Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây

MỤC TIÊU

– Hệ thống được kiến thức đã học trong chương

– Giải được một số dạng toán cơ bản liên quan đến kiến thức đã học trong chương: các bài tập tính toán độ dài, đường cao trong tam giác vuông, giải tam giác vuông, xác định số đo các góc nhọn,…

– Nhận biết được một số mô hình thực tế có liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác vuông và biết cách dùng các hệ thức lượng để giải quyết các bài toán đó.

C. Hoạt động luyện tập

1. Điền vào chỗ chấm (…) để ôn tập các công thức đã học trong chương

1.1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cho tam goác ABC vuông tại A, đường cao AH (h.59)

1.2. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn α (h.60)

1.3. Một số tính chất của các tỉ số lượng giác (h.61)

*) Cho hai góc α và β phụ nhau. Khi đó

*) Cho góc nhọn α. Ta có:

1.4. Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A (h.62)

Lời giải:

1. Điền vào chỗ chấm (…) để ôn tập các công thức đã học trong chương.

1.1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (h.59)

1.2. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn α (h.60)

1.3. Một số tính chất của các tỉ số lượng giác (h.61)

* Cho hai góc α phụ nhau. Khi đó

sinα = cosβ;

tanα = cotβ ;

cosα = sinβ;

cotα = tanβ.

* Cho góc nhọn α. Ta có:

0 < sinα < 1; 0 < cosα < 1; sin2α + cos2α = 1 ; tanα.cotα = 1

1.4. Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A (h.62).

a) b = a.sin B = a.cos C ;

c = a.sin C = a.cos B

b) b = c.tan B = c.cot C

c = b.tan C = b.cot B

2. Hãy lập một sơ đồ tư duy để tổng hợp kiến thức các em đã học trong chương

Ví dụ:

3. Chọn đáp án đúng trong các câu sau

a) Cho 0^o < α < 90^o. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. sinα + cosα = 1

B. tanα = tan(90^o – α)

C. sinα = cos(90^o – α)

D. cotα = cot(90^o – α)

b) Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 6cm, BC = 7,5cm. Độ dài CH bằng:

A. 4,8cm    B. 2,7cm

C. 0,6cm    D. cm

c) Cho ABC vuông tại A, ∠B = α, AB = 1cm, AC = 2cm. Khẳng định nào sau đây là sai?

Lời giải:

a) Ta có: góc α và 90^o – α là hai góc phụ nhau nên: sinα = cos(900 – α)

Suy ra đáp án đúng là C.

b)

Ta có:

Vậy đáp án B.

c)

Theo định lý Py-ta-go:

*Ta có: suy ra B đúng

* Ta có:

⇒ sinα = 2cosα (1)

Suy ra đáp án A đúng

* Từ (1) suy ra sinα – 2cosα = 0

Suy ra đáp án D sai.

Vậy D sai.

4. Cho tam giác ABC có AB = 3,6cm, AC = 4,8cm, BC = 6cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.

b) Gọi BD là phân giác của góc B. Tính tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác BDC.

Lời giải:

a)

Ta có:

Suy ra tam giác ABC vuông tại A

⇒ ∠B = 53,13^o ⇒ ∠C = 90^o – 53,13^o = 36,87^o

Ta có: AH.BC = AB.AC

b)

Theo tính chất đường phân giác ta có:

Vậy

5. Ngọn hải đăng Long Châu tọa lạc trên đảo Long Châu, huyện đảo Cát Hải, Hải Phòng, cao 109,5m so với mực nước biển. Khoảng cách từ đỉnh của ngọn hải đăng đến một con thuyền đang neo trên biển là 1km. Một người đứng trên thuyền và nhìn lên ngọn hải đăng. Tính góc nhìn của người đó tạo với phương nằm ngang (h.63).

Lời giải:

Ta có hình minh họa như trên

Gọi các điểm như hình vẽ, khi đó góc nhìn của người đứng trên thuyền tạo với phương nằm ngang chính là góc C

Xét tam giác ABC, ta có:

Vậy góc nhìn của người đứng trên thuyền tạo với phương nằm ngang là 6,27^o.

6. Cho tam giác ABC có góc B bằng 120^o, BC = 12cm, AB = 6cm. Đường phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D.

a) Tính độ dài đường phân giác BD

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM ⊥ BD.

c) Tính AM và diện tích tam giác ABM

Lời giải:

a) Từ A kẻ AE//BD

Tam giác ABE có ∠(ABE) = 60^o, ∠(EAB) = 60^o (so le trong)

suy ra tam giác ABE đều ⇒ AB = AE = BE = 6cm

Vì BD//AE nên

b) Ta có: AB = 6cm, BM = CM = 1/2 BC = 6cm

⇒ AB = BM = 6cm ⇒ ΔABM cân tại B ⇒ ∠(BAM) = ∠(BMA) = 30^o

Ta có: ∠(BAM) + ∠(ABD) = 30^o + 60^o = 90^o hay AM ⊥ BD.

c) Gọi giao điểm giữa AM và BD là H.

Ta có ΔABM cân tại B nên AM = 2AH

Xét tam giác vuông ABH

⇒ AH = AB.cosBAH = 6.cos300 = √3 cm

⇒ AM = 6√3 cm

Ta có:

D.E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Bài tập 1. Cho tam giác vuông ABC tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

a) Cho BH = 4cm, CH = 9cm

i) Tính độ dài đoạn thẳng DE và số đo góc HAC (làm tròn đến độ).

ii) Tính giá trị của biểu thức:

iii) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. CHứng minh răng M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH. Tính diện tích tứ giác DENM.

b) Chứng minh AD.AB = AE.AC

c) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC

d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE

Lời giải:

a)

i) Ta có tứ giác ADHE là hình vuông nên DE = AH

Xét tam giác vuông ABC, ta có: AH² = BH.CH = 4.9 = 36 ⇒ AH = 6cm ⇒ DE = 6cm

ii) Ta có:

iii) Ta có: ∠(MDH) + ∠(HDE) = 90^o (do DM ⊥ DE)

∠(MHD) + ∠(DHA) = 90^o (do AH ⊥ BC)

Mặt khác tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên ∠(HDE) = ∠(DHA) ⇒ ∠(MDH) = ∠(MHD) ⇒ tam giác MDH cân tại M suy ra DM = MH

Tương tự ta được BM = DM

Suy ra DM = MH = BM hay M là trung điểm của BH

Tương tự ta chứng minh được N là trung điểm của CH.

b) Ta có: ∠(ADE) = ∠(AHE) = ∠(BHD) (cùng phụ với góc ∠(DHA) = ∠(BCA) (đồng vị)

Xét tam giác ADE và tam giác ACB có:

Góc A chung, ∠(ADE) = ∠(BCA)

Suy ta tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB

suy ra AD.AB = AC.AE (đpcm).

c) Ta có: ∠(ADE) + ∠(DAI) = 90^o

∠(DAI) + ∠(IAE) = 90^o

⇒ ∠(IAE) = ∠(ADE) = ∠ACB

⇒ ΔIAC cân tại I ⇒ IA = IC

Tương tự ta được IA = IB

⇒ IA = IB = IC hay I là trung điểm của BC.

d) S_ADHE = AD.AE

S_ΔABC = 1/2. AB. AC

Để S_ΔABC = 2S_ADHE thì 1/2.AB.AC = 2.AD.AE ⇔ AB.AC = 4AD.AE

Theo câu b AD.AB = AC.AE

⇒ AC² = 4AD² ⇔ AC = 2AD

Vậy AC = 2AD thì diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE.

2. Tìm hiểu lục giác đều

– Nối các đường chéo của một miếng bìa hình lục giác đều, chúng cắt nhau và tạo ra một hình lục giác đều nhỏ hơn, học sinh tô màu hình lục giác đều nhỏ hơn (h.64)

Làm thế nào tính được tỉ số diện tích giữa hai hình lục giác đều đó? (bằng cách ghép hình hoặc sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Cách 1. Cắt ghép hình

– Nối các đường chéo chính của lục giác đều ban đầu và cắt theo các đường chéo này để chia hình lục giác đều ban đầu thành 6 hình tam giác đều giống hệt nhau như hình 65a.

– Dễ nhận thấy hình lục giác đều được tô màu cũng được chia đều thành 6 hình bằng nhau chứa trong miếng bìa tam giác đều vừa cắt. Do vậy, ta chỉ việc tính tỉ số diện tích của phần tô màu trên một hình tam giác đều.

– Tiếp tục kẻ thêm đường cao thứ ba của một miếng bìa tam giác đều và cắt một miếng bìa hình tam giác đều thành 6 hình tam giác con (h65.b).

6 miếng bìa này giống hệt nhau, trong có 2 miếng bìa được tô màu, do đó diện tích phần tô màu bằng 1/3 diện tích tam giác đều. Từ đó lục giác đều mới có diện tích bằng 1/3 diện tích lục giác đều ban đầu.

Cách 2. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (h.56c)

Diện tích lục giác đều cạnh a được tính theo công thức: . Do đó tỉ số diện tích hai lục giác đều bằng bình phương tỉ số giữa độ dài hai cạnh của hai lục giác đều đó.

Vậy ta cần tính tỉ số độ dài hai cạnh của hai lục giác đều. Em hãy tính tỉ số này bằng việc sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông nhé!