Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Cánh Diều: tại đây
Hoạt động 1 trang 49 Chuyên đề Toán 10:
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
, trong đó a > 0, b > 0 (Hình 13).
a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F1, F2 của hypebol (H).
b) Hypebol (H) cắt trục Ox tại các điểm A1, A2. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA1 và OA2.
Lời giải:
a) Toạ độ hai tiêu điểm F1, F2 của hypebol (H) là: F1(–c; 0) và F2(c; 0) với
c
=
a
2
+
b
2
.
b)
+) Vì A1 thuộc trục Ox nên toạ độ của A1 có dạng
x
A
1
;
0
.
Mà A1 thuộc (H) nên
x
A
1
2
a
2
+
0
2
b
2
=
1
⇒
x
A
1
2
=
a
2
⇒
x
A
1
=
a
x
A
1
=
−
a
.
Ta thấy A1 nằm bên trái điểm O trên trục Ox nên
x
A
1
<
0
⇒
x
A
1
=
−
a
⇒
A1(–a; 0).
Khi đó OA1 =
−
a
−
0
2
+
0
−
0
2
=
−
a
2
=
a
(vì a > 0).
Vậy OA1 = a.
+) Vì A2 thuộc trục Ox nên toạ độ của A2 có dạng
x
A
2
;
0
.
Mà A2 thuộc (H) nên
x
A
2
2
a
2
+
0
2
b
2
=
1
⇒
x
A
2
2
=
a
2
⇒
x
A
2
=
a
x
A
2
=
−
a
.
Ta thấy A2 nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên
x
A
2
>
0
⇒
x
A
2
=
a
⇒
A2(a; 0).
Khi đó OA2 =
a
−
0
2
+
0
−
0
2
=
a
2
=
a
(vì a > 0).
Vậy OA2 = a.
Hoạt động 2 trang 49 Chuyên đề Toán 10:
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
, trong đó a > 0, b > 0 (Hình 14).
Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol (H). Gọi M1, M2, M3 lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc O. Các điểm M1, M2, M3 có nằm trên hypebol (H) hay không? Tại sao?
Lời giải:
Theo đề bài, M(x; y) nằm trên (H) nên ta có:
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1.
+) M1 là điểm đối xứng của M qua trục Ox, suy ra M1 có toạ độ là (x; –y).
Ta có
x
2
a
2
−
−
y
2
b
2
=
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1.
Do đó M1 cũng thuộc (H).
+) M2 là điểm đối xứng của M qua trục Oy, suy ra M2 có toạ độ là (–x; y).
Ta có
−
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1.
Do đó M2 cũng thuộc (H).
+) M3 là điểm đối xứng của M qua gốc O, suy ra M3 có toạ độ là (–x; –y).
Ta có
−
x
2
a
2
−
−
y
2
b
2
=
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1.
Do đó M3 cũng thuộc (H).
Hoạt động 3 trang 50 Chuyên đề Toán 10:
b) Viết phương trình hai đường thẳng PR và QS.
Lời giải:
a) Nếu điểm M(x; y) thuộc (H) thì
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1.
Vì
y
2
b
2
≥
0
nên
x
2
a
2
≥
1
⇒
x
2
≥
a
2
⇒
x ≤ –a hoặc x ≥ a.
b)
+) Có P(–a; b), R(a; –b)
⇒
P
R
→
=
a
−
−
a
;
−
b
−
b
=
2
a
;
−
2
b
.
Do đó ta chọn (b; a) là một vectơ pháp tuyến của PR.
Khi đó phương trình đường thẳng PR là: b(x + a) + a(y – b) = 0 hay bx + ay = 0 hay
y
=
−
b
a
x
.
+) Có Q(a; b), S(–a; –b)
⇒
Q
S
→
=
−
a
−
a
;
−
b
−
b
=
−
2
a
;
−
2
b
.
Do đó ta chọn (–b; a) là một vectơ pháp tuyến của QS.
Khi đó phương trình đường thẳng QS là: –b(x – a) + a(y – b) = 0 hay –bx + ay = 0 hay
y
=
b
a
x
.
Luyện tập 1 trang 51 Chuyên đề Toán 10:
Lời giải:
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
(a > 0, b > 0).
+) Hypebol có một đỉnh là A2(5; 0)
⇒
a = 5.
+) Hypebol có một đường tiệm cận là y = –3x
⇒
b
a
=
3
⇒
b = 3a = 15.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là
x
2
5
2
−
y
2
15
2
=
1
hay
x
2
25
−
y
2
225
=
1.
Hoạt động 4 trang 51 Chuyên đề Toán 10:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
với a > b > 0.
Lời giải:
Tâm sai e của elip có phương trình chính tắc là
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
với a > b > 0 là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip, tức là
e
=
c
a
=
a
2
−
b
2
a
.
Luyện tập 2 trang 52 Chuyên đề Toán 10:
5
4
.
Lời giải:
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
(a > 0, b > 0).
+) Hypebol có độ dài trục ảo bằng 6
⇒
2b = 6
⇒
b = 3
⇒
b2 = 9.
+) Hypebol có tâm sai bằng
5
4
⇒
a
2
+
3
2
a
=
5
4
⇒
16
a
2
+
3
2
=
25
a
2
⇒
a
2
=
16.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là
x
2
16
−
y
2
9
=
1.
Hoạt động 5 trang 52 Chuyên đề Toán 10:
Với mỗi điểm M(x; y) thuộc đường hypebol (H), chứng minh:
a) MF12 = x2 + 2cx + c2 + y2;
b) MF22 = x2 – 2cx + c2 + y2;
c) MF12 – MF22 = 4cx.
Lời giải:
a) MF12 = [x – (– c)]2 + (y – 0)2 = (x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2.
b) MF22 = (x – c)2 + (y – 0)2 = x2 – 2cx + c2 + y2.
c) MF12 – MF22 = (x2 + 2cx + c2 + y2) – (x2 – 2cx + c2 + y2) = 4cx.
Hoạt động 6 trang 52 Chuyên đề Toán 10:
Lời giải:
+) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trục Oy thì MF1 > MF2. Khi đó:
MF1 – MF2 = |MF1 – MF2| = 2a.
Ta có: MF12 – MF22 = 4cx
⇒
(MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx
⇒
(MF1 + MF2)2a = 4cx
⇒
MF1 + MF2 =
4
c
x
2
a
=
2
c
a
x. Khi đó:
+) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trái Oy thì MF1 < MF2. Khi đó:
MF1 – MF2 = –|MF1 – MF2| = –2a.
Ta có: MF12 – MF22 = 4cx
⇒
(MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx
⇒
(MF1 + MF2)(–2a) = 4cx
⇒
MF1 + MF2 =
4
c
x
2
a
= –x. Khi đó:
Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có
Luyện tập 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10:
x
2
144
−
y
2
25
=
1.
Giả sử M là điểm thuộc hypebol có hoành độ là 15. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M.
Lời giải:
Có a2 = 144, b2 = 25
⇒
a
=
12
,
b
=
5
,
c
=
a
2
+
b
2
=
144
+
25
=
13.
Độ dài các bán kính qua tiêu của M là:
Hoạt động 7 trang 53 Chuyên đề Toán 10:
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
với a > 0, b > 0. Xét đường thẳng
Δ
1
:
x
=
−
a
e
.
MF
1
d
(
M
,
Δ
1
)
.
Lời giải:
a) Ta viết lại phương trình đường thẳng Δ1 ở dạng Δ1: x + 0 . y +
a
e
= 0.
Với mỗi điểm M(x0; y0) thuộc hypebol, ta có:
MF
1
d
M
,
Δ
1
=
e
Luyện tập 4 trang 54 Chuyên đề Toán 10:
x
2
11
−
y
2
25
=
1.
Lời giải:
Ta có: a2 = 11, b2 = 25
Do đó hai tiêu điểm là F1(–6; 0) và F2(6; 0)
Vậy phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1(–6; 0) là
Δ
1
:
x
=
−
11
6
.
Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2(6; 0) là
Δ
2
:
x
=
11
6
.
Hoạt động 8 trang 55 Chuyên đề Toán 10:
(
H
)
:
x
2
9
−
y
2
16
=
1
.
Lời giải:
Để vẽ hypebol (H), ta có thể làm như sau:
Ta thấy a = 3, b = 4. (H) có các đỉnh là A1(– 3; 0), A2(3; 0).
Bước 1. Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = –3, x = 3, y = – 4, y = 4.
Bước 2. Vẽ hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở.
Tim một số điểm cụ thể thuộc hypebol, chẳng hạn ta thấy điểm
M
5
;
16
3
thuộc (H). Do đó các điểm
M
1
5
;
−
16
3
,
M
2
−
5
;
16
3
,
M
3
−
5
;
−
16
3
thuộc (H).
Bước 3. Vẽ đường hypebol bên ngoài hình chữ nhật cơ sở; nhánh bên trái tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm A1(– 3; 0) và đi qua M2, M3; nhánh bên phải tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm A2(3; 0) và đi qua M, M1. Vẽ các điểm thuộc hypebol càng xa gốc toạ độ thi càng sát với đường tiệm cận. Hypebol nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng và hai trục toạ độ là hai trục đối xứng.
Luyện tập 5 trang 55 Chuyên đề Toán 10:
Lời giải:
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
(a > 0, b > 0).
+) Hypebol có một đỉnh là A1(–4; 0)
⇒
a = 4.
+) Hypebol có tiêu cự là 10
⇒
2c = 10
⇒
c = 5
⇒
b2 = c2 – a2 = 52 – 42 = 9.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là
x
2
16
−
y
2
9
=
1
.
Bài 1 trang 56 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết:
a) Tiêu điểm là F1(– 3; 0) và đỉnh là A2 (2; 0).
b) Đỉnh là A2(4; 0) và tiêu cự bằng 10.
c) Tiêu điểm F2 (4; 0) và phương trình một đường tiệm cận là
y
=
−
7
3
x
.
Lời giải:
a)
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
(a > 0, b > 0).
+) Hypebol có một tiêu điểm là F1(–3; 0)
⇒
c = 3.
+) Hypebol có một đỉnh là A2(2; 0)
⇒
a = 2
⇒
b2 = c2 – a2 = 32 – 22 = 5.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay
x
2
4
−
y
2
5
=
1.
b)
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
(a > 0, b > 0).
+) Hypebol có một đỉnh là A2(4; 0)
⇒
a = 4.
+) Hypebol có tiêu cự là 10 ⇒ 2c = 10
⇒
c = 5
⇒
b2 = c2 – a2 = 52 – 42 = 9.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là
x
2
16
−
y
2
9
=
1.
c)
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
(a > 0, b > 0).
+) Hypebol có một tiêu điểm là F2(4; 0)
⇒
c = 4.
+) Hypebol có một đường tiệm cận là
y
=
−
7
3
x
⇒
b
a
=
7
3
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là
x
2
9
−
y
2
7
=
1.
Bài 2 trang 56 Chuyên đề Toán 10:
x
2
4
−
y
2
1
=
1
.
a) Xác định toạ độ các đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục thực của hypebol.
b) Xác định phương trình các đường tiệm cận của hypebol và vẽ hypebol trên.
Lời giải:
a) Ta có: a = 2, b = 1, c =
a
2
+
b
2
=
5
.
Toạ độ các đỉnh của hypebol là: A1(–2; 0), A2(2; 0).
Các tiêu điểm của hypebol là: F1
−
5
;
0
,
F2
5
;
0
,
Tiêu cự của hypebol là: 2c =
2
5
.
Độ dài trục thực của hypebol là: 2a = 4.
b) Phương trình các đường tiệm cận của hypebol là:
y
=
−
b
a
x
=
−
1
2
x
và
y
=
b
a
x
=
1
2
x
.
Vẽ hypebol:
Bài 3 trang 56 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc là x2 – y2 = 1. Chứng minh rằng hai đường tiệm cận của hypebol vuông góc với nhau.
Lời giải:
Ta có: a = 1, b = 1. Suy ra:
Phương trình hai đường tiệm cận của hypebol là:
d
1
:
y
=
−
b
a
x
=
−
x
và
d
2
:
y
=
b
a
x
=
x
.
d1: y = – x hay x + y = 0 có vectơ pháp tuyến là
n
1
→
1
;
1
.
d1: y = x hay x – y = 0 có vectơ pháp tuyến là
n
2
→
1
;
−
1
.
Có
n
1
→
.
n
2
→
=
1.1
+
1.
−
1
=
0.
Suy ra hai vectơ này vuông góc với nhau, do đó hai đường thẳng d1 và d2 cũng vuông góc với nhau.
Bài 4 trang 56 Chuyên đề Toán 10:
(
H
)
:
x
2
64
−
y
2
36
=
1
. Lập phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E).
Lời giải:
Hypebol (H) có a = 8, b = 6
⇒
c
=
a
2
+
b
2
=
10
và một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M(8; 6).
Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
(a > b > 0).
Theo đề bài ta có:
+) (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H)
⇒
c
=
10
⇒
a
2
−
b
2
=
c
2
=
100
1
.
+) Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E)
Thế (1) vào (2) ta được:
Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là
x
2
160
+
y
2
60
=
1
.
Bài 5 trang 56 Chuyên đề Toán 10: Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay hoặc tàu thuỷ hoạt động trên biển. Trong hệ thống đó có hai đài vô tuyến đặt lần lượt tại địa điểm A và địa điểm B, khoảng cách AB = 650 km (Hình 18). Giả sử có một con tàu chuyển động trên biển với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm.
Khi đang ở vị trí P, máy thu tín hiệu trên con tàu chuyển đổi chênh lệch thời gian nhận các tín hiệu từ A và B thành hiệu khoảng cách |PA – PB|. Giả sử thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s. Vận tốc di chuyển của tín hiệu là 3 . 108 m/s.
a) Lập phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu.
b) Chứng tỏ rằng tại mọi thời điểm trên quỹ đạo chuyển động thì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s.
Lời giải:
a) Vì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s nên tại thời điểm đó PB – PA = (3 . 108) . 0,0012 = 360000 (m) = 360 (km).
Vì con tàu chuyển động với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm nên |PA – PB| = 360 (km) với mọi vị trí của P.
Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của AB và trục Ox trùng với AB, đơn vị trên hai trục là km thì hypebol này có dạng
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
(a > 0, b > 0).
Vì |PA – PB| = 360 nên 2a = 360, suy ra a =180.
Theo đề bài, AB = 650, suy ra 2c = 650, suy ra c = 325.
b2 = c2 – a2 = 3252 – 1802 = 73225.
Vậy phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu là
x
2
32400
−
y
2
73225
=
1
.
b) Vì con tàu chỉ chuyển động ở nhánh bên phải trục Oy của hypebol nên ta PB < PA với mọi vị trí của P. Do đó tàu luôn nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A.
Gọi t1 là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ A, t2 là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ B thì
t
1
=
PA
v
,
t
2
=
PB
v
với v là vận tốc di chuyển của tín hiệu.
Khi đó, ta có:
Vậy thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s.