Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Sách giáo khoa đại số và giải tích 11
• Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
• Sách giáo khoa hình học 11
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11
• Giải Toán Lớp 11
• Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
• Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao
• Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao
• Giải Toán Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
• Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 11 Nâng Cao

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 3.1 trang 107 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N^∗ )

Lời giải:

a) Đặt vế trái bằng S_n. Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có với k ≥ 1.

Ta phải chứng minh

Thật vậy

b) Đặt vế trái bằng làm tương tự như câu a).

Bài 3.2 trang 107 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N^∗ )

Lời giải:

a) Đặt vế trái bằng S_n

Với n = 1 vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng 1

Giả sử đã có với k ≥ 1. Ta phải chứng minh

Thật vậy, ta có

S_{k + 1} = S_k + [2(k + 1) – 1]² = S_k + (2k + 1)²

b) Đặt vế trái bằng An

Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có

Ta có:

Bài 3.3 trang 107 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N^∗ ta có

a) 2n³ − 3n² + n chia hết cho 6.

b) 11^{n + 1} + 12²ⁿ⁻¹ chia hết cho 133.

Lời giải:

a) Đặt B_n = 2n³ − 3n² + n tính B¹

Giả sử đã có B_k = 2k³ − 3k² + k chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh B_k+1 = 2(k+1)³ − 3(k+1)² + k chia hết cho 6.

b) Đặt A_n = 11ⁿ⁺¹ + 12²ⁿ⁻¹ Dễ thấy A₁ = 133 chia hết cho 133.

Giả sử A_k = 11^k+1 + 12^2k−1 đã có chia hết cho 133.

Ta có

A_k+1 = 11^k+2 + 12^2k+1

= 11. 11^k+1 + 12^2k−1.12²

= 11. 11^k+1 + 12^2k−1(11 + 133)

= 11.A_k + 133. 12^2k−1

Vì A_k chia hết 133 nên A_k+1 chia hết 133

Bài 3.4 trang 107 Sách bài tập Đại số 11: Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N^∗)

a) 2^{n + 2} > 2n + 5;

b) sin²ⁿα + cos²ⁿα ≤ 1.

Lời giải:

a) Với n = 1 thì 2^{1 + 2} = 8 > 7 = 2.1 + 5

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1 tức là 2k + 2 > 2k + 5 (1)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1,

tức là 2k + 3 > 2(k + 1) + 5 hay 2k + 3 > 2k + 7(2)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

2k + 3 > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3

Vì 2k + 3 > 0 nên 2k + 3 > 2k + 7(đpcm)

b) Với n = 1 thì sin²α + cos²α = 1 bất đẳng thức đúng.

Giả sử đã có sin^2kα + cos^2kα ≤ 1 với k ≥ 1, ta phải chứng minh

sin^2k+2α + cos^2k+2α ≤ 1.

Thật vậy, ta có:

sin^2k+2α + cos^2k+2α = sin^2kα. sin²α + cos^2kα.cos²α ≤ sin^2kα + cos^2kα ≤ 1

Bài 3.5 trang 107 Sách bài tập Đại số 11: Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có

a) 2ⁿ > 2n + 1;

b) 2ⁿ > n² + 4n + 5;

c) 3ⁿ > 2ⁿ + 7n?

Lời giải:

Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.

Phương pháp : Có thể dùng phép thử, sau đó dựđoán kết quả và chứng minh.

a) Dùng phép thử với n = 1, 2, 3, 4 ta dự đoán: Với thì n ≥ 3 bất đẳng thức đúng. Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.

Với n = 3 hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì 2³ = 8 > 2.3 + 1 = 7

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k tức là 2^k > 2k + 1 (1)

ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là

2^{k + 1} > 2k + 3 (2)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

2^{k + 1} > 4k + 2 = 2k + 3 + 2k – 1 > 2k + 3.

b) Dùng phép thử.

Với n từ 1 đến 6, bất đẳng thức đều không đúng. Tuy nhiên không thể vội vàng kết luận bất phương trình vô nghiệm.

Nếu thử tiếp ta thấy rằng bất phương trình đúng khi n = 7. Ta có thể làm tiếp để đi tới dự đoán: Với thì bất phương trình được nghiệm đúng. Sau đó chứng minh tương tự như câu a).

c) Làm tương tự như câu a) và câu b).

Bài 3.6 trang 107 Sách bài tập Đại số 11: Cho tổng:

a) Tính S₁, S₂, S₃, S₄;

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a) Tính

b) Viết lại

Ta có thể dự đoán

Bài tập trắc nghiệm trang 107, 108 Sách bài tập Đại số 11:

Bài 3.7: Xét mệnh đề chứa biến P(n): “10^{n – 1} < n + 2017 với n ∈ N^∗”

Bằng phép thử ta có P(1), P(2), P(3), P(4) là đúng. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. P(n) đúng với mọi số chẵn n ≤ 4             B. P(n) đúng với mọi số lẻ n < 4

C. P(n) đúng với mọi số n             D. P(n) đúng với mọi số n ≤ 4

Lời giải:

Vì các phương án A; B; D là đúng nên phương án C là sai. Mặt khác cũng có thể thấy C sai cả về hai phương diện suy luận (việc thử với n = 1, 2, 3, 4 không phải là chứng minh) và thực tế (dễ thấy P(5) là sai, tổng quát ta có thể chứng minh 10^(n-1) > n + 2017 với n ≥ 5)

Chọn đáp án: C

Bài 3.8: Đặt . Giả sử hệ thức

là đúng với n = k ≥ 1. Để chứng minh hệ thức trên cũng đúng với n = k + 1, ta phải chứng minh S_{k + 1} bằng:

Lời giải:

Chọn đáp án: B

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm