Chuyên đề 2: Phương pháp quy nạp toán học. Nhị thức Newton

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây

Bài 2.19 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta có:

2.21 + 3.22 + 4.23 + … + (n + 1).2n = n.2n + 1.

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 2.21 = 4 = 1.21 + 1

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 

2.21 + 3.22 + 4.23 + … + (k + 1).2k = k.2k + 1

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

2.21 + 3.22 + 4.23 + … + (k + 1).2k + [(k + 1) + 1].2k + 1 = (k + 1)2(k + 1) + 1.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

2.21 + 3.22 + 4.23 + … + (k + 1).2k + [(k + 1) + 1].2k + 1

= k.2k + 1 + [(k + 1) + 1].2k + 1

= (2k + 2).2k + 1

= (k + 1).2.2k + 1

= (k + 1)2k + 2

= (k + 1).2(k + 1) + 1.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 2.20 trang 38 Chuyên đề Toán 10:



S


n


=


1


1.3


+


1


3.5


+



+


1



(


2


n





1


)


(


2


n


+


1


)



.

a) Tính S1, S2, S3.

b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh nó bằng quy nạp.

Lời giải:

a) 



S


1


=


1


1.3


=


1


3


,


S


2


=


1


1.3


+


1


3.5


=


2


5


,




S


3


=


1


1.3


+


1


3.5


+


1


5.7


=


3


7


.

b) Từ a) ta có thể dự đoán 



S


n


=


n



2


n


+


1



.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 



S


1


=


1


3


=


1



2.1


+


1



.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 



S


k


=


k



2


k


+


1



.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:



S



k


+


1



=



k


+


1




2




k


+


1




+


1



.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:



S



k


+


1



=


1


1.3


+


1


3.5


+



+


1



(


2


k





1


)


(


2


k


+


1


)



+


1





2




k


+


1







1






2




k


+


1




+


1






=


S


k


+


1





2




k


+


1







1






2




k


+


1




+


1






=


k



2


k


+


1



+


1





2




k


+


1







1






2




k


+


1




+


1






=


k



2


k


+


1



+


1





2


k


+


1






2


k


+


3






=



k




2


k


+


3




+


1






2


k


+


1






2


k


+


3






=



2



k


2



+


3


k


+


1






2


k


+


1






2


k


+


3






=





k


+


1






2


k


+


1








2


k


+


1






2


k


+


3





=



k


+


1




2


k


+


3



=



k


+


1




2




k


+


1




+


1



.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 2.21 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có 102n + 1 + 1 chia hết cho 11.

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 0 ta có 102.0 + 1 + 1 = 11 ⁝ 11.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 0.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 102k + 1 + 1 chia hết cho 11.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 102(k + 1) + 1 + 1 chia hết cho 11.

Thật vậy, ta có:

102(k + 1) + 1 + 1

= 10(2k + 1) + 2 + 1

= 100.102k + 1 + 1

= 100.102k + 1 + 100 – 100 + 1

= 100(102k + 1 + 1) – 100 + 1

= 100(102k + 1 + 1) – 99.

Vì 102k + 1 + 1 và 99 đều chia hết cho 11 nên 100(102k + 1 + 1) – 99 chia hết cho 11. Do đó 102(k + 1) + 1 + 1 chia hết cho 11.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

Bài 2.22 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5n ≥ 3n + 4n.

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 2 ta có 52 = 25 = 32 + 42.                                                

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 2.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 5k ≥ 3k + 4k.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 5k + 1 ≥ 3k + 1 + 4k + 1.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

5k + 1 = 5.5k ≥ 5(3k + 4k) = 5. 3k + 5.4k ≥ 3. 3k + 4.4k = 3k + 1 + 4k + 1.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

Bài 2.23 trang 38 Chuyên đề Toán 10:

a) Khai triển (1 + x)10.

b) (1,1)10 và 2.

Lời giải:

a) 





1


+


x




10


=


C


10


0



1


10


+


C


10


1



1


9


x

+


C


10


2



1


8



x


2


+



+


C


10


9


1


x


9


+


C


10


10



x


10



=

1

+


C


10


1


x

+


C


10


2



x


2


+



+


C


10


9



x


9


+


x


10


.

b) Áp dụng câu a) ta có:





1


,


1




10


=




1


+


0


,


1




10



=

1

+


C


10


1


.0

,

1

+


C


10


2





0


,


1




2


+



+


C


10


9





0


,


1




9


+




0


,


1




10


>

1

+


C


10


1


.0

,

1

=

2.

Bài 2.24 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x9 trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)11.

Lời giải:

Số hạng chứa x9 trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)11



C


11



11





9






2


x




9








3





11





9



=


C


11


2



2


9



x


9








3




2


=


C


11


2



2


9



3


2



x


9


=

253440


x


9


.

Vậy hệ số của x9 trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)11 là 253440.

Bài 2.25 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Khai triển đa thức (1 + 2x)12 thành dạng a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12.

Tìm hệ số ak lớn nhất.

Lời giải:

Số hạng chứa xk trong khai triển thành đa thức của (1 + 2x)12 hay (2x + 1)12



C


12



12





k






2


x




k



1



12





k



=


C


12


k



2


k



x


k


.

Do đó 



a


k


=


C


12


k



2


k


.

Thay các giá trị của k từ 0 đến 12 vào ak ta thấy a8 có giá trị lớn nhất và bằng 126720.

Bài 2.26 trang 38 Chuyên đề Toán 10:



C



2


n



0


+


C



2


n



2


+


C



2


n



4


+



+


C



2


n




2


n



=


C



2


n



1


+


C



2


n



3


+


C



2


n



5


+



+


C



2


n




2


n





1



.

Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thoả mãn 



C



2


n



1


+


C



2


n



3


+



+


C



2


n




2


n





1



=

2048.

Lời giải:

Xét:


M

=


C



2


n



0


+


C



2


n



1


+


C



2


n



2


+



+


C



2


n




2


n





1



+


C



2


n




2


n



;


N

=


C



2


n



0





C



2


n



1


+


C



2


n



2









C



2


n




2


n





1



+


C



2


n




2


n



;


P

=


C



2


n



0


+


C



2


n



2


+


C



2


n



4


+



+


C



2


n




2


n





2



+


C



2


n




2


n



;


Q

=


C



2


n



1


+


C



2


n



3


+


C



2


n



5


+



+


C



2


n




2


n





3



+


C



2


n




2


n





1



.

+) Ta có:




(


x


+


1


)




2


n



=


C



2


n



0



x



2


n



+


C



2


n



1



x



2


n





1



1

+


C



2


n



2



x



2


n





2




1


2


+



+


C



2


n




2


n





1



x


1



2


n





1



+


C



2


n




2


n




1



2


n




=


C



2


n



0



x



2


n



+


C



2


n



1



x



2


n





1



+


C



2


n



2



x



2


n





2



+



+


C



2


n




2


n





1



x

+


C



2


n




2


n



.

Cho x = 1, ta được:




(


1


+


1


)




2


n



=


C



2


n



0



1



2


n



+


C



2


n



1



1



2


n





1



+


C



2


n



2



1



2


n





2



+



+


C



2


n




2


n





1



1

+


C



2


n




2


n




=


C



2


n



0


+


C



2


n



1


+


C



2


n



2


+



+


C



2


n




2


n





1



+


C



2


n




2


n



.

Vậy M = (1 + 1)2n = 22n .

+) Ta có:




(


x





1


)




2


n



=


C



2


n



0



x



2


n






C



2


n



1



x



2


n





1



1

+


C



2


n



2



x



2


n





2




1


2









C



2


n




2


n





1



x


1



2


n





1



+


C



2


n




2


n




1



2


n




=


C



2


n



0



x



2


n






C



2


n



1



x



2


n





1



+


C



2


n



2



x



2


n





2










C



2


n




2


n





1



x

+


C



2


n




2


n



.

Cho x = 1, ta được:




(


1





1


)




2


n



=


C



2


n



0



1



2


n






C



2


n



1



1



2


n





1



+


C



2


n



2



1



2


n





2










C



2


n




2


n





1



1

+


C



2


n




2


n




=


C



2


n



0





C



2


n



1


+


C



2


n



2









C



2


n




2


n





1



+


C



2


n




2


n



.

Vậy N = (1 – 1)2n = 0.

Ta có:  P + Q = M = 22n và P – Q = N = 0 nên P = Q = 22n : 2 = 22n-1.

Áp dụng:



C



2


n



1


+


C



2


n



3


+



+


C



2


n




2


n





1



=

2048





2



2


n





1



=

2048



2

n



1

=

11



n

=

6.

Bài 2.27 trang 38 Chuyên đề Toán 10:



C


n


0


,


C


n


1


,



,


C


n


n


.

Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)n, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Lời giải:

+) Ta có:

 



C


n


k





C


n



k


+


1







n


!




k


!




n





k




!







n


!






k


+


1




!




n





k





1




!








k


+


1



!



n





k





1



!



k

!



n





k



!




k

+

1



n



k



2

k



n



1

(*).

– Nếu n lẻ thì (*) ⇔ k 






n





1



2


.

Từ đây ta có 



C


n


k





C


n



k


+


1





k





n





1



2


.





C


n


0





C


n


1









C


n




n





1



2






C


n




n


+


1



2










C


n


n


.

Dấu “=” chỉ xảy ra khi k = 




n





1


 



2


.

Do đó có hai số có giá trị lớn nhất là



C


n




n





1



2



 và



C


n




n


+


1



2



.

– Nếu n chẵn thì (*) ⇔ k







n





1



2



=


n


2




1.

Từ đây ta có 



C


n


k





C


n



k


+


1





k




n


2




1.





C


n


0





C


n


1









C


n



n


2










C


n


n


.

Dấu “=” không xảy ra với bất kì giá trị k nào.

Do đó chỉ có đúng một số có giá trị lớn nhất là



C


n



n


2



.

+) Áp dụng:

Tổng các hệ số của khai triển (a + b)n bằng 4096





C


n


0


+


C


n


1


+



+


C


n


n


=

4096




2


n


=

4096



n

=

12

 Hệ số lớn nhất của khai triển là 



C


12


6


= 924.

Bài 2.28 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)n với p > 0, q > 0, p + q = 1.

 

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình 5 / 5. Số lượt đánh giá: 1099

Chưa có ai đánh giá! Hãy là người đầu tiên đánh giá bài này.

--Chọn Bài--

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!

Tải xuống