Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Giải Toán Lớp 7
• Sách Giáo Khoa Toán lớp 7 tập 1
• Sách Giáo Khoa Toán lớp 7 tập 2
• Sách Giáo Viên Toán Lớp 7 Tập 1
• Sách Giáo Viên Toán Lớp 7 Tập 2
• Vở Bài Tập Toán Lớp 7 Tập 1
• Vở Bài Tập Toán Lớp 7 Tập 2

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường phân giác của tam giác giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 7 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 45 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác, gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Chứng minh rằng ba điểm A, G, I thẳng hàng.

Lời giải:

Kẻ các đường phân giác của ∠(BAC) và ∠(ACB), chúng cắt nhau tại I.

Gọi M là giao điểm của AI và BC.

Ta có tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác AM cũng là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc AM.

Vậy A, I, G thẳng hàng.

Bài 46 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Hãy tìm một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đường thẳng AB, BC, CA là bằng nhau, đồng thời khoảng cách này là ngắn nhất.

Lời giải:

* Nếu O là điểm nằm trong ΔABC

Kẻ OH ⊥ AB, OK ⊥ BC, OI ⊥ AC

Vì điểm O cách đều các đường thẳng AB, BC, CA nên: OH = OK = OI

Suy ra O nằm trên tia phân giác của (ACB)

Vậy O là giao điểm các đường phân giác trong của ΔABC

* Nếu O’ nằm ngoài ΔABC

Kẻ O’D ⊥ AB, O’E ⊥ BC, O’F ⊥ AC

Vì O’ cách đều ba đường thẳng AB, BC, AC nên: O’D = O’E = O’F

Vì O’D = O’F nên O’ nằm trên tia phân giác của (BAC)

Vì O’D = O’E nên O’ nằm trên tia phân giác của (DBC)

Suy ra O’ là giao điểm phân giác trong của (BAC) và phân giác ngoài tại đỉnh D.

Khi đó A, O, O’ thẳng hàng và A, H, D thẳng hàng

Ta có: OH < O’D

Vậy O là giao điểm các đường phân giác trong ΔABC cách đều ba đường thẳng AB, BC, CA và ngắn nhất.

Bài 47 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác. Chứng minh rằng tam giác đo là tam giác cân.

Lời giải:

Kẻ MH ⊥ AB, MK ⊥ AC

Vì AM là tia phân giác của ∠(BAC) nên MH = MK (tính chất tia phân giác)

Xét hai tam giác MHB và MKC, ta có:

∠(MHB) = ∠(MKC) = 900

MH = MK (chứng minh trên)

MB = MC (gt)

Suy ra: ΔMHB = ΔMKC (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: ∠B = ∠C (hai góc tương ứng)

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Bài 48 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng AK đi qua trung điểm của BC.

Lời giải:

Các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại K nên AK là đường phân giác của góc A.

Gọi H là trung điểm của BC

Trong tam giác cân đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.

Vậy AK đi qua trung điểm H của BC.

Bài 49 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của BC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC. Chứng minh rằng DE = DF.

Lời giải:

Vì ΔABC cân tại A và DB DC (gt) nên đường trung tuyến AD cũng là đường phân giác của (BAC).

Ta có: DE ⊥ AB (gt)

DF ⊥ AC (gt)

Suy ra: DE = DF (tính chất đường phân giác của góc).

Bài 50 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có ∠A = 70^o, các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính ∠(BIC).

Lời giải:

Trong ∆ABC, ta có:

∠A + ∠B + ∠C = 180^o (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra: ∠B + ∠C = 180^o – ∠A = 180^o – 70^o = 110^o

Ta có:

∠(B₁ ) = 1/2 ∠B (vì BD là tia phân giác)

∠(C₁ ) = 1/2 ∠C (vì CE là tia phân giác)

Trong ∆BIC, ta có:

∠(BIC) + ∠(B₁ ) + ∠(C₁ ) = 180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

Suy ra: ∠(BIC) = 180^o – (∠(B₁ ) + ∠(C₁ ) ) = 180^o – 12 (∠B + ∠C)

= 180^o – 12 .110^o = 125^o

Bài 51 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tính góc A của tam giác ABC biết rằng các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I trong đó góc BIC bằng 120^o

Lời giải:

Trong ∆BIC có: ∠(BIC) + ∠B₁ + ∠C₁ = 180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

Suy ra: ∠B₁ + ∠C₁ = 180^o – 120^o = 60^o

Ta có:

∠B₁ = 1/2 ∠B (vì BD là tia phân giác)

∠C₁ = 1/2 ∠C (vì CE là tia phân giác)

Suy ra: ∠B + ∠C = 2(∠B₁ + ∠C₁ ) = 2.60^o = 120^o

Trong ∆ABC có: ∠A + ∠B + ∠C = 180^o (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra: ∠A = 180^o – (∠B + ∠C ) = 180^o – 120^o = 60^o.

Bài 52 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác các góc A và C cắt nhau ở I. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh rằng ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Lời giải:

Kẻ IH ⊥ AB, IJ ⊥ BC, IG ⊥ AC, KD ⊥ AB, KE ⊥ AC, KF ⊥ BC

Vì I nằm trên tia phân giác của ∠(BAC) nên IH = IG (tính chất tia phân giác)

Vì I nằm trên tia phân giác của ∠(BCA) nên IH = IG (tính chất tia phân giác)

Suy ra: IH = IJ

Do đó I nằm trên tia phân giác của (ABC) (1)

Vì K nằm trên tia phân giác của ∠(DAC) nên KD = KE (tính chất tia phân giác)

Vì K nằm trên tia phân giác của ∠(ACF) nên KE = KF (tính chất tia phân giác)

Suy ra: KD = KF

Do đó K nằm trên tia phân giác của ∠(ABC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: B, I, K thẳng hàng.

Bài 53 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC.

a. Chứng minh rằng AD = AE

b. Tính các độ dài AD, AE biết rằng AB = 6cm, AC = 8cm.

Lời giải:

a. Vì I là giao điểm các đường phân giác trong của B và C nên AI là tia phân giác của ∠A .

Suy ra: ID = IE (tính chất tia phân giác) (1)

Vì ΔADI vuông tại E có ∠(DAI) = 45^o nên ΔADI vuông cân tại D

Suy ra: ID = IA (2)

Vì ΔAEI vuông tại E có ∠(EAI) = 45^o nên ΔAEI vuông cân tại E

Suy ra: IE = AE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AD = AE.

b. Tam giác vuông BAC có A = 90^o

Áp dụng định lí Pitago, ta có:

BC² = AB² + AC²

= 6² + 8² = 36 + 64 = 100

⇒ BC = 10 (cm)

Kẻ IF ⊥ BC

Xét hai tam giác vuông IDB và IFB, ta có:

∠(IDB) = ∠(IFB) = 90^o

∠(DBI) = ∠(FBI) (gt)

cạnh huyền BI chung

Suy ra: ΔIDB = ΔIFB (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: DB = FB (hai cạnh tương ứng) (4)

Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có:

∠(IEC) = ∠(IFC) = 90^o

∠(ECI) = ∠(FCI) (gt)

cạnh huyền CI chung

Suy ra: ΔIEC = ΔIFC (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: CE = CF (hai cạnh tương ứng) (5)

Mà: AD + AE = AB – DB + AC – CE

Suy ra: AD + AE = AB + AC – (DB + CF) (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra: AD + AE = AB + AC – (FB + FC)

= AB + AC – BC = 6 + 8 – 10 = 4 (cm)

Mà AD = AE (chứng minh trên)

Nên AD = AE = 4 : 2 = 2(cm).

Bài 6.1 trang 47 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Trên tia phân giác của góc B, lấy điểm O nằm trong tam giác ABC sao cho O cách đều hai cạnh AB, AC. Khẳng định nào sau đây sai?

(A) Điểm O nằm trên tia phân giác của góc A.

(B) Điểm O không nằm trên tia phân giác của góc C.

(C) Điểm O cách đều AB, BC.

(D) Điểm O cách đều AB, AC, BC.

Lời giải:

Điểm O cách đều AB, AC nên O thuộc tia phân giác của góc A. Mặt khác, O thuộc tia phân giác của góc B nên O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC. Vậy (B) sai còn (A), (C), (D) đúng.

Đáp số: (B) Điểm O không nằm trên tia phân giác của góc C.

Bài 6.2 trang 47 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có ∠A = ∠B + ∠C . Hai đường phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Khi đó BOC bằng:

(A) 85^o ;

(B) 90^o ;

(C) 135^o ;

(D) 150^o

Lời giải:

Tam giác ABC có ∠A = ∠B + ∠C vuông tại A; AO, CO lần lượt là tia phân giác của ∠A và ∠C nên BO là tia phân giác của ∠B. Ta có ∠(OBC) + ∠(COB) = 1/2(∠B + ∠C ) = 45^o. nên ∠(BOC) = 135^o.

Chọn (C) 135^o.

Bài 6.3 trang 47 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng EF = BE + CF.

Lời giải:

Vì điểm I cách đều ba cạnh của tam giác ABC và nằm trong tam giác nên I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC, tức là BI, CI lần lượt là tia phân giác của góc N và góc C. Do EF // BC nên ∠B¹= ∠I¹(so le trong), suy ra ∠I² = ∠B² .

Vậy tam giác EBI cân tại E, tức là EI = EB.

Tương tự ta có FI = FC

Vậy EF = EI + IF = BE = CF.

Bài 6.4 trang 47 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Hai đường phân giác AA₁ và BB₁ của tam giác ABC cắt nhau tại M. Hãy tìm các góc ACM, BCM nếu

a) ∠(AMB) = 136^o

b) ∠(AMB) = 111^o.

Lời giải:

Do ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm nên CM là tia phân giác của góc C.

a) 1/2(∠A + ∠B ) = ∠(MAB) + ∠(MBA) = 180 − ∠(AMB) = 180^o − 136^o = 44^o

Suy ra ∠A + ∠B = 2.44^o = 88^o

∠C = 180^o − 88^o = 92^o

Vậy ∠(ACM) = ∠(BCM) = 92^o : 2^o = 46^o

b) Ta có 12(∠A + ∠B ) = 180^o − 111^o = 69^o.

Suy ra ∠A + ∠B = 138^o

Suy ra ∠C = 180^o − 138^o = 42^o.

Vậy ∠(ACM) = ∠(BCM) = 21^o.