Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Cánh Diều: tại đây
Câu hỏi khởi động trang 62 Toán lớp 10 Tập 1:
(Nguồn: http://baophutho.vn)
Từ chân bệ cột cờ và đỉnh bệ cột cờ bạn Nam đo được góc nâng (so với phương nằm ngang) tới một vị trí dưới chân núi lần lượt là 45° và 50° (Hình 1).
Chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là bao nhiêu mét?
Lời giải:
Ta có: Bx // CH
⇒
B
C
H
^
=
x
B
C
^
=
50
°
(hai góc so le trong)
Ay // CH
⇒
A
C
H
^
=
y
A
C
^
=
45
°
(hai góc so le trong)
Tam giác ACH vuông tại H có
A
C
H
^
=
45
°
nên tam giác ACH vuông cân tại H
Suy ra CH = AH = h (m).
Ta có: BH = AB + AH = 20,25 + h
Tam giác BCH vuông tại H nên
tan
B
C
H
^
=
B
H
C
H
Do đó ta có:
20
,
25
+
h
h
=
tan
50
°
≈
1
,
2
⇒ 20,25 + h = 1,2h
⇒ 0,2h = 20,25 ⇒ h = 101,25 m.
Vậy chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là 101,25 m.
Hoạt động 1 trang 63 Toán lớp 10 Tập 1:
A
B
C
^
=
α
(Hình 2). ….
a) Nhắc lại định nghĩa sin α, cos α, tan α, cot α.
b) Biểu diễn tỉ số lượng giác của góc 90° – α theo tỉ số lượng giác của góc α.
Lời giải:
a) Tam giác ABC vuông tại A có
A
B
C
^
=
α
. Khi đó ta có:
sin
α
=
A
C
B
C
,
cos
α
=
A
B
B
C
,
tan
α
=
A
C
A
B
,
cot
α
=
A
B
A
C
b) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
sin
A
C
B
^
=
A
B
B
C
Ta lại có:
A
B
C
^
+
A
C
B
^
=
90
°
(hai góc phụ nhau).
Nên
A
C
B
^
=
90
°
−
A
B
C
^
=
90
°
−
α
Mặt khác:
cos
α
=
A
B
B
C
⇒ sin(90° – α) = cos α;
cos(90° – α) = sin α;
tan(90° – α) = cot α;
cot(90° – α) = tan α.
Hoạt động 2 trang 63 Toán lớp 10 Tập 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị (Hình 3). Với mỗi góc nhọn α ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
x
O
M
^
=
α
. Giả sử điểm M có tọa độ (x0; y0). Hãy tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x0, y0.
Lời giải:
Để tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x0, y0, ta làm như sau:
Xét tam giác OMH vuông tại H, ta có:
sin
α
=
M
H
O
M
=
y
0
1
=
y
0
,
cos
α
=
O
H
O
M
=
x
0
1
=
x
0
,
tan
α
=
M
H
O
H
=
y
0
x
0
,
cot
α
=
O
H
M
H
=
x
0
y
0
.
Hoạt động 3 trang 64 Toán lớp 10 Tập 1:
x
O
M
^
=
α
(Hình 6).
a) Chứng minh
x
O
N
^
=
180
°
−
α
.
b) Biểu diễn giá trị lượng giác của góc 180° – α theo giá trị lượng giác của góc α.
Lời giải:
a) Do MN // Ox nên
N
M
O
^
=
x
O
M
^
=
α
(hai góc so le trong).
Tam giác OMN có OM = ON (bán kính) nên tam giác OMN cân tại O.
Suy ra
M
O
N
^
=
180
°
−
2
N
M
O
^
=
180
°
−
2
α
.
Ta lại có:
x
O
N
^
=
x
O
M
^
+
M
O
N
^
=
α
+
180
°
−
2
α
=
180
°
−
α
Vậy
x
O
N
^
=
180
°
−
α
.
b) Do điểm M có tọa độ (x0; y0) thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho
x
O
M
^
=
α
nên theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc có giá trị từ 0° đến 180° ta có:
sin α = y0; cos α = x0;
tan
α
=
y
0
x
0
;
cot
α
=
x
0
y
0
(1).
Do điểm N có tọa độ (– x0; y0) thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho
x
O
N
^
=
180
°
−
α
nên theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc có giá trị từ 0° đến 180° ta có:
sin(180° – α) = y0; cos(180° – α) = – x0;
tan
180
°
−
α
=
y
0
−
x
0
=
−
y
0
x
0
;
cot
180
°
−
α
=
−
x
0
y
0
=
−
x
0
y
0
(2).
Từ (1) và (2) ta có: sin(180° – α) = sin α;
cos(180° – α) = – cos α;
tan(180° – α) = – tan α;
cot(180° – α) = – cot α.
Hoạt động 4 trang 66 Toán lớp 10 Tập 1:
Tính sin75°, cos175°, tan64° (làm tròn đến hàng phần chục nghìn).
Lời giải:
Để tính các giá trị lượng giác sin75°, cos175°, tan64°, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ” ta làm như sau:
Vậy sin75° = 0,9659; cos175° = – 0,9962 , tan64° = 2,0503 (chú ý dấu phẩy thập phân trên máy tính cầm tay là dấu “.”).
Hoạt động 5 trang 66 Toán lớp 10 Tập 1:
S
H
I
F
T
cùng với
sin
;
c
o
s
;
tan
trên máy tính cầm tay.
Tìm số đo góc α (từ 0° đến 180°) và làm tròn đến độ, biết:
a) cos α = – 0,97;
b) tan α = 0,68;
c) sin α = 0,45.
Lời giải:
Để tính gần đúng số đo góc α trong mỗi trường hợp trên, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ”, ta làm như sau:
Luyện tập 1 trang 66 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Ta có: Bx // CH
⇒
B
C
H
^
=
x
B
C
^
=
50
°
(hai góc so le trong)
Ay // CH
⇒
A
C
H
^
=
y
A
C
^
=
45
°
(hai góc so le trong)
Tam giác ACH vuông tại H có
A
C
H
^
=
45
°
nên tam giác ACH vuông cân tại H
Suy ra CH = AH = h (m).
Ta có: BH = AB + AH = 20,25 + h
Tam giác BCH vuông tại H nên
tan
B
C
H
^
=
B
H
C
H
Do đó ta có:
20
,
25
+
h
h
=
tan
50
°
≈
1
,
2
⇒ 20,25 + h = 1,2h
⇒ 0,2h = 20,25 ⇒ h = 101,25 m.
Vậy chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là 101,25 m.
Hoạt động 6 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1:
B
A
C
^
=
α
. Kẻ đường cao BH.
Cho α là góc nhọn, chứng minh:
a) HC = |AC – AH| và BC2 = AB2 + AC2 – 2AH . AC;
b) a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Lời giải:
a) Nếu góc C nhọn thì H nằm giữa A và C.
Do đó: HC = AC – AH = |AC – AH|.
Nếu góc C tù thì C nằm giữa A và H.
Do đó: HC = AH – AC = |AC – AH|.
Nếu góc C vuông thì C trùng với H. Do đó: HC = 0 = |AC – AH|.
Trong mọi trường hợp, ta đều có HC = |AC – AH|.
Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có:
BC2 = BH2 + HC2 = BH2 + (AC – AH)2 = (BH2 + AH2) + AC2 – 2AH . AC
= AB2 + AC2 – 2AH . AC.
b) Xét tam giác vuông AHB, ta có: AH = AB cosA = cosα.
Do đó BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AH . AC = b2 + c2 – 2bc cosα.
Vậy a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Hoạt động 7 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1:
B
A
C
^
=
α
. Kẻ đường cao BH
Cho α là góc tù. Chứng minh:
a) HC = AC + AH và BC2 = AB2 + AC2 + 2 AH . AC;
b) a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Lời giải:
a) Do α là góc tù nên A nằm giữa H và C. Do đó: HC = AC + AH.
Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có:
BC2 = BH2 + HC2 = BH2 + (AC + AH)2
= (BH2 + AH2) + AC2 + 2AH . AC
= AB2 + AC2 + 2AH . AC.
b) Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có:
AH = AB cos(180° – α) = – c cos α.
Do đó BC2 = AB2 + AC2 + 2AH . AC = b2 + c2 – 2bc cos α.
Vậy a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Hoạt động 8 trang 68 Toán lớp 10 Tập 1:
B
A
C
^
=
α
. Kẻ đường cao BH.
Cho α là góc vuông. Chứng minh a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Lời giải:
Do α = 90° ⇒ cos α = cos 90° = 0
⇒ 2bc cos α = 2 bc cos 90° = 0
Tam giác ABC vuông tại A (do α = 90°), áp dụng định lí Pythagore ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = c2 + b2 – 0 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Vậy a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Luyện tập 2 trang 68 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2 AB . AC . cos A
⇒
c
o
s
A
=
A
B
2
+
A
C
2
−
B
C
2
2
A
B
.
A
C
Thay số vào ta được:
cos
A
=
5
2
+
6
2
−
7
2
2.5.6
=
1
5
=
0
,
2
.
Vậy cos A = 0,2.
Hoạt động 9 trang 69 Toán lớp 10 Tập 1:
B
A
C
^
=
α
. Kẻ đường kính BD của đường tròn (O).
Cho α là góc nhọn. Chứng minh:
a)
B
D
C
^
=
α
;
b)
a
sin
α
=
2
R
.
Lời giải:
Do α là góc nhọn ta vẽ được hình như sau:
a) Trong đường tròn (O) có góc BAC và góc BDC là các góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ BC.
Do đó:
B
D
C
^
=
B
A
C
^
=
α
.
Vậy
B
D
C
^
=
α
.
b) Xét tam giác BDC, ta có
B
D
C
^
=
α
.
Vì BD là đường kính của đường tròn (O) nên
B
C
D
^
=
90
°
.
Do đó:
sin
B
D
C
^
=
B
C
B
D
, tức là
sin
α
=
a
2
R
hay
a
sin
α
=
2
R
.
Hoạt động 10 trang 69 Toán lớp 10 Tập 1:
B
A
C
^
=
α
. Kẻ đường kính BD của đường tròn (O).
Cho α là tù. Chứng minh:
a)
B
D
C
^
=
180
°
−
α
;
b)
a
sin
α
=
2
R
.
Lời giải:
Do α là góc tù ta vẽ được hình như sau:
a) Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên
B
A
C
^
+
B
D
C
^
=
180
°
(hai góc đối)
Suy ra
B
D
C
^
=
180
°
−
B
A
C
^
=
180
°
−
α
.
Vậy
B
D
C
^
=
180
°
−
α
.
b) Xét tam giác BCD, ta có
B
D
C
^
=
180
°
−
α
và BD là đường kính của đường tròn (O) nên
B
C
D
^
=
90
°
.
Do đó:
sin
B
D
C
^
=
B
C
B
D
, tức là
sin
180
°
−
α
=
a
2
R
.
Mà sin(180° – α) = sin α nên
sin
α
=
a
2
R
hay
a
sin
α
=
2
R
.
Hoạt động 11 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1:
B
A
C
^
=
α
. Kẻ đường kính BD của đường tròn (O).
Cho α là góc vuông. Chứng minh:
a
sin
α
=
2
R
.
Lời giải:
Do tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có
B
A
C
^
=
α
=
90
°
nên BC là đường kính của đường tròn (O), khi đó C ≡ D và BC = a = 2R nên
a
2
R
=
1
.
Lại có: sin α = sin 90° = 1 .
Do đó:
sin
α
=
a
2
R
hay
a
sin
α
=
2
R
.
Luyện tập 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1:
B
^
=
65
°
,
C
^
=
85
°
. Tính độ dài cạnh BC.
Lời giải:
Tam giác ABC có
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
°
(định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra
A
^
=
180
°
−
B
^
+
C
^
=
180
°
−
65
°
+
85
°
=
30
°
.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:
B
C
sin
A
=
2
R
⇒
B
C
=
2
R
sin
A
Do đó: BC = 2 . 6 . sin 30° = 6.
Vậy BC = 6.
Bài 1 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1:
A
^
=
135
°
. Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Lời giải:
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA = (3,5)2 + (7,5)2 – 2.3,5.7,5.sin135° ≈ 31,4
Suy ra BC ≈ 5,6.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
B
C
sin
A
=
2
R
⇒
R
=
5
,
6
2
sin
135
°
≈
4
Vậy R = 4 và BC ≈ 5,6.
Bài 2 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1:
B
^
=
75
°
,
C
^
=
45
°
và BC = 50. Tính độ dài cạnh AB.
Lời giải:
Tam giác ABC có
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
°
(định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra
A
^
=
180
°
−
B
^
+
C
^
=
180
°
−
75
°
+
45
°
=
60
°
.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
B
C
sin
A
=
A
B
sin
C
Do đó:
A
B
=
B
C
sin
C
sin
A
=
50.
sin
45
°
sin
60
°
=
50
6
3
.
Vậy
A
B
=
50
6
3
.
Bài 3 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 7, BC = 8. Tính cosA, sinA và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải:
Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
cos
A
=
A
B
2
+
A
C
2
−
B
C
2
2
A
B
.
A
C
=
6
2
+
7
2
−
8
2
2.6.7
=
1
4
> 0.
Do đó góc A nhọn nên ta có: sin2A + cos2A = 1.
Suy ra sin2A = 1 – cos2A =
1
−
1
4
2
=
15
16
Do đó:
sin
A
=
15
4
.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
B
C
sin
A
=
2
R
⇒
R
=
8
2.
15
4
=
16
15
15
Vậy
cos
A
=
1
4
;
sin
A
=
15
4
;
R
=
16
15
15
.
Chú ý: Nếu không nhớ công thức sin2A + cos2A = 1 (đã học ở lớp 9), ta có thể tính góc A khi biết cosA để từ đó suy ra sinA.
Bài 4 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):
a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°;
b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°;
c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°;
d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115°;
e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100°.
Lời giải:
a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°
= cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos (180° – 40°)
= cos 0° + cos 40° + cos 120° – cos 40°
= cos 0° + cos 120°
= 1 +
−
1
2
(giá trị lượng giác của góc đặc biệt)
=
1
2
.
b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°
= sin 5° + sin 150° – sin (180° – 5°) + sin 180°
= sin 5° + sin 150° – sin 5° + sin 180°
= sin 150° + sin 180°
=
1
2
+
0
(giá trị lượng giác của các góc đặc biệt)
=
1
2
.
c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°
= cos 15° + cos 35° – sin (90° – 15°) – sin (90° – 35°)
= cos 15° + cos 35° – cos 15° – cos 35° (giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau)
= 0.
d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115°
= tan (90° – 65°) . tan 45° . tan (180° – 65°)
= cot 65° . tan 45° . (– tan 65°)
= – (cot 65° . tan 65°) . tan 45°
=
−
c
o
s
65
°
sin
65
°
.
sin
65
°
c
o
s
65
°
.
tan
45
°
= (– 1) . 1 = – 1.
e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100°
= cot (90° – 80°) . cot 30° . cot (180° – 80°)
= tan 80° . cot 30° . (– cot 80°)
= – (tan 80° . cot 80°) . cot 30°
= (– 1) .
3
=
–
3
.
Bài 5 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
sin
A
2
=
c
o
s
B
+
C
2
;
b)
tan
B
+
C
2
=
cot
A
2
.
Lời giải:
Tam giác ABC có
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
°
(định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra:
A
^
+
B
^
+
C
^
2
=
180
°
2
=
90
°
hay
A
^
2
+
B
^
+
C
^
2
=
90
°
⇒
B
^
+
C
^
2
=
90
°
−
A
^
2
.
Áp dụng giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau ta có:
sin
A
2
=
c
o
s
90
°
−
A
2
=
c
o
s
B
+
C
2
(đpcm câu a)
cot
A
2
=
tan
90
°
−
A
2
=
tan
B
+
C
2
(đpcm câu b).
Bài 6 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1:
B
A
C
^
=
59
,
95
°
,
B
A
C
^
=
82
,
15
°
(Hình 16). Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải:
Ba vị trí A, B, C tạo thành 3 đỉnh của một tam giác.
Tam giác ABC có
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
°
(định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra:
B
^
=
180
°
−
A
^
+
C
^
=
180
°
−
59
,
95
°
+
82
,
15
°
=
37
,
9
°
.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
A
B
sin
C
=
A
C
sin
B
Do đó:
A
B
=
A
C
sin
C
sin
B
=
25.
sin
82
,
15
°
sin
37
,
9
°
≈
40
(m).
Vậy khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B khoảng 40 m.
Bài 7 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến A và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hướng tạo với nhau góc 75°. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ. Sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Lời giải:
Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ nên sau 2,5 giờ thì tàu thứ nhất chạy được 8 . 2,5 = 20 (hải lí).
Tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ nên sau 2,5 giờ thì tàu thứ hai chạy được 12 . 2,5 = 30 (hải lí).
Hai tàu cùng chạy từ bến A và đi thẳng về 2 vùng biển khác nhau theo hướng tạo với nhau góc 75°, giả sử tàu thứ nhất chạy về vùng biển B và tàu thứ hai chạy về vùng biển C, ta có hình vẽ mô phỏng như sau:
Khi đó khoảng cách giữa hai tàu sau 2,5 giờ chính là khoảng cách giữa B và C.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB. AC. cos A = 202 + 302 – 2 . 20 . 30 . cos 75° ≈ 989,4
Suy ra: BC ≈ 31,5 (hải lí).
Vậy sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là 31,5 hải lí.
Bài 8 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Bạn A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn A tới chiếc diều và phương nằm ngang) là α = 35°; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn A là 1,5 m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là β = 75°; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B cũng là 1,5 m. Biết chiều cao của tòa nhà là h = 20 m (Hình 17). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so với mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải:
Ta đặt tên các điểm như trên hình vẽ dưới:
Ta có: AI là khoảng cách từ đỉnh của tòa nhà tới mắt bạn A nên AI = 1,5 m.
BE là khoảng cách từ mặt đất tới mắt của bạn B nên BE = 1,5 m.
Lại có: h = IB + BE ⇒ IB = h – BE = 20 – 1,5 = 18,5 (m).
Và AB = AI + IB = 1,5 + 18,5 = 20 (m).
Ta có:
C
A
B
^
=
α
+
90
°
=
35
°
+
90
°
=
125
°
;
A
B
C
^
=
90
°
−
β
=
90
°
−
75
°
=
15
°
Tam giác ABC có
A
B
C
^
+
C
A
B
^
+
A
C
B
^
=
180
°
(định lí tổng ba góc trong tam giác)
Suy ra
A
C
B
^
=
180
°
−
A
B
C
^
+
C
A
B
^
=
180
°
−
15
°
+
125
°
=
40
°
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
A
B
sin
A
C
B
^
=
B
C
sin
C
A
B
^
Do đó:
B
C
=
A
B
.
sin
C
A
B
^
sin
A
C
B
^
=
20.
sin
125
°
sin
40
°
≈
25
,
5
.
Tam giác CBH vuông tại H nên
sin
C
B
H
^
=
C
H
B
C
⇒ CH = BC . sin β = 25,5 . sin 75° ≈ 24,6.
Lại có HK = BE = 1,5 m.
Do đó CK = CH + HK = 24,6 + 1,5 = 26,1 (m).
Vậy chiếc diều bay cao 26,1 m so với mặt đất.