Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Cánh Diều: tại đây
Câu hỏi khởi động trang 72 Toán lớp 10 Tập 1:
Từ vị trí A, đo góc nghiêng α so với bờ biển tới một vị trí C quan sát được trên đảo. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng d và tiếp tục đo góc nghiêng β so với bờ biển tới vị trí C đã chọn (Hình 18). Bằng cách giải tam giác BAC, họ tính được khoảng cách AC.
Giải tam giác được hiểu như thế nào?
Lời giải:
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên những dữ kiện cho trước.
Hoạt động 1 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1:
A
^
=
α
. Viết công thức tính BC theo b, c, α.
Lời giải:
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AB . AC . cos A = c2 + b2 – 2.b.c.cosα
⇒
B
C
=
c
2
+
b
2
−
2
b
c
cos
α
Hoạt động 2 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
cos
A
=
A
B
2
+
A
C
2
−
B
C
2
2.
A
B
.
A
C
=
c
2
+
b
2
−
a
2
2
b
c
Vậy
cos
A
=
c
2
+
b
2
−
a
2
2
b
c
.
Hoạt động 3 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1:
B
^
=
α
,
C
^
=
β
. Viết công thức tính AB và AC theo a, α, β.
Lời giải:
Tam giác ABC có
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
°
⇒
A
^
=
180
°
−
B
^
+
C
^
⇒
A
^
=
180
°
−
α
+
β
⇒ sinA = sin(180° – (α + β)) = sin(α + β).
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
B
C
sin
A
=
A
C
sin
B
=
A
B
sin
C
Suy ra:
A
B
=
B
C
sin
C
sin
A
=
a
.
sin
β
sin
α
+
β
và
A
C
=
B
C
sin
B
sin
A
=
a
.
sin
α
sin
α
+
β
.
Hoạt động 4 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1:
a) Tính BH theo c và sin A.
b) Tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, và sin A.
Lời giải:
a) Xét các trường hợp:
+ Với
A
^
<
90
°
Xét tam giác vuông AHB, ta có: BH = AB . sin A = c sin A.
+ Với
A
^
=
90
°
Khi đó, BH = BA = c = c sin A.
+ Với
A
^
>
90
°
Xét tam giác AHB vuông, ta có:
B
A
H
^
=
180
°
−
A
^
.
Do đó BH = AB . sin(180° –
A
^
) = AB . sin A = c sin A.
Như vậy, trong mọi trường hợp ta đều có BH = c sin A.
b) Ta có:
S
=
1
2
A
C
.
B
H
=
1
2
b
c
sin
A
Luyện tập 1 trang 74 Toán lớp 10 Tập 1:
B
^
=
60
°
;
C
^
=
45
°
. Tính diện tích của tam giác ABC.
Lời giải:
Tam giác ABC vuông tại A có
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
°
(định lí tổng ba góc trong tam giác).
Suy ra
A
^
=
180
°
−
B
^
+
C
^
=
180
°
−
60
°
+
45
°
=
75
°
.
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có:
A
B
sin
C
=
A
C
sin
B
⇒
A
C
=
A
B
.
sin
B
sin
C
=
12.
sin
60
°
sin
45
°
=
6
6
.
Diện tích tam giác ABC là
S
=
1
2
A
B
.
A
C
.
sin
A
=
1
2
.12.6
6
.
sin
75
°
=
54
+
18
3
≈
85
,
2
(đvdt).
Vậy diện tích tam giác ABC khoảng 85,2 đvdt.
Hoạt động 5 trang 75 Toán lớp 10 Tập 1:
a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng:
sin
A
=
2
b
c
p
p
−
a
p
−
b
p
−
c
, ở đó
p
=
a
+
b
+
c
2
.
b) Bằng cách sử dụng công thức
S
=
1
2
b
c
sin
A
, hãy chứng tỏ rằng:
S
=
p
p
−
a
p
−
b
p
−
c
.
Lời giải:
a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AB . AC . cos A
⇒
cos
A
=
A
B
2
+
A
C
2
−
B
C
2
2.
A
B
.
A
C
=
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
(1)
Ta lại có: sin2 A + cos2 A = 1
Do đó: sin2 A = 1 – cos2 A
Vì góc A là một góc của tam giác ABC nên 0° <
A
^
< 180° nên sin A > 0.
Nên
sin
A
=
1
−
cos
2
A
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
sin
A
=
1
−
cos
2
A
=
2
b
c
2
2
b
c
2
−
b
2
+
c
2
−
a
2
2
2
b
c
2
=
2
b
c
2
−
b
2
+
c
2
−
a
2
2
2
b
c
2
=
2
b
c
+
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
−
b
2
−
c
2
+
a
2
2
b
c
2
=
b
+
c
2
−
a
2
a
2
−
b
−
c
2
2
b
c
=
b
+
c
+
a
b
+
c
−
a
a
+
b
−
c
a
−
b
+
c
2
b
c
=
a
+
b
+
c
a
+
b
+
c
−
2
a
a
+
b
+
c
−
2
c
a
+
b
+
c
−
2
b
2
b
c
Lại có
p
=
a
+
b
+
c
2
⇒
a
+
b
+
c
=
2
p
Khi đó:
sin
A
=
2
p
.
2
p
−
2
a
2
p
−
2
b
2
p
−
2
c
2
b
c
=
16
p
p
−
a
p
−
b
p
−
c
2
b
c
Vậy
sin
A
=
2
b
c
p
p
−
a
p
−
b
p
−
c
.
b) Diện tích tam giác ABC là
S
=
1
2
b
c
sin
A
.
Mà
sin
A
=
2
b
c
p
p
−
a
p
−
b
p
−
c
Nên
S
=
1
2
b
c
.
2
b
c
p
p
−
a
p
−
b
p
−
c
=
p
p
−
a
p
−
b
p
−
c
.
Vậy
S
=
p
p
−
a
p
−
b
p
−
c
.
Luyện tập 2 trang 76 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Giả sử toà nhà là AB, AB = 18,5 m; giác kế AC = 1,5 m; chiều cao của cái cây là DE; khoảng cách từ tòa nhà tới cây là BD = 30 m; góc tạo bởi phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang là
F
C
D
^
=
34
°
, góc tạo bởi phương quan sát ngọn cây và phương nằm ngang là
F
C
E
^
=
24
°
. Ta cần tính DE.
Hình vẽ mô phỏng:
Ta có: BC = BA + AC = 18,5 + 1,5 = 20 (m).
Tam giác BCD vuông tại B, áp dụng định lí Pythagore ta có:
CD2 = BC2 + BD2 = 202 + 302 = 1300 (m)
⇒
C
D
=
10
13
.
Lại có:
F
C
D
^
=
F
C
E
^
+
E
C
D
^
⇒
E
C
D
^
=
F
C
D
^
−
F
C
E
^
=
34
°
−
24
°
=
10
°
CF // BD
⇒
C
D
B
^
=
F
C
D
^
=
34
°
(so le trong)
⇒
C
D
E
^
=
90
°
−
C
D
B
^
=
90
°
−
34
°
=
56
°
Tam giác CDE có
E
C
D
^
+
C
D
E
^
+
C
E
D
^
=
180
°
(định lí tổng ba góc trong tam giác)
⇒
C
E
D
^
=
180
°
−
E
C
D
^
+
C
D
E
^
=
180
°
−
10
°
+
56
°
=
114
°
.
Áp dụng định lí sin trong tam giác CDE ta có:
C
D
sin
C
E
D
^
=
D
E
sin
E
C
D
^
⇒
D
E
=
C
D
.
sin
E
C
D
^
sin
C
E
D
^
=
10
13
.
sin
10
°
sin
114
°
≈
6
,
9
(m)
Vậy chiều cao của cây khoảng 6,9 m.
Bài 1 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1:
C
^
=
120
°
. Tính:
a) Độ dài cạnh AB;
b) Số đo các góc A, B;
c) Diện tích tam giác ABC.
Lời giải:
a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
AB2 = AC2 + BC2 – 2 . AC . BC . cos C = 122 + 152 – 2 . 12 . 15 . cos 120° = 549
⇒
A
B
=
3
61
b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
A
B
sin
C
=
B
C
sin
A
⇒
sin
A
=
B
C
.
sin
C
A
B
=
12.
sin
120
°
3
61
=
2
183
61
Do đó:
A
^
≈
26,3
°
.
Lại có:
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
°
(định lí tổng ba góc trong tam giác)
⇒
B
^
=
180
°
−
A
^
+
C
^
=
180
°
−
26,3
°
+
120
°
=
33,7
°
c) Diện tích tam giác ABC là:
S
=
1
2
A
B
.
A
C
.
sin
A
=
1
2
.3
61
.15.
2
183
61
=
45
3
(đvdt).
Bài 2 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1:
A
^
=
120
°
. Tính độ dài cạnh AC.
Lời giải:
Cách 1: áp dụng định lí sin và côsin
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
A
B
sin
C
=
B
C
sin
A
⇒
sin
C
=
A
B
.
sin
A
B
C
=
5.
sin
120
°
7
=
5
3
14
.
Do đó:
C
^
≈
38,2
°
.
Lại có
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
°
(định lí tổng ba góc trong tam giác)
⇒
B
^
=
180
°
−
A
^
+
C
^
=
180
°
−
120
°
+
38,2
°
=
21,8
°
.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2 . AB . AC . cos B = 52 + 72 – 2 . 5 . 7 . cos 21,8° ≈ 9
⇒ AC ≈ 3.
Cách 2: Dựng thêm đường cao và sử dụng định lí Pythagore.
Dựng đường cao CH của tam giác ABC.
Đặt AH = x.
Ta có:
B
A
C
^
+
C
A
H
^
=
180
°
( kề bù).
⇒
C
A
H
^
=
180
°
−
B
A
C
^
=
180
°
−
120
°
=
60
°
.
Tam giác ACH vuông tại H nên
c
o
s
C
A
H
^
=
A
H
C
A
⇒
C
A
=
A
H
c
o
s
C
A
H
^
=
x
c
o
s
60
°
=
x
1
2
=
2
x
.
Áp dụng định lí Pythagore ta tính được:
C
H
=
x
3
.
Và BC2 = BH2 + CH2 = (BA + AH)2 + CH2
Thay số: 72 = (5 + x)2 + 3x2 (1)
Giải phương trình (1) ta được x = 1,5 là giá trị thỏa mãn.
Suy ra AC = 2x = 2 . 1,5 = 3.
Bài 3 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1:
B
^
=
100
°
;
C
^
=
45
°
. Tính:
a) Độ dài các cạnh AC, BC;
b) Diện tích tam giác ABC.
Lời giải:
a) Tam giác ABC có:
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
°
(định lí tổng ba góc trong tam giác)
⇒
A
^
=
180
°
−
B
^
+
C
^
=
180
°
−
100
°
+
45
°
=
35
°
.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
A
B
sin
C
=
B
C
sin
A
=
A
C
sin
B
Suy ra:
A
C
=
A
B
.
sin
B
sin
C
=
100.
sin
100
°
sin
45
°
≈
139
,
3
;
B
C
=
A
B
.
sin
A
sin
C
=
100.
sin
35
°
sin
45
°
≈
81
,
1
Vậy AC ≈ 139,3 và BC ≈ 81,1.
b) Diện tích tam giác ABC là:
S
=
1
2
B
C
.
C
A
.
sin
C
=
1
2
.81
,
1.139
,
3.
sin
45
°
≈
3994,2
(đvdt).
Vậy diện tích tam giác ABC là 3994,2 đvdt.
Bài 4 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính:
a) Số đo các góc A, B, C;
b) Diện tích tam giác ABC.
