Xem toàn bộ tài liệu Lớp 12: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Sách giáo khoa đại số và giải tích 12
• Sách giáo khoa hình học 12
• Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao
• Sách giáo khoa hình học 12 nâng cao
• Giải Toán Lớp 12
• Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12
• Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
• Giải Toán Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12
• Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 12 Bài tập ôn tập chương 1 giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 1.75 trang 39 Sách bài tập Giải tích 12: Cho hàm số: y = 4x³ + mx (m là tham số) (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 13x + 1.

c) Xét sự biến thiên của hàm số (1) tùy thuộc vào giá trị m.

Lời giải:

a) y = 4x³ + x, y′ = 12x² + 1 > 0, ∀ x ∈ R

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Giả sử tiếp điểm cần tìm có tọa độ (x₀; y₀) thì f′(x₀) = 12x²₀ + 1 = 13 (vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 3x + 1). Từ đó ta có: x₀ = 1 hoặc x₀ = -1

Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là y = 13x + 8 hoặc y = 13x – 8

c) Vì y’ = 12x² + m nên m ≥ 0; y” = –6(m² + 5m)x + 12m

    +) Với m ≥ 0 ta có y’ > 0 (khi m = 0; y’ = 0 tại x = 0).

Vậy hàm số (1) luôn luôn đồng biến khi m ≥ 0; y” = –6(m² + 5m)x + 12m

    +) Với m < 0 thì y = 0 ⇔

Từ đó suy ra:

y’ > 0 với

y’ < 0 với

Vậy hàm số (1) đồng biến trên các khoảng

và nghịch biến trên khoảng

Bài 1.76 trang 40 Sách bài tập Giải tích 12: Cho hàm số: y = –(m² + 5m)x³ + 6mx² + 6x – 5

a) Xác định m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?

b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1 ?

Lời giải:

a) y = –(m² + 5m)x³ + 6mx² + 6x – 5

y′ = –3(m² + 5m)x² + 12mx + 6

Hàm số đơn điệu trên R khi và chỉ khi y’ không đổi dấu.

Ta xét các trường hợp:

    +) m² + 5m = 0 ⇔

– Với m = 0 thì y’ = 6 nên hàm số luôn đồng biến.

– Với m = -5 thì y’ = -60x + 6 đổi dấu khi x đi qua .

    +) Với m² + 5m ≠ 0. Khi đó, y’ không đổi dấu nếu

Δ’ = 36m² + 18(m² + 5m) ≤ 0 ⇔ 3m² + 5m ≤ 0 ⇔ –5/3 ≤ m ≤ 0

– Với điều kiện đó, ta có –3(m² + 5m) > 0 nên y’ > 0 và do đó hàm số đồng biến trên R.

Vậy với điều kiện –5/3 ≤ m ≤ 0 thì hàm số đồng biến trên R.

b) Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 1 thì y’(1) = 0. Khi đó:

y′(1) = –3m² – 3m + 6 = 0 ⇔

Mặt khác, y” = –6(m² + 5m)x + 12m

    +) Với m = 1 thì y’’ = -36x + 12. Khi đó, y’’(1) = -24 < 0 , hàm số đạt cực đại tại x = 1.

    +) Với m = -2 thì y’’ = 36x – 24. Khi đó, y’’(1) = 12 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Vậy với m = 1 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1.

Bài 1.77 trang 40 Sách bài tập Giải tích 12: Cho hàm số

a) Xác định a để hàm số luôn đồng biến.

b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a = 3/2.

Từ đó suy ra đồ thị của hàm số

Lời giải:

a) Ta có

y’ = (a – 1)x² + 2ax + 3a – 2.

Với a = 1, y’ = 2x + 1 đổi dấu khi x đi qua -1/2. Hàm số không đồng biến.

Với a ≠ 1 thì với mọi x mà tại đó y’ ≥ 0

(y’ = 0 chỉ tại x = -2, khi a = 2).

Vậy với a ≥ 2 hàm số luôn đồng biến

b) Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ta có

y = 0 có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

(a – 1)x² + 3ax + 9a – 6 = 0

Có hai nghiệm phân biệt khác 0. Muốn vậy, ta phải có

Giải hệ trên, ta được:

c) Khi a = 3/2 thì

y’ = 0 ⇔ x² + 6x + 5 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = -5.

Đồ thị như trên Hình 1.18

Vì

nên từ đồ thị (C) ta suy ngay ra đồ thị của hàm số

như trên Hình 1.19

Bài 1.78 trang 40 Sách bài tập Giải tích 12: Cho hàm số : y = x³ – 3x²

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: x³ – 3x² – m = 0 có ba nghiệm phân biệt.

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008).

Lời giải:

a) TXĐ: D = R

Sự biến thiên:

y′ = 3x² – 6x = 3x(x – 2)

y′=0 ⇔

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–∞;0), (2;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; y_CĐ = y(0) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y_CT = y(2) = -4.

Giới hạn:

Điểm uốn: y” = 6x – 6, y” = 0 ⇔ x = 1; y(1) = –2

Suy ra đồ thị có điểm uốn I(1; -2)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị cắt trục hoành tại O(0;0), A(3;0). Đồ thị đi qua điểm B(-1;-4); C(2;-4).

b) x³ – 3x² – m = 0 ⇔ x³ – 3x² = mx³ – 3x² – m = 0 ⇔ x³ – 3x² = m (∗)

Phương trình (∗) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Từ đó suy ra: – 4 < m < 0.

Bài 1.79 trang 40 Sách bài tập Giải tích 12: Cho hàm số: y = –x⁴ – x² + 6

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y = x/6 –1

Lời giải:

a) Học sinh tự làm

b) Ta có: y′ = –4x³ – 2x

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x/6 – 1 nên tiếp tuyến có hệ số góc là –6. Vì vậy:

–4x³ – 2x = –6

⇔ 2x³ + x – 3 = 0

⇔ 2(x³ – 1) + (x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(2x² + 2x + 3) = 0

⇔ x = 1(2x² + 2x + 3 > 0, ∀x)

Ta có: y(1) = 4

Phương trình phải tìm là: y – 4 = -6(x – 1) ⇔ y = -6x + 10

Bài 1.80 trang 40 Sách bài tập Giải tích 12: Cho hàm số: y = f(x) = x⁴ – 2mx² + m³ – m²

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

b) Xác định m để đồ thị (C_m) của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Lời giải:

a) y = x⁴ – 2x²

y′ = 4x³ – 4x = 4x(x² – 1)

y′ = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Đồ thị

b) y′ = 4x³ – 4mx = 4x(x² – m)

Để (C_m) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 và y_CT = 0.

    +) Nếu m ≤ 0 thì x² – m ≥ 0 với mọi x nên đồ thị không thể tiếp xúc với trục Ox tại hai điểm phân biệt.

    +) Nếu m > 0 thì y’ = 0 khi x = 0; x = √m hoặc x = -√m.

f(√m) = 0 ⇔ m² – 2m² + m³ – m² = 0 ⇔ m²(m – 2) = 0 ⇔ m = 2 (do m > 0)

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Bài 1.81 trang 41 Sách bài tập Giải tích 12:Cho hàm số:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua O(0;0) và tiếp xúc với (C) .

c) Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.

Lời giải:

a) Học sinh tự làm

b) Phương trình tiếp tuyến tại điểm M₀(x₀; y₀) là:

y – y₀ = y’(x₀)(x – x₀)

Trong đó:

Ta có:

Để đường thẳng đó đi qua O(0; 0), điều kiện cần và đủ là:

⇔ x₀ = –1 – √3 hoặc x₀ = –1 + √3

    +) Với x₀ = –1 + √3, ta có phương trình tiếp tuyến:

    +) Với x₀ = –1 – √3, ta có phương trình tiếp tuyến:

c) Để tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên ta có:

Điều kiện cần và đủ để M(x, y) ∈ (C) có tọa độ nguyên là:

tức (x – 2) là ước của 9.

Khi đó, x – 2 nhận các giá trị -1; 1; -3; 3; -9; 9 hay x nhận các giá trị 1; 3; -1; 5; -7; 11.

Do đó, ta có 6 điểm trên (C) có tọa độ nguyên là: (1;-6), (3;12), (-1;0), (5;6), (-7;2), (11;4).

Bài 1.82 trang 41 Sách bài tập Giải tích 12: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của (C) là tâm đối xứng của (C).

c) Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

Lời giải:

a) Học sinh tự làm.

b) Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3.

Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

Do đó, giao điểm của hai đường tiệm cận là I(3; 1). Thực hiện phép biến đổi:

Ta được

Vì Y = 5/X là hàm số lẻ nên đồ thị (C) của hàm số này có tâm đối xứng là gốc tọa độ I của hệ tọa độ IXY.

c) Giả sử M(x₀; y₀) ∈ (C). Gọi d₁ là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d₂ là khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang, ta có:

Có hai điểm thỏa mãn đầu bài, đó là hai điểm có hoành độ x₀ = 3 + √5 hoặc x₀ = 3 – √5

Bài 1.83 trang 41 Sách bài tập Giải tích 12: Chứng minh rằng phương trình 3x⁵ + 15x – 8 = 0 chỉ có một nghiệm thực

Lời giải:

Hàm số f(x) = 3x⁵ + 15x – 8 là hàm số liên tục và có đạo hàm trên R.

Vì f(0) = -8 < 0, f(1) = 10 > 0 nên tồn tại một số x₀ ∈ (0;1) sao cho f(x₀) = 0, tức là phương trình f(x) = 0 có nghiệm.

Mặt khác, ta có y’ = 15x⁴ + 5 > 0, ∀x ∈ R nên hàm số đã cho luôn đồng biến. Vậy phương trình đó chỉ có một nghiệm.

Bài tập trắc nghiệm trang 41, 42, 43 Sách bài tập Giải tích 12:

Bài 1.84: Hàm số đồng biến trên khoảng:

A. (-∞; 0);              B. (1; +∞);

C. (-3; 4);              D. (-∞; 1).

Bài 1.85: Xác định giá trị của tham số m để hàm số

nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

A. m = −1;              B. m > 1;

C. m ∈ (−1;1);              D. m ≤ −5/2.

Bài 1.86: Hoành độ các điểm cực tiểu của hàm số y = x⁴ + 3x² + 2 là:

A. x = −1;              B. x = 5;

C. x = 0;              D. x = 1, x = 2.

Bài 1.87: Giá trị lớn nhất của hàm số sau là:

A. 3;              B. 2;

C. -5;              D. 10.

Bài 1.88: Cho hàm số:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định;

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;+∞);

C. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định;

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞).

Bài 1.89: Tọa độ giao điểm của đồ thị các hàm số:

và y = x + 1 là:

A. (2; 2);              B. (2; -3);

C(-1; 0);              D. (3; 1).

Bài 1.90: Số giao điểm của đồ thị hàm số y = (x − 3)(x² + x + 4) với trục hoành là:

A. 2;              B. 3;

C. 0;              D. 1.

Bài 1.91: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x³ + mx² – 3 có cực đại và cực tiểu.

A. m = 3;              B. m > 0;

C. m ≠ 0;              D. m < 0.

Bài 1.92: Xác định giá trị của tham số m để phương trình 2x³ + 3mx² – 5 = 0 có nghiệm duy nhất.

Bài 1.93: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây:

A. Hàm số y = x³ – 5 có hai cực trị;

B. Hàm số y = x⁴/4 + 3x² – 5 luôn đồng biến;

C. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = -3;

D. Đồ thị hàm số sau có hai tiệm cận đứng

Bài 1.94: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:

A. Hàm số y = 4cosx – 5sin²x – 3 là hàm số chẵn;

B. Đồ thị hàm số sau có hai tiệm cận đứng

C. Hàm số luôn nghịch biến;

D. Hàm số

không có đạo hàm tại x = 0.

Bài 1.95: Xác định giá trị của tham số m để phương trình x³ + mx² + x – 5 = 0 có nghiệm dương

A. m = 5;              B. m ∈ R;

C. m = -3;              D. m < 0

Bài 1.96: Xác định giá trị của tham số m để phương trình

có nghiệm duy nhất

Lời giải:

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài	1.84	1.85	1.86	1.87	1.88	1.89	1.90
Đáp án	A	D	C	B	A	C	D
Bài	1.91	1.92	1.93	1.94	1.95	1.96
Đáp án	C	B	C	C	B	D

Bài 1.84: Đáp án: A.

Hàm số dạng này có một điểm cực đại tại x = 0. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).

Bài 1.85: Đáp án: D.

⇔ Δ′ = 2m + 5 ≤ 0

dấu “=” xảy ra nhiều nhất tại hai điểm, nên hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 2)

và (2; +∞) khi m ≤ −5/2.

Bài 1.86: Đáp án: C

Ta có y(0) = 2, y(a) = a⁴ + 3ax² + 2 > 2 với mọi a ≠ 0.

Vậy hàm số có một điểm cực tiểu là x = 0.

Bài 1.87: Đáp án: B.

Với mọi x ta đều có

nên hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x = -1 hay max y = 2

Bài 1.88: Đáp án: A.

Bài 1.89: Đáp án: C.

Hàm số

không xác định tại x = 2 nên phải loại (A), (B).

Thay x = 3 vào hàm số trên, ta được y(3) = 0. Mặt khác, hàm số thứ hai có giá trị là 4 khi x = 3, do đó loại (D). Vậy (C) là khẳng định đúng.

Bài 1.90: Đáp án: D.

Vì x² + x + 4 > 0 với mọi x nên phương trình (x − 3)(x² + x + 4) = 0 chỉ có một nghiệm là x = 3. Do đó, đồ thị của hàm số đã cho chỉ có một giao điểm với trục hoành.

Bài 1.91: Đáp án: C.

Để có cực đại, cực tiểu, phương trình y’ = 3x² + 2mx = 0 phải có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình y’ = x(3x + 2m) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 0, x₂ = -2m/3 khi và chỉ khi x ≠ 0.

Bài 1.92: Đáp án: B.

Với m = 0, phương trình 2x³ – 5 = 0 có nghiệm duy nhất.

Với m ≠ 0, đồ thị hàm số y = 2x³ + 3mx² – 5 chỉ cắt Ox tại một điểm khi y_CĐ.y_CT > 0. Ta có y’ = 6x² + 6mx = 6x(x + m) = 0 có hai nghiệm là x = 0, x = -m; y(0) = -5, y(-m) = -2m³ + 3m³ – 5 = m³ – 5.

Suy ra y(0).y(-m) = -5(m³ – 5) > 0 ⇔ m <

Bài 1.93: Đáp án: C.

y = -3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Bài 1.94: Đáp án: B.

Xét f(x) = x³ + mx² + x – 5

Vì

và f(0) = -5 với mọi m ∈ R cho nên phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm dương.

Bài 1.96: Đáp án: D.

Xét hàm số

Ta có: y’ = x² – mx = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3

Nếu m = 0: Phương trình thành x³/3 – 5 = 0, có nghiệm duy nhất.

Nếu m ≠ 0: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi cực đại và cực tiểu của hàm số

cùng dấu.