Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Cánh Diều: tại đây
Câu hỏi khởi động trang 12 Toán lớp 10 Tập 1:
Tập hợp A các học sinh của lớp 10D.
Tập hợp B các học sinh tổ I của lớp 10D.
Làm thế nào để diễn tả quan hệ giữa tập hợp A và tập hợp B?
Lời giải:
Sau bài học này, chúng ta sẽ biết được khái niệm tập con.
Ta thấy các học sinh tổ I của lớp 10D đều là các học sinh của lớp 10D.
Khi đó, tập hợp B là tập con của tập hợp A, kí hiệu B ⊂ A.
Đây chính là mối quan hệ giữa hai tập hợp A và B.
Hoạt động 1 trang 12 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Có hai cách cho một tập hợp:
+ Liệt kê các phần tử của tập hợp;
+ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
Hoạt động 2 trang 12 Toán lớp 10 Tập 1:
a) Viết tập hợp A trong Hình 1 bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp đó.
b) Nêu phần tử không thuộc tập hợp A.
Lời giải:
a) Quan sát Hình 1, ta thấy bên trong vòng kín biểu diễn tập hợp A có 3 chấm biểu diễn 3 phần tử a, b, c. Vậy ta viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử như sau:
A = {a; b; c}.
b) Nhận thấy chấm biểu diễn phần tử d nằm ngoài vòng kín biểu diễn tập hợp A, do đó phần tử d không thuộc tập hợp A, ta viết d ∉ A.
Hoạt động 3 trang 12 Toán lớp 10 Tập 1:
C = {x
∈
ℝ
| x2 < 0}, D = {a}, E = {b; c; d},
ℕ
=
{0; 1; 2; …}.
Lời giải:
+ C = {x
∈
ℝ
| x2 < 0}
Ta có với mọi số thực x thì x2 ≥ 0, nghĩa là không tồn tại số thực x để x2 < 0, do đó ta không tìm được phần tử x nào thỏa mãn tập hợp C hay tập hợp C không có phần tử nào.
+ D = {a}
Tập hợp D có 1 phần tử, là phần tử a.
+ E = {b; c; d}
Tập hợp E có 3 phần tử.
+
ℕ
=
{0; 1; 2; …}.
Tập hợp
ℕ
là tập hợp các số tự nhiên. Tập hợp này có vô số phần tử.
Luyện tập 1 trang 13 Toán lớp 10 Tập 1:
G
=
x
∈
ℤ
|
x
2
–
2
=
0
ℕ
*
= {1; 2; 3; …}.
Lời giải:
+
G
=
x
∈
ℤ
|
x
2
–
2
=
0
Ta có: x2 – 2 = 0 ⇔ x2 = 2 ⇔ x =
±
2
Mà
–
2
;
2
∉
ℤ
nên không tồn tại x nguyên để x2 – 2 = 0
Do đó: G = ∅
Vậy tập hợp G có 0 phần tử.
+N* = {1; 2; 3; …}.
Ta có N* là tập hợp các số tự nhiên khác 0 nên tập hợp này có vô số phần tử.
Hoạt động 4 trang 13 Toán lớp 10 Tập 1:
A = {x
∈
ℤ
| – 3 < x < 3}, B = {x
∈
ℤ
| – 3 ≤ x ≤ 3}.
a) Viết tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp.
b) Mỗi phần tử của tập hợp A có thuộc tập hợp B không?
Lời giải:
a) A = {x
∈
ℤ
| – 3 < x < 3}
Tập hợp A gồm các số nguyên lớn hơn – 3 và nhỏ hơn 3, đó là: – 2, – 1, 0, 1, 2.
Ta viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử như sau: A = {– 2; – 1; 0; 1; 2}.
B = {x
∈
ℤ
| – 3 ≤ x ≤ 3}
Tập hợp B gồm các số nguyên lớn hơn hoặc bằng – 3 và nhỏ hơn hoặc bằng 3, đó là: –3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3.
Ta viết tập hợp B bằng cách liệt kê các phần tử như sau: B = {– 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3}.
b) Nhận thấy mỗi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B.
Luyện tập 2 trang 13 Toán lớp 10 Tập 1:
A = {
n
∈
ℕ
| n chia hết cho 3},
B = {
n
∈
ℕ
| n chia hết cho 9}.
Chứng tỏ rằng B ⊂ A.
Lời giải:
Ta cần chứng minh B ⊂ A hay tập hợp B là tập con của tập hợp A. Điều này có nghĩa là ta cần chứng minh mọi phần tử của tập hợp B đều thuộc tập hợp A hay cần chứng minh với mọi số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 9 thì n chia hết cho 3.
Điều này hoàn toàn đúng, thật vậy:
Vì n chia hết cho 9, ta đặt n = 9k,
k
∈
ℕ
Vì 9 chia hết cho 3 nên 9k chia hết cho 3 (theo tính chất chia hết của một tích)
Do đó, n chia hết cho 3.
Vậy ta được điều phải chứng minh.
Hoạt động 5 trang 14 Toán lớp 10 Tập 1:
A = {0; 6; 12; 18}, B = {n∈ ℕ| n ≤ 18 và n là bội của 6}.
Các mệnh đề sau có đúng không?
a) A ⊂ B;
b) B ⊂ A.
Lời giải:
Để xét xem các mệnh đề a, b có đúng không, ta cần xem xét các phần tử của hai tập hợp A và B.
Ta có: A = {0; 6; 12; 18}.
Các bội của 6 và bé hơn hoặc bằng 18 là: 0; 6; 12; 18.
Do đó B = {0; 6; 12; 18}.
Khi đó ta nhận thấy các phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B và ngược lại.
Vậy A ⊂ B và B ⊂ A là các mệnh đề đúng.
Luyện tập 3 trang 14 Toán lớp 10 Tập 1:
∈
ℕ
| n chia hết cho 3 và 4} và G = {n
∈
ℕ
| n chia hết cho 12}. Chứng tỏ rằng E = G.
Lời giải:
Để chứng minh E = G, ta cần chứng minh E ⊂ G và G ⊂ E.
Vậy ta cần chứng minh với mọi số tự nhiên n, n chia hết cho 12 thì n chia hết cho cả 3 và 4 và ngược lại. Thật vậy,
Ta có n chia hết cho 12 nên n là bội của 12, n chia hết cho cả 3 và 4 nên n là bội chung của 3 và 4.
Lại có BCNN(3, 4) = 12
Do đó BC(3, 4) = B(12).
Vậy mọi phần tử của tập hợp E đều thuộc tập hợp G mà mọi phần tử của tập hợp G đều thuộc tập hợp E.
Hay chính là E ⊂ G và G ⊂ E
Vậy E = G.
Hoạt động 6 trang 14 Toán lớp 10 Tập 1:
– Bóng đá gồm: An, Bình, Chung, Dũng, Minh, Nam, Phương;
– Bóng rổ gồm: An, Chung, Khang, Phong, Quang, Tuấn.
Hãy liệt kê danh sách các bạn đăng kí tham gia cả hai câu lạc bộ.
Lời giải:
Quan sát danh sách trên, ta thấy hai bạn An, Chung đều trong danh sách đăng kí tham gia câu lạc bộ bóng đá và bóng rổ.
Vậy danh sách các bạn đăng kí tham gia cả hai câu lạc bộ là: An, Chung.
Hoạt động 7 trang 15 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Danh sách nhưng môn thi đấu mà cả hai trường đã đề xuất bao gồm tất cả các môn thi đấu giống và khác nhau của hai trường. Danh sách này gồm các môn thi đấu: Bóng đá, Bóng rổ, Bóng bàn, Cầu lông.
Luyện tập 4 trang 15 Toán lớp 10 Tập 1:
A = {x
∈
ℝ
| x ≤ 0}, B = {x
∈
ℝ
| x ≥ 0}.
Tìm A ∩ B và A ∪ B.
Lời giải:
Tập hợp A gồm các số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0, tập hợp B gồm các số thực lớn hơn hoặc bằng 0.
Khi đó phần tử 0 vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B.
Do đó A ∩ B = {0} và A ∪ B = {x | x
∈
ℝ
} =
ℝ
.
Hoạt động 8 trang 15 Toán lớp 10 Tập 1:
ℝ
là tập hợp các số thực, I là tập hợp các số vô tỉ. Khi đó I ⊂
ℝ
. Tìm tập hợp những số thực không phải là số vô tỉ.
Lời giải:
Vì số vô tỉ không phải số hữu tỉ và ngược lại số hữu tỉ cũng không phải số vô tỉ nên tập hợp những số thực không phải là số vô tỉ chính là tập hợp
ℚ
các số hữu tỉ. Vậy tập hợp những số thực không phải là số vô tỉ chính là tập hợp
ℚ
các số hữu tỉ.
Hoạt động 9 trang 16 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B là: 2; 14.
Luyện tập 5 trang 16 Toán lớp 10 Tập 1:
A = {x
∈
ℤ
| – 2 ≤ x ≤ 3}, B = {x
∈
ℝ
| x2 – x – 6 = 0}.
Tìm A \ B và B \ A.
Lời giải:
+ A = {x
∈
ℤ
| – 2 ≤ x ≤ 3}
Tập hợp A gồm các số nguyên lớn hơn hoặc bằng – 2 và nhỏ hơn hoặc bằng 3, chính là: – 2, – 1, 0, 1, 2, 3. Ta viết tập hợp A như sau: A = {– 2; – 1; 0; 1; 2; 3}.
+ B = {x
∈
ℝ
| x2 – x – 6 = 0}
Ta có: x2 – x – 6 = 0
Vậy B = {– 2; 3}.
+ Tập hợp A \ B gồm những phần tử thuộc A mà không thuộc B, đó là – 1, 0, 1, 2.
Vậy A \ B = {– 1; 0; 1; 2}.
+ Tập hợp B \ A gồm những phần tử thuộc B mà không thuộc A.
Ta thấy mọi phần tử thuộc B đều thuộc A. Do đó không có phần tử nào thuộc B mà không thuộc A.
Vậy B \ A =
∅
.
Bài 1 trang 18 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tập hợp X = {a; b; c}. Viết tất cả các tập con của tập hợp X.
Lời giải:
Các tập hợp con của tập hợp X = {a; b; c} là:
, X, {a}, {b}, {c}, {a; b}, {a; c}, {b; c}.
Bài 2 trang 18 Toán lớp 10 Tập 1: Sắp xếp các tập hợp sau theo quan hệ “⊂”: [2; 5], (2; 5), [2; 5), (1; 5]
Lời giải:
Tập hợp [2; 5] là tập hợp gồm các số thực lớn hơn hoặc bằng 2 và nhỏ hơn hoặc bằng 5.
Tập hợp (2; 5) là tập hợp gồm các số thực lớn hơn 2 và nhỏ hơn 5.
Tập hợp [2; 5) là tập hợp gồm các số thực lớn hơn hoặc bằng 2 và nhỏ hơn 5.
Tập hợp (1; 5] là tập hợp các số thực lớn hơn 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 5.
Do đó ta sắp xếp các tập hợp như sau:
(2; 5) ⊂ [2; 5) ⊂ [2; 5] ⊂ (1; 5].
Bài 3 trang 18 Toán lớp 10 Tập 1: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số:
a) [– 3; 7] ∩ (2; 5);
b) (– ∞; 0] ∪ (– 1; 2);
c)
ℝ
\ (– ∞; 3);
d) (– 3; 2) \ [1; 3).
Lời giải:
a) Do (2; 5) ⊂ [–3 ; 7] nên giao của hai tập hợp [–3; 7] và (2; 5) là khoảng (2; 5)
Vậy [– 3; 7] ∩ (2; 5) = (2; 5) và được biểu diễn là:
b) Ta có: (– ∞; 0] = {x
∈
ℝ
| x ≤ 0}
(–1 ; 2) = {x
∈
ℝ
| –1 < x < 2}
Khi đó (– ∞; 0] ∪ (–1 ; 2) = {x
∈
ℝ
| x ≤ 0 hoặc – 1 < x < 2} = {x
∈
ℝ
| x < 2} = (– ∞; 2)
Vậy (– ∞; 0] ∪ (– 1; 2) = (– ∞; 2) và được biểu diễn là:
c) Tập hợp
ℝ
\ (– ∞; 3) là tập hợp các số thực không thuộc khoảng (– ∞; 3)
Vậy
ℝ
\ (– ∞; 3) = [3; + ∞) và được biểu diễn là:
d) Tập hợp (– 3; 2) \ [1; 3) gồm các phần tử thuộc (– 3; 2) và không thuộc [1; 3).
Vậy (– 3; 2) \ [1; 3) = (– 3; 1) và được biểu diễn là:
Bài 4 trang 18 Toán lớp 10 Tập 1: Gọi A là tập nghiệm của phương trình x2 + x – 2 = 0, B là tập nghiệm của phương trình 2x2 + x – 6 = 0.
Tìm C = A ∩ B.
Lời giải:
+ Giải phương trình x2 + x – 2 = 0
Ta có: ∆ = 12 – 4 . 1 . (– 2) = 1 + 8 = 9
Suy ra phương trình có hai nghiệm x1 = 1 và x2 = – 2.
Ta viết tập hợp A như sau: A = {–2 ; 1}.
+ Tương tự, giải phương trình 2x2 + x – 6 = 0 ta được 2 nghiệm là
3
2
và – 2.
Do đó ta viết được tập hợp B như sau: B = {– 2;
3
2
}.
+ Ta có: C = A ∩ B hay tập hợp C là giao của hai tập hợp A và B, hay mọi phần tử thuộc tập hợp C phải vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B.
Vậy C = {– 2}.
Bài 5 trang 18 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm D = E ∩ G biết E và G lần lượt là tập nghiệm của hai bất phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a) 2x + 3 ≥ 0 và – x + 5 ≥ 0;
b) x + 2 > 0 và 2x – 9 < 0.
Lời giải:
Chú ý: D = E ∩ G hay tập hợp D là giao của hai tập hợp E và G. Ta cần tìm tập E, G bằng cách tìm tập nghiệm của các bất phương trình đã cho rồi từ đó suy ra tập hợp D.
a) 2x + 3 ≥ 0 và – x + 5 ≥ 0
Ta giải các bất phương trình.
2x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥
−
3
2
Khi đó E =
x
∈
ℝ
|
x
≥
−
3
2
=
−
3
2
;
+
∞
.
– x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≤ 5
Khi đó G = {x
∈
ℝ
| x ≤ 5} = (– ∞; 5]
Vậy D = E ∩ G =
−
3
2
;
+
∞
∩
−
∞
;
5
=
−
3
2
;
5
.
b) x + 2 > 0 và 2x – 9 < 0
Ta có: x + 2 > 0 ⇔ x > – 2
Khi đó E = {x
∈
ℝ
| x > – 2} = (– 2; + ∞)
Lại có: 2x – 9 < 0
⇔
x
<
9
2
Khi đó G =
x
∈
ℝ
|
x
<
9
2
Vậy
D
=
E
∩
G
=
−
2
;
+
∞
∩
−
∞
;
9
2
=
−
2
;
9
2
.
Bài 6 trang 18 Toán lớp 10 Tập 1:
1
P
x
xác định.
Lời giải:
A là tập nghiệm của đa thức P(x).
Suy ra A = {x
∈
ℝ
| P(x) = 0}.
Biểu thức
1
P
x
xác định khi P(x) ≠ 0.
Do đó tập hợp các số thực x sao cho biểu thức
1
P
x
xác định chính là tập hợp các số thực không thuộc A.
Gọi B là tập hợp các số thực x sao cho biểu thức
1
P
x
xác định.
Vậy B =
ℝ
\
A
=
C
ℝ
A
.
Bài 7 trang 18 Toán lớp 10 Tập 1: Lớp 10B có 28 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao và 19 học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc. Biết rằng có 10 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ trên.
a) Có bao nhiêu học sinh ở lớp 10B tham gia câu lạc bộ thể thao và không tham gia câu lạc bộ âm nhạc?
b) Có bao nhiêu học sinh ở lớp 10B tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ trên?
c) Biết lớp 10B có 40 học sinh. Có bao nhiêu học sinh không tham giac câu lạc bộ thể thao? Có bao nhiêu học sinh không tham gia cả hai câu lạc bộ?
Lời giải:
a) Có 10 bạn học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ thể thao và âm nhạc, do đó trong 28 bạn học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao của lớp 10B thì có 10 bạn tham gia cả câu lạc bộ âm nhạc.
Vậy số học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao và không tham gia câu lạc bộ âm nhạc của lớp 10B là: 28 – 10 = 18 (học sinh).
b) Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ là:
28 + 19 – 10 = 37 (học sinh).
c) Lớp 10B có tất cả 40 học sinh, trong đó có 28 bạn tham gia câu lạc bộ thể thao, nên số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao là:
40 – 28 = 12 (học sinh)
* Tính số học sinh không tham gia cả hai câu lạc bộ
TH1: Theo câu b, ta thấy có 37 học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ nên số học sinh không tham gia cả hai câu lạc bộ (không tham gia bất kì câu lạc bộ nào) là:
40 – 37 = 3 (học sinh)
TH2: Học sinh không tham gia đồng thời cả hai câu lạc bộ thì số học sinh đó sẽ là:
40 – 10 = 30 (học sinh)
Bài 8 trang 18 Toán lớp 10 Tập 1: Một nhóm có 12 học sinh chuẩn bị cho hội diễn văn nghệ. Trong danh sách đăng kí tham gia tiết mục múa và tiết mục hát của nhóm đó, có 5 học sinh tham gia tiết mục múa, 3 học sinh tham gia cả hai tiết mục. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong nhóm tham gia tiết mục hát? Biết 4 học sinh của nhóm không tham gia tiết mục nào?
Lời giải:
Trong nhóm có 4 bạn không tham gia tiết mục nào nên số bạn trong nhóm tham gia hát hoặc múa là: 12 – 4 = 8 (bạn)
Trong 8 bạn trên, có 5 bạn học sinh tham gia múa, vậy số học sinh không tham gia tiết mục múa nhưng có tham gia tiết mục hát là: 8 – 5 = 3 (bạn)
Vì có 3 học sinh tham gia cả hai tiết mục, nghĩa là 3 bạn này thuộc trong nhóm 5 học sinh tham gia tiết mục múa, đồng thời khác với 3 bạn tham gia tiết mục hát nhưng không tham gia tiết mục múa.
Do vậy, số bạn trong nhóm tham gia tiết mục hát là: 3 + 3 = 6 (bạn)
Vậy có 6 học sinh tham gia tiết mục múa.