Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây
- Sách Giáo Khoa Toán lớp 9 tập 1
- Sách Giáo Khoa Toán lớp 9 tập 2
- Giải Toán Lớp 9
- Sách Giáo Viên Toán Lớp 9 Tập 1
- Sách Giáo Viên Toán Lớp 9 Tập 2
- Sách Bài Tập Toán Lớp 9 Tập 1
- Sách Bài Tập Toán Lớp 9 Tập 2
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 9: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 35 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ vi-ét:
a. 5x2 + 2x -16 =0 b.3x2 -2x -5 =0
Lời giải:
Phương trình 5x2 + 2x -16 =0 có hệ số a=5 ,b=2 c=-16
Ta có: Δ’=12 -5(-16) = 1 + 80 =81 >0
Δ’ = 81 =9
Phương trình 3x2 -2x -5 =0 có hệ số a =3,b = -2, c = -5
Ta có: Δ’=(-1)2 -3(-5) = 1 + 15 =16 >0
Δ’ = 16 =4
Phương trình
Δ’=32 -1(-16) = 9 +16 =25 > 0
Δ’ = 25 =5
Phương trình 
Ta có: Δ’=(-3)2 -1.4 = 9 -4 =5 >0
Δ’ = 5
Bài 36 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình
a.2x2 – 7x +2 =0 b.5x2 +2x -16 =0
c. (2 – √3 )x2+4x +2 +√2 =0 d.1,4x2 -3x +1,2 =0
e.5x2 +x +2 =0
Lời giải:
a) Ta có:Δ =(-7)2 -4.2.2 =49 -16 =33 >0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 + x2 =-b/a =7/2 ;x1x2 =c/a =2/2 =1
b) c = -16 suy ra ac < 0
Phương trình có 2 ghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 + x2 =-b/a =-2/5 ;x1x2 =c/a =-16/5
c) Ta có: Δ’ = 22 – (2 -√3 )(2 + √2 ) =4 -4 – 2√2 +2√3 +√6
= 2√3 – 2√2 +√6 >0
Phương trình 2 ghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
d) Ta có : Δ = (-3)2 -4.1,4.1,2 =9 – 6,72 =2,28 >0
Phương trình có 2 ghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 + x2 = -b/a = 3/(1.4) = 30/14 = 15/7 ; x1x2 = c/a = (1.2)/(1.4) = 12/14 = 6/7
Ta có: Δ = 12 -4.5.2 = 1 – 40 = -39 < 0
Bài 37 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a. 7x2 -9x +2=0 b.23x2 -9x -32=0
c.1975x2 + 4x -1979 =0 d.(5 +√2 )x2 + (5 – √2 )x -10 =0
Lời giải:
a) Phương trình 7x2 -9x +2 = 0 có hệ số a = 7, b = -9, c = 2
Ta có: a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0
Suy ra nghiệm của phương trình là x1 = 1, x2 = c/a = 2/7
b) Phương trình 23x2 – 9x – 32 = 0 có hệ số a = 23, b = -9, c = -32
Ta có: a –b +c =23 – (-9) +(-32) =0
Suy ra nghiệm của phương trình là x1= -1, x2 = -c/a = -(-32)/23 = 32/23
c. Phương trình 1975x2 + 4x -1979 = 0 có hệ số a = 1975, b = 4, c = -1979
Ta có: a +b +c =1975 + 4 + (-1979) = 0
Suy ra nghiệm của phương trình là x1 = 1, x2 = c/a = -1979/1975
d) Phương trình (5 +√2 )x2 + (5 – √2 )x -10 = 0 có hệ số
a =5 +√2 , b = 5 – √2 , c = -10
Ta có: a +b +c =5 +√2 +5 – √2 +(-10)=0
Suy ra nghiệm của phương trình là x1 = 1 , x2 = ca = (-10)/(5+ √2)
e. Phương trình
Ta có: a –b +c =2 – (-9) +(-11) =0
Suy ra nghiệm của phương trình là x1=-1 , x2 = -c/a = -(-11)/2 =11/2
f. Phương trình 31,1x2 – 50,9x + 19,8 = 0 ⇔ 311x2 – 509x +198 = 0 có hệ số a = 311, b = -509, c = 198
Ta có: a + b + c = 311 + (-509) + 198 = 0
Suy ra nghiệm của phương trình là x1 = 1 , x2 = c/a = 198/311
Bài 38 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a. x2-6x +8=0 b.x2 -12x + 32 =0
c. x2 +6x +8 =0 d.x2 -3x -10 =0
e. x2 +3x -10 =0
Lời giải:
a. Ta có: Δ’ = (-3)2 -1.8=9 -8 =1 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
Giải ra ta được x1 =2, x2 =4
b. Ta có: Δ’ = (-6)2 -1.32 = 36 – 32 = 4 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
Giải ra ta được x1 =4,x2 =8
c. Ta có: Δ’ = 32 -1.8=9 -8 =1 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
Giải ra ta được x1 =-2, x2 =-4
d. Ta có: Δ = (-3)2 -4.1.(-10)=9 +40 =49 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
Giải ra ta được x1 =-2, x2 =5
e. Ta có: Δ = 32 -4.1.(-10)=9 +40 =49 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
Bài 39 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
a. Chứng tỏ rằng phương trình 3x2 +2x -21 =0 có một nghiệm là -3.Hãy tìm nghiệm kia
b. Chứng tỏ rằng phương trình -4x2 -3x +115=0 có một nghiệm là 5.Hãy tìm nghiệm kia
Lời giải:
a. Thay x =-3 vào vế trái của phương trình , ta có:
3.(-3)2+2(-3) -21 =27 – 6 -21 =0
Vậy =-3 là nghiệm của phương trình 3x2 +2x -21 =0
Theo hệ thức vi-ét ta có : x1x2 = c/a = -21/3 = -7 ⇒ x2 = -7/x1 = -7/-3 = 7/3
Vậy nghiệm còn lại là x = 7/3
b. Thay x =5 vào vế trái của phương trình ,ta có:
-4.52 -3.5 +115 =-100 -15 +115 =0
Vậy x=5 là nghiệm của phương trình -4x2 -3x +115=0
Theo hệ thức Vi-ét ta có : x1x2 = c/a = 115/-4 ⇒ 5x2 = -115/4 ⇒ x2 = -23/4
Vậy nghiệm còn lại là x = -23/4
Bài 40 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dùng hệ thức vi-ét để tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:
a. Phương trình x2 +mx -35 =0 có nghiệm x1 =7
b. Phương trình x2 -13x+m=0 có nghiệm x1 =12,5
c. Phương trình 4x2 +3x – m2 +3m =0 có nghiệm x1 =-2
d. Phương trình 3x2 -2(m -3)x +5 =0 có nghiệm x1 =13
Lời giải:
a. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2 =-35
Suy ra 7x2 =-35 ⇔ x2 =-5
Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 =-m
Suy ra: m=-7 +5 ⇔ m =-2
Vậy với m =-2 thì phương trình x2 + mx – 35 = 0 có hai nghiệm x1 =7, x2 =-5
b. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 =13
Suy ra 12,5 + x2 = 13 ⇔ x2 = 0,5
Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2 = m
Suy ra: m = 12,5.0,5 ⇔ m =6,25
Vậy với m = 6,25 thì phương trình x2 -13x + m = 0 có hai nghiệm
x1 =12,5 ,x2 =0,5
c) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = – 3/4
Suy ra: -2 + x2 = – 3/4 ⇔ x2 = -3/4 + 2 = 5/4
Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2 = (-m2+3m)/4
Suy ra: -2. 5/4 = (-m2+3m)/4 ⇔ m2 -3m -10 =0
Δ= (-3)2 -4.1.(-10) =9+40 =49
√Δ =√49 =7
m1 =(3 +7)/(2.1) =5 ; m2 =(3 -7)/(2.1) =-2
Vậy với m =5 hoặc m = -2 thì phương trình 4x2 +3x – m2 +3m = 0 có hai nghiệm x1 =-2 , x2 =5/4
d) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2 =5/3
Suy ra: 1/3 .x2 = 5/3 ⇔ x2 =5/3 : 1/3 =5/3 .3=5
cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 =[2(m -3)]/3
Suy ra: 1/3 +5 = [2(m -3)]/3 ⇔ 2(m -3) =16 ⇔ m-3=8 ⇔ m=11
Vậy với m =11 thì phương trình 3x2 -2(m -3)x +5 =0 có hai nghiệm x1 = 13 , x2 = 5
Bài 41 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a. u +v =14, uv =40 b. u +v =-7, uv =12
c. u +v =-5, uv =-24 d. u +v =4, uv =19
e. u – v =10, uv =24 f. u2 + v2 =85,uv =18
Lời giải:
a) Hai số u và v với u +v =14 và uv =40 nên nó là nghiệm của phương trình x2 -14x + 40=0
Δ’= (-7)2 – 1.40=49 -40 =9 > 0
√Δ’ = √9 =3
Vậy u=10, v=4 hoặc u = 4, v = 10
b. Hai số u và v với u +v =-7 và uv =12 nên nó là nghiệm của phương trình x2 +7x + 12=0
Δ= (7)2 – 4.1.12=49 -48=1 > 0
√Δ =√1 =1
Vậy u=-3,v=-4 hoặc u=-4,v=-3
c. Hai số u và v với u +v =-5 và uv =-24 nên nó là nghiệm của phương trình x2 +5x -24 =0
Δ= (5)2 – 4.1.(-24)= 25 +96=121 > 0
√Δ = √121 =11
Vậy u = 3, v = -8 hoặc u = -8, v = 3
d. Hai số u và v với u +v =4 và uv =19 nên nó là nghiệm của phương trình x2 – 4x +19 = 0
Δ’= (-2)2 – 1.19= 4 – 19=-15 < 0
Phương trình vô nghiệm nên không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện bài toán
e. Hai số u và v với u – v =10 suy ra : u + (- v) = 10 và uv = 24 suy ra u(-v) = -24 nên nó là nghiệm của phương trình x2 -10x -24 =0
Δ’= (-5)2 – 1.(-24)= 25 +24=49 > 0
√Δ’ = √49 =7
Vậy u = 12 , -v = -2 hoặc u = -2, -v = 12 suy ra u = 12 , v = 2 hoặc u = -2 , v = -12
f. Hai số u và v với u2 + v2 =85 và uv =18 suy ra : u2v2=324 nên u2 và v2 là nghiệm của phương trình x2 -85x +324 =0
Δ= √(-85)2 – 4.1.324= 7225 – 1296=5929 > 0
√Δ = √2959 =77
Ta có: u2 =81 ,v2 =4 suy ra: u =±9 ,v=± 2
hoặc u2 =4 ,v2 =81 suy ra: u =±2 ,v=± 9
Vậy nếu u=9 thì v=2 hoặc u=-9 ,v=-2
nếu u=2 thì v=9 hoặc u= -2 ,v=-9
Bài 42 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Lập phương tình có hai nghiệm là hai số được cho mỗi trường hợp sau:
a. 3 và 5 b.-4 và 7
c. -5 và 1/3 d.1,9 và 5,1
e. 4 và 1 -√2 f.3 – √5 và 3 + √5
Lời giải:
a) Hai số 3 và 5 là nghiệm của phương trình:
(x -3)(x -5) = 0 ⇔ x2 -3x -5x +15 =0 ⇔ x2 -8x +15 =0
b. Hai số 3 và 5 là nghiệm của phương trình:
(x +4)(x -7) = 0 ⇔ x2 +4x -7x -28 =0 ⇔ x2 -3x -28 =0
c. Hai số -5 và 1/3 là nghiệm của phương trình:
(x +5)(x -1/3 )=0 ⇔ x2 +5x -1/3 x -5/3 =0 ⇔ 3x2 +14x – 5 =0
d. Hai số 1,9 và 5,1 là nghiệm của phương trình:
(x – 1,9)(x -5,1)=0 ⇔ x2 – 1,9x – 5,1x + 9,69 = 0
⇔ x2 -7x + 9,69 = 0
e. Hai số 4 và 1 -√2 là nghiệm của phương trình:
(x – 4)[x –(1 -√2 )] =0 ⇔ (x -4)(x -1 +√2 ) =0
⇔ x2 – x +√2 x -4x +4 – 4√2 =0
⇔ x2 – (5 -√2 )x +4 – 4√2 =0
f. Hai số 3 – √5 và 3 + √5 là nghiệm của phương trình:
[x – (3 – √5 )][ x – (3 + √5 )] = 0
⇔ x2 – (3 + √5 )x – (3 – √5 )x +(3+ √5 )(3 – √5 ) =0
⇔ x2 -6x +4 =0
Bài 43 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x2 + px – 5 = 0 có hai nghiệm x1 và x2. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:
a. –x1 và –x2 
Lời giải:
a) Phương trình x2+px -5=0 có hai nghiệm x1 và x2 nên theo hệ thức vi-ét ta có:
x1 + x2 = -p/1 = -p ; x1x2 =-5/1 =-5 (1)
Hai số –x1 và –x2 là nghiệm của phương trình:
[x – (-x1)] [x – (-x2)] =0
⇔ x2 – (-x1x) – (-x2x) + (-x1)(-x2) =0
⇔ x2 + (x1 + x2x + x1x2) =0 (2)
Từ (1) và (2) ta có phuơng trình cần tìm là x2 – px -5 =0
Bài 44 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x2 -6x +m=0
Tính giá trị của m biết rằng phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1 –x2 =4
Lời giải:
Phương trình x2 – 6x + m = 0 có hai nghiệm x1 và x2 nên theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1 + x2 =-(-6)/1 = 6
Kết hợp với điều kiện x1 – x2 =4 ta có hệ phương trình :
Áp dụng hệ thức vi-ét vào phương trình x2 -6x +m=0 ta có:
x1x2 = m1 = m . Suy ra : m = 5.1 = 5
Vậy m =5 thì phương trình x2 -6x +m=0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn điều kiện x1 – x2 =4
Bài 1 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
Lời giải:
Bài 2 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giả sử x1, x2 la hai nghiệm của phương trình x2 + px + q = 0. Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 + x2, x1x2.
Lời giải:
Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2 + px + q = 0
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = – p/1 = – p;x1x2 = q/1 = q
Phương trình có hai nghiệm là x1 + x2 và x1x2 tức là phương trình có hai nghiệm là –p và q.
Hai số -p và q là nghiệm của phương trình.
(x + p)(x – q) = 0 ⇔ x2 – qx + px – pq = 0 ⇔ x2 + (q – p)x – pq = 0
Phương trình cần tìm: x2 + (p – q)x – pq = 0
Bài 3 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:
Lời giải:
Bài 4 trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình
(SBT)
a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.
c) Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.
Lời giải:
