọi người ngưỡng mộ với khả năng tạo nên những hình vẽ ấn tượng với 13 đường tròn đơn giản để có được những bức tranh thú cưng hoàn hảo.

Em hãy tìm hiểu cách vẽ này nhé (hình 135)!

(Nguồn: MMM – Trí thức trẻ – 15/6/2016)

Bài tập 2. Trên thực tế để ba kim của đồng hồ: kim giờ, kim phút, kim giây được hoạt động theo một nguyên tắc chặt chẽ và chính xác. Người ta đã sử dụng các bánh răng có dạng hình tròn khác nhau ở vị trí khác nhau để điều hành sự chuyển động của các kim một cách chính xác nhất. Em hãy tìm hiểu thêm về cách vận hành này (Quan sát hình 136 dưới đây).

Bài tập 3. Cho đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Từ A kẻ lần lượt các tiếp tuyến với (O) và (O’), các tiếp tuyến này cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại D và C. Gọi I là trung điểm của OO’. Lấy K sao cho I là trung điểm của AK.

a) Chứng minh OO’//KB và KB ⊥ AB.

b) Chứng minh tứ giác OAO’K là hình bình hành.

c) CHứng minh ΔKAD và ΔKAC cân.

d) Lấy E đối xứng với A quan B. Chứng minh bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn.

Lời giải:

a) Ta có: AB có trung trực là OO’

⇒ IA = IB = IK ⇒ Δ ABK vuông tại B

⇒ AB ⊥ BK mà AB ⊥ OO’ ⇒ OO’ // BK.

b) Tứ giác OAO’K có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ⇒ tứ giác OAO’K là hình bình hành

c) Ta có: OK//O’A và O’A ⊥ AD ⇒ OK ⊥ AD

⇒ OK là trung trực của AD ⇒ KA = KD hay tam giác KAD cân

Tương tự ta chứng minh được O’K là trung trực của AC ⇒ KA = KC hay tam giác KAC cân

d) Từ câu a ta được AB ⊥ BK, mặt khác AB = BE

⇒ ΔAKE cân ⇒ KE = KA

Từ câu c ta được KA = KD = KC

⇒ KA = KD = KC = KE hay bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn (đpcm).

E. Hoạt động tìm tòi, mở rộng

Bài tập 1. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O’). Từ M và N kẻ các đường vuông góc với OO’ chúng cắt (O) và (O’) thứ tự tại P và Q.

a) Tứ giác MNQP là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh rằng PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)

c) So sánh MN + PQ và MP + NQ

Gợi ý: Kẻ tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn tại A cắt MN tại E và cắt PQ tại F.

Lời giải:

a) Ta có: MP//NQ nên tứ giác MNQP là hình thang

Mặt khác OO’ vuông góc với MP và NQ tại trung điểm của MP và NQ nên tứ giác MNQP là hình thang cân

b) Δ OMP có OM = OP nên ΔOMP là tam giác cân

⇒ ∠(OPM) = ∠(OMP)

Tứ giác MNQP là hình thang cân nên ∠(MPQ) = ∠(PMN)

⇒ ∠(OPM) + ∠(MPQ) = ∠(OMP) + ∠(PMN) = 90^o ⇒ ∠(OPQ) = 90^o hay OP ⊥ PQ

Tương tự ta chứng minh được O’Q ⊥ PQ

Suy ra PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’).

c) Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A cắt MN tại H, cắt PQ tại K

Trong đường tròn (O), theo tính chất hai đường trung tuyến cắt nhau, ta có: MH = AH = HN ⇒ MN = 2AH

Trong đường tròn (O’), theo tính chất hai đường trung tuyến cắt nhau, ta có: PK = AK = KQ ⇒ PQ = 2AK

⇒ MN + PQ = 2(AH + AK) = 2HK (1)

Mặt khác HK là đương trung bình của hình thang cân MNQP nên

HK = ⇒ MP + NQ = 2HK (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN + PQ = MP + NQ.

Bài tập 2. Cho hai đường tròn đồng tâm (O; 2cm) và (O; 5cm). Vẽ đường tròn (O’; 3cm) sao cho OO’ = 10cm. Kẻ tiếp tuyến O’A với (O; 2cm), kéo dài OA cắt (O; 5cm) tại B. Kẻ bán kính O’C song song với OB (B, C nằm cùng trên một nửa mặt phẳng bờ OO’).

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O;5cm) và (O’).

b) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O; 5cm) và (O’; 3cm).

c) Tính độ dài BC

Bài làm:

a) Vì R + R’ = 5 + 3 = 8 < OO’ nên (O; 5cm) và (O’) không cắt nhau

b) Ta có: AB = OB – OA = 5 – 2 = 3cm

Tứ giác ABCO có O’C//AB và O’C = AB = 3cm ⇒ tứ giác ABCO’ là hình bình hành ⇒ BC//O’A

Vì O’A là tiếp tuyến của (O; 2cm) nên OA ⊥ O’A ⇒ OA ⊥ BC hay OB ⊥ BC ⇒ BC là tiếp tuyến của (O; 5cm)

Vì O’C // OB mà OB ⊥ BC nên O’C ⊥ BC hay BC là tiếp tuyến của (O’)

Vậy BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O; 5cm) và (O’; 3cm).

c) ABCO’ là hình bình hành nên

Vậy BC = 4√6 cm

Bài tập 3. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài nhau tại A (R > R’). Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC của hai đường tròn (B ∈ (O), C ∈ (O’)).

a) Tính BC theo R và R’.

b) Đường tròn (I; r) tiếp xúc với hai đường tròn trên và tiếp xúc với BC tại M. Tính r theo R và R’.

Gợi ý.

a) Từ O’ kẻ O’H ⊥ OB tại H. Ta chứng minh tứ giác BCO’H là hình chữ nhật và OH = R – R’.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào OO’H vuông, ta có BC = O’H = 2√RR’

b) Tương tự câu a ta tính MB, MC và có MB + MC = BC rồi rút ra r.

Lời giải: