Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Giải Toán Lớp 7
• Sách Giáo Khoa Toán lớp 7 tập 1
• Sách Giáo Khoa Toán lớp 7 tập 2
• Sách Giáo Viên Toán Lớp 7 Tập 1
• Sách Giáo Viên Toán Lớp 7 Tập 2
• Vở Bài Tập Toán Lớp 7 Tập 1
• Vở Bài Tập Toán Lớp 7 Tập 2

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 7 Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 7 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 31 trang 42 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho hình dưới. Điền vào chỗ trống:

GK = … CK; AG = … GM; GK = … CG; AM = … AG; AM = … GM

Lời giải:

GK = 1/3 CK; AG = 2GM; GK = 1/2 CG; AM = 3/2 AG; AM = 3GM

Bài 32 trang 42 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Lời giải:

Giả sử ΔABC có hai đường trung tuyến BD và CE bằng nhau.

Gọi I là giao điểm BD và CE, ta có:

BI = 2/3 BD (tính chất đường trung tuyến) (1)

CI = 2/3 CE (tính chất đường trung tuyến) (2)

Từ (1), (2) và giả thiết BD = CE suy ra: BI = CI

Suy ra: BI + ID = CI + IE ⇒ ID = IE

Xét ΔBIE và ΔCID, ta có:

BI = CI (chứng minh trên)

∠(BIE) = ∠(CID) (đối đỉnh)

IE = ID (chứng minh trên)

Suy ra: ΔBIE = ΔCID (c.g.c)

Suy ra: BE = CD (hai cạnh tương ứng) (3)

Lại có: BE = 1/2 AB (vì E là trung điểm AB) (4)

CD = 1/2 AC (vì D trung điểm AB) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: AB = CD.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Bài 33 trang 42 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC cân tại A có AB = CD = 34cm, BC = 32cm. Kẻ đường trung tuyến AM.

a. Chứng minh rằng AM ⊥ BC.

b. Tính độ dài AM

Lời giải:

a. Xét ΔAMB và ΔAMC, ta có:

AM = AC (gt)

BM = CM (gt)

AM cạnh chung

Suy ra: ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)

Suy ra: ∠(AMB) = ∠(AMC) (1)

Lại có: ∠(AMB) + ∠(AMC) = 180^o (hai góc kề bù) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠(AMB) = ∠(AMC) = 90^o

Vậy AM ⊥ BC.

b. Tam giác AMB có ∠(AMB) = 90^o

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AMB, ta có:

AB² = AM² + BM² ⇒ AM² = AB² – BM² = 34² – 16²

= 1156 – 256 = 900

Suy ra: AM = 30 (cm).

Bài 34 trang 42 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Vẽ điểm D sao cho G là trung điểm của AD. Chứng minh rằng:

a. Các cạnh của tam giác BGD bằng 2/3 các đường trung tuyến của tam giác ABC.

b. Các đường trung tuyến của tam giá BGD bằng một nửa các cạnh của tam giác ABC.

Lời giải:

a. Gọi AM, BN, CP lần lượt là các đường trung tuyến của ΔABC. Các đường trung tuyến cắt nhau tại G.

Ta có: AG = GD (gt)

AG = 2GM (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: GD = 2GM

Mà GD = GM + MD ⇒ GM = MD

Xét ΔBMD và ΔCMG, ta có:

BM = CM (gt)

∠(BMD) = ∠(CMG) (đối đỉnh)

MD = GM (chứng minh trên)

Suy ra: ΔBMD = ΔCMG (c.g.c)

⇒ BD = CG (hai cạnh tương ứng)

Suy ra: BD = 2/3 CP (1)

Lại có: BG = 2/3 BN (tính chất đường trung tuyến) (2)

Và AG = 2/3 AM (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: GD = 2/3 AM (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra các cạnh của tam giác BGD bằng 2/3 các đường trung tuyến của tam giác ABC.

b. Ta có: GM = MD (chứng minh trên)

Suy ra BM là đường trung tuyến của tam giác BGD.

Suy ra: BM = 1/2 BC (4)

Kẻ đường trung tuyến GE và DF của tam giác BGD, ta có:

FG = 1/2 BG (tính chất đường trung tuyến)

GN = 1/2 GB (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: FG = GN

Xét ΔDFG và ΔANG, ta có:

AG = GD (gt)

∠(DGF) = ∠(AGN) (đối đỉnh)

GF = GN (chứng minh trên)

Suy ra: ΔDFG = ΔANG (c.g.c) ⇒ DF = AN

Mà AN = 1/2 AC (gt)

Suy ra: DF = 1/2 AC (5)

ED = 1/2 BD (vì E là trung điểm BD)

GP = 1/2 CG (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: ED = GP

Lại có: ΔBMD = ΔCMG (chứng minh trên)

⇒ ∠(BDM) = ∠(CGM) hay ∠(EDG) = ∠(CGM)

(CGM) = (PGA) (đối đỉnh)

Suy ra: ∠(EDG) = ∠(PGA)

AG = GD (gt)

Suy ra: ΔPGA = ΔEDG (c.g.c) ⇒ GE = AP mà AP = 1/2 AB (gt)

Do đó: GE = 1/2 AB (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra các đường trung tuyến của ΔBGD bằng một nửa cạnh của ΔABC.

Bài 35 trang 42 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có BC = 10cm, các đường trung tuyến BD và CE. Chứng minh rằng BD + CE > 15cm.

Lời giải:

Gọi G là giao điểm của BD và CE.

Trong ∆GBC, ta có:

GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác)

GB = 2/3 BD (tính chất đường trung tuyến)

GC = 2/3 CE (tính chất đường trung tuyến)

Mà BC = 10 cm (gt)

Suy ra: 23 (BD + CE) > 10 hay BD + CE > 10 : 2/3 = 10.3/2 = 15

Vậy BD + CE > 15 (cm).

Bài 36 trang 43 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1/2 BC. Gọi K là giao điểm của AE và CD. Chứng minh rằng DK = KC.

Lời giải:

Trong ΔACD ta có:

CB là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C

E ∈ BC và BE = 1/2 BC (gt)

Nên: CE = 2/3 CB

Suy ra: E là trọng tâm của ΔACD.

Vì AK đi qua E nên AK là đường trung tuyến của ΔACD

Suy ra K là trung điểm của CD

Vậy KD = KC.

Bài 37 trang 43 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Theo kết quả của bài 64 chương II, sách Bài tập toán 7 tập một ta có: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Vận dụng kết quả trên để giải bài toán sau: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Kẻ đường trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng:

a. IK // DE, IK = DE

b. AG = 2/3 AD

Lời giải:

a. Áp dụng kết quả bài 64 chương II sách Bài tập toán 7 vào ΔABC và ΔAGB ta có:

DE // AB và DE = 1/2 AB (1)

IK // AB và IK = 1/2 AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

DE // IK và DE = IK.

b. Vì AD và BE là 2 đường trung tuyến của ΔABC cắt nhau tại G nên theo tính chất đường trung tuyến, ta có: AG = 23 AD.

Bài 38 trang 43 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

a. Tính số đo góc ABD.

b. Chứng minh ΔABC = ΔBAD

c. So sánh độ dài AM và BC.

Lời giải:

a. Xét ΔAMC và ΔBMD, ta có:

BM = MC (gt)

∠(AMB) = ∠(BMC) (đối đỉnh)

AM = MD (gt)

Suy ra: ΔAMC = ΔDMB (c.g.c)

⇒ ∠(MAC) = ∠D (2 góc tương ứng)

Suy ra: AC // BD

(vì có 2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Mà AB ⊥ AC (gt) nên AB ⊥ BD.

Vậy (ABD) = 90^o.

b. Xét ΔABC và ΔBAD ta có:

AB cạnh chung

∠(BAC) = ∠(ABD) = 90^o

AC = BD (vì ΔAMC = ΔDMB)

Suy ra: ΔABC = ΔBAD (c.g.c)

c. Ta có: ΔABC = ΔBAD ⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng)

Vậy AM = 1/2 BC.

Bài 39 trang 43 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Chứng minh rằng ∠(BAC) = 90^o

Lời giải:

Vì AM là đường trung tuyến của ΔABC nên BM = MC = 1/2 BC

Mà AM = 1/2 BC (gt) nên: AM = BM = MC.

Tam giác AMB có AM = MB nên ΔAMB cân tại M

Suy ra: ∠B = ∠A₁ (tính chất tam giác cân) (1)

Tam giác AMC có AM = MC nên ΔAMC cân tại M

Suy ra: ∠C = ∠A₂ (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠B + ∠C = ∠A₁ + ∠A₂ = ∠(BAC) (3)

Trong ΔABC ta có:

∠B + ∠C + ∠(BAC) = 180^o (tổng ba góc trong tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: ∠(BAC) + ∠(BAC) = 180^o ⇔ 2∠(BAC) = 180^o

Hay ∠(BAC) = 90^o.

Vậy ΔABC vuông tại A.

Bài 4.1 trang 43 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EM. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng DE. Khi đó trọng tâm của tma giác ABC là:

(A) Điểm D

(B) Điểm E

(C) Điểm O

(D) Cả (A), (B), (C) đều sai

Lời giải:

Do khoảng cách từ trọng tâm tới một đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó nên E là trọng tâm của tam giác ABC. Chọn (B) Điểm E.

Bài 4.2 trang 43 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC, trên đường trung tuyến AD. Gọi G là điểm nằm giữa A và D sao cho AG/AD = 2/3. Tia BG cắt AC, tia CG cắt AB tại F. Khẳng định nào sau đây sai?

(A)BG/EG = 2

(B)FG/CG = 2/3

(C) E là trung điểm của cạnh AC

(D) F là trung điểm của cạnh AB

Lời giải:

Do ba đường trung tuyến của một tam giác quy đồng tại trọng tâm của tam giác và trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó nên (B) sai (vì FG/CG = 1/2 ). Chọn (B)FG/CG = 2/3.

Bài 4.3 trang 44 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD và BC. Các đoạn thẳng CE và CF lần lượt cắt đoạn thẳng AB tại I, J. Chứng minh rằng: AI = IJ = JB

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Xét hai tam giác ACD và BCD. Từ giả thiết suy ra I, J lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và tam giác BCD.

Do đó: OI = 1/3 AO, AI = 2/3AO, OJ = 1/3 BO, BJ = 2/3 BO

Theo giả thiết AO = BO nên

IJ = OI + OJ = 1/2 AO = AI = BJ.

Bài 4.4 trang 44 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Trong tam giác ABC, hai đường trung tuyến AA₁và BB_1 cắt nhau tại điểm O. Hãy tính diện tích tam giác ABC nếu diện tích tam giác ABO bằng 5cm².

Lời giải:

Ta có:

S_AOB = 2/3 S_AA1B (Vì AO = 2/3 AA₁);

S_ABA1= 1/2 S_ABC (Vì BA₁ = 1/2 BC) ;

Từ đó suy ra S_ABC = 2S_ABA1 = 3S_AOB

Nếu S_AOB = 5cm² thì S_ABC = 3.5 = 15(cm²)

Bài 4.5 trang 44 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Chứng minh rằng các trung tuyến của một tam giác phân chia tam giác đó thành 6 tam giác mà diện tích của chúng (đôi một) bằng nhau.

Lời giải:

Xét sáu tam giác được đánh số là: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Chứng minh hoàn toàn tương tự như bài 4.4 ta có

S_GAB = S_GBC = S_GCA = 1/3 S_ABC

Ta lại có S₁ = S₂, S₃ = S₄, S₅ = S₆ (vì mỗi cặp tam giác có chung đường cao và hai đáy bằng nhau, vậy sáu tam giác 1, 2, 3, 4, 5, 6 có diện tích bằng nhau)

Bài 4.6 trang 44 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AD. Trên tia AD lấy điểm E sao cho AD = DE, trên tia BC lấy điểm M sao cho BC = CM.

a) Tìm trọng tâm của tam giác AEM.

b) So sánh các cạnh của tam giác ABC với các đường trung tuyến của tam giác AEM

c) So sánh các đường trung tuyến của tam giác ABC với các cạnh của tam giác AEM.

Lời giải:

a) Do AD = DE nên MD là một đường trung tuyến của tam giác AEM. Hơn nữa do

CD = 1/2 CB = 1/2 CM

Nên C là trọng tâm của tam giá AEM.

b) Các đường thẳng AC, EC lần lượt cắt EM, AM tại F, I. Tam giác AEM có các đường trung tuyến là AF, EI, MD. Ta có ΔADB = ΔEDG (c.g.c) nên AB = EC

Vậy: AC = 2/3 AF; BC = CM = 2/2 MD; AB = EC = 2/3 EI

c) Trước tiên, theo giả thiết, ta có AD = DE nên AD = 1/2 AE

Gọi BP, CQ là các trung tuyến của ΔABC.

ΔBCP = ΔMCF ⇒ BP = FM = 1/2 EM. Ta sẽ chứng minh CQ = 1/2 AM

Ta có:

ΔABD = ΔECD⇒ ∠(BAD) = ∠(CED)

⇒ AB//EC ⇒ ∠(QAC) = ∠(ICA)

Hai tam giác ACQ và CAI có cạnh AC chung, ∠(QAC) = ∠(ICA) ;

AQ = 1/2 AB = 1/2 EC = IC nên chúng bằng nhau.

Vậy CQ = AI = 1/2 AM.

Tóm lại: AD = 1/2 AE, BP = 1/2 EM, CQ = 1/2 AM.