Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây
HĐ1 trang 40 Chuyên đề Toán 10:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
(H.3.1).
a) Tìm toạ độ các giao điểm của elip với các trục toạ độ.
b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm M(x0; y0) thuộc elip thì các điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) cũng thuộc elip.
c) Với điểm M(x0; y0) thuộc elip, hãy so sánh OM2 với a2, b2.
Lời giải:
a)
+) Vì A1 thuộc trục Ox nên toạ độ của A1 có dạng
x
A
1
;
0
.
Mà A1 thuộc elip nên
x
A
1
2
a
2
+
0
2
b
2
=
1
⇒
x
A
1
2
=
a
2
⇒
x
A
1
=
a
x
A
1
=
−
a
.
Ta thấy A1 nằm bên trai điểm O trên trục Ox nên
x
A
1
<
0
⇒
x
A
1
=
−
a
⇒ A1(–a; 0).
+) Vì A2 thuộc trục Ox nên toạ độ của A2 có dạng
x
A
2
;
0
.
Mà A2 thuộc elip nên
x
A
2
2
a
2
+
0
2
b
2
=
1
⇒
x
A
2
2
=
a
2
⇒
x
A
2
=
a
x
A
2
=
−
a
.
Ta thấy A2 nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên
x
A
2
>
0
⇒
x
A
2
=
a
⇒ A2(a; 0).
+) Vì B1 thuộc trục Oy nên toạ độ của B1 có dạng
0
;
y
B
1
.
Mà B1 thuộc elip nên
0
2
a
2
+
y
B
1
2
b
2
=
1
⇒
y
B
1
2
=
b
2
⇒
y
B
1
=
b
y
B
1
=
−
b
.
Ta thấy B1 nằm bên dưới điểm O trên trục Oy nên
y
B
1
>
0
⇒
y
B
1
=
−
b
⇒ B1(0; –b).
+) Vì B2 thuộc trục Oy nên toạ độ của B2 có dạng
0
;
y
B
2
.
Mà B2 thuộc elip nên
0
2
a
2
+
y
B
2
2
b
2
=
1
⇒
y
B
2
2
=
b
2
⇒
y
B
2
=
b
y
B
2
=
−
b
.
Ta thấy B2 nằm bên trên điểm O trên trục Oy nên
y
B
2
>
0
⇒
y
B
2
=
b
⇒ B2(0; b).
b)
Nếu điểm M(x0; y0) thuộc elip thì ta có:
x
0
2
a
2
+
y
0
2
b
2
=
1.
Ta có:
x
0
2
a
2
+
−
y
0
2
b
2
=
−
x
0
2
a
2
+
y
0
2
b
2
=
−
x
0
2
a
2
+
−
y
0
2
b
2
=
x
0
2
a
2
+
y
0
2
b
2
=
1
nên các điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) cũng thuộc elip.
c) M(x0; y0) thuộc elip nên ta có:
x
0
2
a
2
+
y
0
2
b
2
=
1.
OM2 =
x
0
2
+
y
0
2
=
a
2
.
x
0
2
a
2
+
b
2
.
y
0
2
b
2
mà
b
2
.
x
0
2
a
2
+
b
2
.
y
0
2
b
2
<
a
2
.
x
0
2
a
2
+
b
2
.
y
0
2
b
2
<
a
2
.
x
0
2
a
2
+
a
2
.
y
0
2
b
2
hay
b
2
x
0
2
a
2
+
y
0
2
b
2
<
a
2
.
x
0
2
a
2
+
b
2
.
y
0
2
b
2
<
a
2
x
0
2
a
2
+
y
0
2
b
2
hay
b
2
<
a
2
.
x
0
2
a
2
+
b
2
.
y
0
2
b
2
<
a
2
nên b2 < OM2 < a2.
Luyện tập 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10:
Lời giải:
Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
(a > b > 0).
Theo đề bài ta có:
– Độ dài trục lớn bằng 10, suy ra 2a = 10, suy ra a = 5.
– Elip có một tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6 hay c = 3, suy ra b2 = a2 – c2 = 52 – 32 = 16.
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là
x
2
25
+
y
2
16
=
1.
Luyện tập 2 trang 41 Chuyên đề Toán 10:
a) Tính toạ độ của N theo x0; y0; k.
b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên elip có phương trình chính tắc
x
2
a
2
+
y
2
(
k
a
)
2
=
1
.
Lời giải:
a) Gọi toạ độ của N là (xN; yN). Khi đó
H
N
→
=
x
N
−
x
0
;
y
N
−
0
=
x
N
−
x
0
;
y
N
.
Vì HN = kHM nên
H
N
→
=
k
H
M
→
.
Mà
H
M
→
= (x0 – x0; y0 – 0) = (0; y0) nên
x
N
−
x
0
=
k
.0
y
N
=
k
.
y
0
⇒
x
N
=
x
0
y
N
=
k
y
0
.
b) Khi M thay đổi trên đường tròn ta luôn có
x
0
2
+
y
0
2
=
a
2
.
Do đó
x
N
2
a
2
+
y
N
2
(
k
a
)
2
=
x
0
2
a
2
+
k
y
0
2
(
k
a
)
2
=
x
0
2
a
2
+
y
0
2
a
2
=
x
0
2
+
y
0
2
a
2
=
a
2
a
2
=
1.
Vậy N luôn thay đổi trên elip có phương trình chính tắc
x
2
a
2
+
y
2
(
k
a
)
2
=
1
.
HĐ2 trang 42 Chuyên đề Toán 10:
a) Tính MF12 – MF22.
b) Khi điểm M thuộc elip (MF1 + MF2 = 2a), tính MF1 – MF2, MF1, MF2.
Lời giải:
a) MF12 – MF22 = (x2 + 2cx + c2 + y2) – (x2 – 2cx + c2 + y2) = 4cx.
b) MF12 – MF22 = 4cx
⇒ (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx
⇒ 2a(MF1 – MF2) = 4cx
⇒ MF1 – MF2 =
4
c
x
2
a
=
2
c
a
x.
+) Từ MF1 + MF2 = 2a và MF1 – MF2 =
2
c
a
x ta suy ra:
(MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) = 2a +
2
c
a
x ⇒ 2MF1 = 2a +
2
c
a
x ⇒ MF1 = a +
c
a
x.
+) Từ MF1 + MF2 = 2a và MF1 – MF2 =
2
c
a
x ta suy ra:
(MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = 2a –
2
c
a
x ⇒ 2MF2 = 2a –
2
c
a
x ⇒ MF2 = a –
c
a
x.
Luyện tập 3 trang 42 Chuyên đề Toán 10:
x
2
36
+
y
2
20
=
1
, điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Có a2 = 36, suy ra a = 6.
c =
a
2
−
b
2
=
36
−
20
=
16
=
4.
Gọi toạ độ của M là (x; y).
Ta xét khoảng cách từ M đến F1.
Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF1 = 6 +
4
6
x = 6 +
2
3
x.
Mặt khác, vì M thuộc elip nên –6 ≤ x ≤ 6
⇒
−
2
3
.6
≤
2
3
x
≤
2
3
.6
⇒
−
4
≤
2
3
x
≤
4
⇒
2
≤
6
+
2
3
x
≤
10.
Vậy 2 ≤ MF1 ≤ 10.
Vậy độ dài MF1 nhỏ nhất bằng 2 khi M có hoành độ bằng –6, lớn nhất bằng 10 khi M có hoành độ bằng 6.
Vận dụng 1 trang 43 Chuyên đề Toán 10:
Lời giải:
Gọi phương trình chính tắc của elip là
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
(a > b > 0).
Giả sử Trái Đất có toạ độ là điểm M(x; y) và tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F1.
Khi đó, khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ Trái Đất đến tâm Mặt Trời lần lượt là a + c và a – c.
Theo đề bài ta có: a + c = 152 và a – c = 147.
Suy ra a = 149,5 và c = 2,5.
Suy ra b2 = a2 – c2 = 149,52 – 2,52 = 22344.
Vậy phương trình chính tắc của elip là
x
2
22350
,
25
+
y
2
22344
=
1.
HĐ3 trang 43 Chuyên đề Toán 10:
Cho elip có phương trình chính tắc
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
, với các tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0), ở đây
c
=
a
2
−
b
2
(H.3.6). Xét các đường thẳng ∆1 : x =
–
a
2
c
và ∆2 : x =
a
2
c
. Với điểm M(x; y) thuộc elip, tính các tỉ số
M
F
1
d
M
,
Δ
1
và
M
F
2
d
M
,
Δ
2
theo a và c.
Lời giải:
+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ1 ở dạng: x + 0y +
a
2
c
= 0. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có:
d(M, Δ1) =
x
+
0
y
+
a
2
c
1
2
+
0
2
=
x
+
a
2
c
.
Do MF1 = a +
c
a
x > 0 nên MF1 = |a +
c
a
x|,
suy ra
M
F
1
d
M
,
Δ
1
=
a
+
c
a
x
x
+
a
2
c
=
a
2
+
c
x
a
x
c
+
a
2
c
=
c
a
=
c
a
.
+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ2 ở dạng: x + 0y –
a
2
c
= 0. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có:
d(M, Δ2) =
x
+
0
y
−
a
2
c
1
2
+
0
2
=
x
−
a
2
c
.
Do MF2 = a –
c
a
x > 0 nên MF2 = |a –
c
a
x|,
suy ra
M
F
2
d
M
,
Δ
2
=
a
−
c
a
x
x
−
a
2
c
=
a
2
−
c
x
a
x
c
−
a
2
c
=
c
a
=
c
a
.
Luyện tập 4 trang 44 Chuyên đề Toán 10:
x
2
36
+
y
2
25
=
1
. Tìm tâm sai và các đường chuẩn của elip. Tính các bán kính qua tiêu của điểm thuộc elip và có hoành độ bằng –2.
Lời giải:
+) Có a2 = 36, b2 = 25, suy ra a = 6, b = 5.
c
=
a
2
−
b
2
=
36
−
25
=
11
.
Tâm sai của elip là e =
c
a
=
11
6
, các đường chuẩn của elip là
Δ1 : x = –
a
2
c
⇔ x = –
36
11
và Δ2 : x =
a
2
c
⇔ x =
36
11
.
+) Các bán kính qua tiêu của điểm thuộc elip và có hoành độ bằng –2 là:
MF1 = a +
c
a
x = 6 +
11
6
(–2) = 6 –
11
3
.
MF2 = a –
c
a
x = 6 –
11
6
(–2) = 6 +
11
3
.
Vận dụng 2 trang 44 Chuyên đề Toán 10:
Bài 3.1 trang 44 Chuyên đề Toán 10:
x
2
12
+
y
2
4
=
1.
a) Xác định đỉnh và độ dài các trục của elip.
b) Xác định tâm sai và các đường chuẩn của elip.
c) Tính các bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip, biết điểm M có hoành độ bằng –3.
Lời giải:
a) Có a2 = 12, b2 = 4 ⇒ a =
12
=
2
3
, b = 2.
Toạ độ các đỉnh của elip là A1(–
2
3
; 0), A2(
2
3
; 0), B1(0; –2), B2(0; 2).
Độ dài trục lớn của elip là 2a = 2.
2
3
= 4
3
.
Độ dài trục nhỏ của elip là 2b = 2.2 = 4.
b) c =
a
2
−
b
2
=
12
−
4
=
8
=
2
2
.
Tâm sai của elip là e =
c
a
=
2
2
2
3
=
6
3
, các đường chuẩn của elip là
Δ1 : x = –
a
2
c
⇔ x = – 3
2
và Δ2 : x =
a
2
c
⇔ x = 3
2
.
c) Các bán kính qua tiêu của điểm thuộc elip và có hoành độ bằng –3 là:
MF1 = a +
c
a
x =
2
3
+
2
2
2
3
−
3
=
2
3
–
6
.
MF2 = a –
c
a
x =
2
3
–
2
2
2
3
−
3
=
2
3
+
6
.
Bài 3.2 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của elip trong mỗi trường hợp sau:
a) Độ dài trục lớn bằng 8, tiêu cự bằng 6;
b) Độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai bằng
3
2
.
Lời giải:
a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
(a > b > 0).
Theo đề bài ta có:
– Độ dài trục lớn bằng 8, suy ra 2a = 8, suy ra a = 4.
– Tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6 hay c = 3, suy ra b2 = a2 – c2 = 42 – 32 = 7.
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là
x
2
16
+
y
2
7
=
1.
b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
(a > b > 0).
Theo đề bài ta có:
– Độ dài trục lớn bằng 8, suy ra 2a = 8, suy ra a = 4.
– Elip có tâm sai bằng
3
2
suy ra
c
a
=
3
2
⇒
c
4
=
3
2
⇒
c
=
2
3
⇒ b2 = a2 – c2 = 42 –
(
2
3
)
2
= 4
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là
x
2
16
+
y
2
4
=
1.
Bài 3.3 trang 44 Chuyên đề Toán 10:
x
2
9
+
y
2
5
=
1
.
a) Qua tiêu điểm của elip vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
b)Tìm điểm M trên elip sao cho MF1 = 2MF2 với F1 và F2 là hai tiêu điểm của elip (hoành độ của F1 âm).
Lời giải:
Có
c
=
a
2
−
b
2
=
9
−
5
=
2.
a) Giả sử A nằm phía trên còn B nằm phía dưới trục Ox.
Khi đó toạ độ của A có dạng (c; yA) hay (2; yA) với yA > 0;
toạ độ của B có dạng (c; yB) hay (2; yB) với yB > 0.
Vì A thuộc elip nên
2
2
9
+
y
A
2
5
=
1
⇒
y
A
2
5
=
5
9
⇒
y
A
=
5
3
.
Vì B thuộc elip nên
2
2
9
+
y
B
2
5
=
1
⇒
y
B
2
5
=
5
9
⇒
y
B
=
−
5
3
.
b) Gọi toạ độ của M là (x; y). Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:
MF1 = a +
c
a
x, MF2 = a –
c
a
x. Do đó:
MF1 = 2MF2
⇔
a
+
c
a
x
=
2
a
−
c
a
x
⇔
a
=
3
c
a
x
⇔
x
=
a
2
3
c
=
9
3.2
=
3
2
.
⇒
3
2
2
9
+
y
2
5
=
1
⇒
1
4
+
y
2
5
=
1
⇒
y
2
5
=
3
4
⇒
y
=
±
15
2
.
Vậy
M
3
2
;
15
2
hoặc
M
3
2
;
−
15
2
.
Bài 3.4 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Đường tròn phụ của hình elip là đường tròn có đường kính là trục nhỏ của elip (H.3.8).
Do đó, đường tròn phụ là đường tròn lớn nhất có thể nằm bên trong một hình elip. Tìm phương trình đường tròn phụ của elip
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
và chứng minh rằng, nếu điểm M(x0; y0) thuộc elip thì điểm
N
b
a
x
0
;
y
0
thuộc đường tròn phụ.
Lời giải:
Vì đường tròn phụ có đường kính là trục nhỏ của elip nên có tâm là O(0; 0) và bán kính b.
Vậy phương trình đường tròn phụ là: x2 + y2 = b2.
Có M(x0; y0) thuộc elip nên
x
0
2
a
2
+
y
0
2
b
2
=
1.
Xét điểm N(
b
a
x0; y0) , ta có:
b
a
x
0
2
+
y
0
2
=
b
2
a
2
.
x
0
2
+
y
0
2
=
b
2
x
0
2
a
2
+
y
0
2
b
2
=
b
2
.1
=
b
2
.
Vậy toạ độ điểm N thoả mãn phương trình đường tròn phụ, do đó điểm N thuộc đường tròn phụ.
Bài 3.5 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Với tâm sai khoảng 0,244, quỹ đạo elip của sao Diêm Vương “dẹt” hơn so với quỹ đạo của tám hành tinh trong hệ Mặt Trời (xem Em có biết? ở cuối bài). Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng 590635.106 km. Tìm khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời (tiêu điểm của quỹ đạo) (Theo: nssdc.gsfc.nasa.gov).
Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F1 của elip, đơn vị trên các trục là kilômét.
Giả sử phương trình chính tắc của quỹ đạo elip này là
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
(a > b > 0).
Theo đề bài, ta có:
– Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng 590635.106 km, suy ra a = 590635.106.
– Elip có yâm sai khoảng 0,244 ⇒ c = 0,244.a = 144114,94.106.
Giả sử sao Diêm Vương có toạ độ là M(x; y).
Khoảng cách giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời là MF1.
MF1 = a +
c
a
x, vì –a ≤ x ≤ a nên a – c ≤ MF1 ≤ a + c
590635.106 – 144114,94.106 ≤ MF1 ≤ 590635.106 + 144114,94.106
46520,06.106 ≤ MF1 ≤ 734749,94.106
Vậy khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời lần lượt là 46520,06.106 km và 734749,94.106 km.
Bài 3.6 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Một phòng thì thầm có trần vòm elip với hai tiêu điểm ở độ cao 1,6 m (so với mặt sàn) và cách nhau 16 m. Đỉnh của mái vòm cao 7,6 m (H.3.9).
Hỏi âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau bao nhiêu giây đến được tiêu điểm kia? Biết vận tốc âm thanh là 343,2 m/s và làm tròn đáp số tới 4 chữ số sau dấu phẩy.
Lời giải:
Giả sử phương trình chính tắc của elip này là
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
(a > b > 0).
Dựa vào hình vẽ ta thấy: 2c = 16 ⇒ c = 8.
b = 7,6 – 1,6 = 6 ⇒ a =
b
2
+
c
2
=
6
2
+
8
2
= 10.
Âm thanh đi từ một tiêu điểm qua điểm M(x; y) trên trần vòm rồi đến tiêu điểm kia. Do đó quãng đường mà âm thanh đã đi là: MF1 + MF2.
Theo công thức bán kính qua tiêu ta có: MF1 = a +
c
a
x, MF2 = a –
c
a
x.
Quãng đường âm thanh đã đi là: MF1 + MF2 = a +
c
a
x + a –
c
a
x = 2a = 20 (m).
Thời gian âm thanh đã đi là:
20
343
,
2
≈ 0,0583 (s).
Vậy âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau khoảng 0,0583 giây sẽ đến được tiêu điểm kia.