Lời giải:
a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:
cos
A
=
A
B
2
+
A
C
2
−
B
C
2
2.
A
B
.
A
C
=
12
2
+
15
2
−
20
2
2.12.15
=
−
31
360
⇒
A
^
≈
95
∘
cos
B
=
A
B
2
+
B
C
2
−
A
C
2
2.
A
B
.
B
C
=
12
2
+
20
2
−
15
2
2.12.20
=
319
480
⇒
B
^
≈
48
∘
cos
C
=
B
C
2
+
A
C
2
−
A
B
2
2.
B
C
.
A
C
=
20
2
+
15
2
−
12
2
2.20.15
=
481
600
⇒
C
^
≈
37
∘
Vậy
A
^
≈
95
°
;
B
^
≈
48
°
;
C
^
≈
37
°
.
b) Diện tích tam giác ABC là:
S
=
1
2
.
A
B
.
A
C
.
sin
A
≈
1
2
.12.15.
sin
95
≈
90
Vậy diện tích tam giác ABC là 90 đvdt.
Bài 5 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:
Lời giải:
* Hình 29: Góc B nhọn.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
B
C
sin
A
=
A
C
sin
B
⇒
sin
B
=
A
C
.
sin
A
B
C
=
5
,
2.
sin
40
°
3
,
6
≈
0
,
93
.
Do đó:
B
^
≈
68
°
.
Lại có:
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
°
(định lí tổng ba góc trong tam giác)
⇒
C
^
=
180
°
−
A
^
+
B
^
=
180
°
−
40
°
+
68
°
=
72
°
.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
AB2 = AC2 + BC2 – 2 . AC . BC . cos C = (5,2)2 + (3,6)2 – 2 . 5,2 . 3,6 . cos 72° ≈ 28,43
⇒ AB ≈ 5,33 (m).
* Hình 30: Góc B tù.
Khi đó:
B
^
=
180
°
−
68
°
=
112
°
.
Ta tính được:
C
^
=
28
°
.
Do đó:
AB2 = AC2 + BC2 – 2 . AC . BC . cos C = (5,2)2 + (3,6)2 – 2 . 5,2 . 3,6 . cos 28° ≈ 6,94
⇒ AB ≈ 2,63 (m).
Bài 6 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1:
A
C
B
^
=
105
°
(Hình 31). Tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét).
Lời giải:
Nối A với B, ba vị trí A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác ABC.
Đổi 1 km = 1 000 m.
Tam giác ABC có AC = 1 000 m, CB = 800 m,
A
C
B
^
=
105
°
.
Áp dụng định lí côsin ta có:
AB2 = AC2 + CB2 – 2 . AC . CB . cosACB
= 1 0002 + 8002 – 2 . 1 000 . 800 . cos 105°
≈ 2 054 110,5
Do đó: AB ≈ 1 433,2 m.
Vậy khoảng cách AB khoảng 1 433,2 m.
Bài 7 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là 45° và 75°. Biết khoảng cách giữa hai bị trí A, B là 30 m (Hình 32). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải:
Giả sử C là vị trí của ngọn hải đăng, kẻ CH vuông góc AB thì CH là khoảng cách giữa ngọn hải đăng và bờ.
Ta có:
C
B
H
^
là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC.
Nên
B
A
C
^
+
A
C
B
^
=
C
B
H
^
.
⇒
A
C
B
^
=
C
B
H
^
−
B
A
C
^
=
75
°
−
45
°
=
30
°
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
A
B
sin
C
=
B
C
sin
A
⇒
B
C
=
A
B
.
sin
A
sin
C
=
30.
sin
45
°
sin
30
°
=
30
2
.
Tam giác CBH vuông tại H nên
sin
C
B
H
^
=
C
H
B
C
⇒
C
H
=
B
C
.
sin
C
B
H
^
=
30
2
.
sin
75
°
=
15
+
15
3
≈
41
Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng 41 m.