Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Cánh Diều: tại đây
Câu hỏi khởi động trang 44 Toán lớp 10 Tập 1:
Làm thế nào để xét dấu tam thức bậc hai?
Lời giải:
Đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) được gọi là tam thức tâm bậc hai.
Sau bài học thứ 3 của chương 3 này, ta sẽ biết cách xét dấu tam thức bậc hai và áp dụng vào xét dấu tam thức bậc hai f(x) = – 200x2 + 92 000x – 8 400 000.
Ta có: a = – 200, b = 92 000, c = – 8 400 000.
∆ = b2 – 4ac = 920002 – 4 . (– 200) . (– 8 400 000) = 1 744 000 000 > 0
Δ
=
1
744
000
000
=
4000
109
Khi đó f(x) có hai nghiệm
x
1
=
−
b
+
Δ
2
a
=
−
92000
+
4000
109
−
400
=
230
−
10
109
;
x
2
=
−
b
−
Δ
2
a
=
−
92000
−
4000
109
−
400
=
230
+
10
109
.
Lại có a = – 200 < 0.
Do đó f(x) < 0 với mọi x thuộc các khoảng
−
∞
;
230
−
10
109
và
230
+
10
109
;
+
∞
.
f(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng
230
−
10
109
;
230
+
10
109
.
Hoạt động 1 trang 44 Toán lớp 10 Tập 1:
a) Quan sát Hình 17 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x2 – 2x + 2 trên ℝ.
b) Quan sát Hình 18 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 4x – 5 trên ℝ.
c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) trên ℝ với dấu của hệ số a trong trường hợp ∆ < 0.
Lời giải:
a) Quan sát Hình 17 ta thấy parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x2 – 2x + 2 > 0 với mọi x ∈ ℝ.
b) Quan sát Hình 18 ta thấy parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 4x – 5 < 0 với mọi x ∈ ℝ.
c) Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi
x
∈
ℝ
.
Hoạt động 2 trang 45 Toán lớp 10 Tập 1:
a) Quan sát Hình 19 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x2 + 2x + 1.
b) Quan sát Hình 20 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 4x – 4.
c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a trong trường hợp ∆ = 0.
Lời giải:
a) Quan sát Hình 19, ta thấy parabol có đỉnh I(– 1; 0) thuộc trục hoành và phần parabol còn lại nằm phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x2 + 2x + 1 > 0 với mọi
x
∈
ℝ
\
−
1
.
b) Quan sát Hình 20, ta thấy parabol có đỉnh I(2; 0) thuộc trục hoành và phần parabol còn lại nằm phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 4x – 4 < 0 với mọi
x
∈
ℝ
\
2
.
c) Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi
x
∈
ℝ
\
−
b
2
a
.
Hoạt động 3 trang 45 Toán lớp 10 Tập 1:
a) Quan sát Hình 21 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x2 + 3x + 2 tùy theo các khoảng của x.
b) Quan sát Hình 22 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 4x – 3 tùy theo các khoảng của x.
c) Từ đó rút ra mối quan hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a tùy theo các khoảng của x trong trường hợp ∆ > 0.
Lời giải:
a) Quan sát Hình 21, ta thấy
+ Trên khoảng (– 2; – 1), phần parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x2 + 3x + 2 < 0.
+ Trên các khoảng (– ∞; – 2) và (– 1; + ∞), phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x2 + 3x + 2 > 0.
b) Quan sát Hình 22, ta thấy:
+ Trên khoảng (1; 3), phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 4x – 3 > 0.
+ Trên các khoảng (– ∞; 1) và (3; + ∞), phần parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 4x – 3 < 0.
c) Nếu ∆ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng (– ∞; x1) và (x2; + ∞); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng (x1; x2), trong đó x1, x2 là hai nghiệm của f(x) và x1 < x2.
Luyện tập 1 trang 46 Toán lớp 10 Tập 1:
a) f(x) = – 2x2 + 4x – 5;
b) f(x) = – x2 + 6x – 9.
Lời giải:
a) Tam thức bậc hai f(x) = – 2x2 + 4x – 5 có ∆ = b2 – 4ac = 42 – 4 . (– 2) . (– 5) = – 24 < 0, hệ số a = – 2 < 0 nên f(x) < 0 với mọi
x
∈
ℝ
.
b) Tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 6x – 9 có ∆ = b2 – 4ac = 62 – 4 . (– 1) . (– 9) = 0, nghiệm kép x0 =
−
b
2
a
=
−
6
2.
−
1
=
3
và hệ số a = – 1 < 0 nên f(x) < 0 với mọi
x
∈
ℝ
\
3
.
Luyện tập 2 trang 46 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Tam thức bậc hai f(x) = – x2 – 2x + 8 có ∆ = b2 – 4ac = (– 2)2 – 4 . (– 1) . 8 = 36 > 0.
Do đó tam thức bậc hai có hai nghiệm x1 = – 4, x2 = 2 và hệ số a = – 1 < 0.
Ta có bảng xét dấu như sau:
Bài 1 trang 48 Toán lớp 10 Tập 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) x2 – 2x – 3 > 0 khi và chỉ khi x ∈ (– ∞; – 1) ∪ (3; + ∞).
b) x2 – 2x – 3 < 0 khi và chỉ khi x ∈ [– 1; 3].
Lời giải:
Xét tam thức bậc hai f(x) = x2 – 2x – 3.
Ta có: a = 1, b = – 2, c = – 3, ∆ = b2 – 4ac = (– 2)2 – 4 . 1 . (– 3) = 16 > 0.
Khi đó tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x1 = – 1 và x2 = 3.
Lại có hệ số a = 1 > 0, do đó f(x) > 0 với mọi x ∈ (– ∞; – 1) ∪ (3; + ∞) và f(x) < 0 với mọi x ∈ (– 1; 3).
Vậy phát biểu a) đúng và phát biểu b) sai.
Chú ý: Tại x = – 1 và x = 3, f(x) = 0 nên phát biểu b) sai.
Bài 2 trang 48 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) với đồ thị được cho ở mỗi Hình 24a, 24b, 24c.
Lời giải:
a) Quan sát Hình 24a, ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm có tọa độ (2; 0).
Do đó nghiệm của tam thức bậc hai f(x) là x = 2.
Phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành trừ điểm có hoành độ x = 2, nên ta có bảng xét dấu tam thức f(x) là:
b) Quan sát Hình 24b, ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có tọa độ là (– 4; 0) và (– 1; 0).
Do đó tam thức bậc hai f(x) có hai nghiệm phân biệt là x1 = – 4 và x2 = – 1.
Trên các khoảng (– ∞; – 4) và (– 1; + ∞), phần parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên f(x) < 0.
Trên khoảng (– 4; – 1), phần parabol nằm phía trên trục hoành nên f(x) > 0.
Ta có bảng xét dấu tam thức f(x) sau:
c) Quan sát Hình 24c, ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại hai điêm phân biệt có tọa độ (– 1; 0) và (2; 0).
Do đó tam thức bậc hai f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = – 1 và x2 = 2.
Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (2; + ∞), phần parabol nằm phía trên trục hoành nên f(x) > 0.
Trên khoảng (– 1; 2) phần parabol nằm phía dưới trục hoành nên f(x) < 0.
Ta có bảng xét dấu tam thức f(x) sau:
Bài 3 trang 48 Toán lớp 10 Tập 1: Xét dấu mỗi tam thức bậc hai sau:
a) f(x) = 3x2 – 4x + 1;
b) f(x) = 9x2 + 6x + 1;
c) f(x) = 2x2 – 3x + 10;
d) f(x) = – 5x2 + 2x + 3;
e) f(x) = – 4x2 + 8x – 4;
g) f(x) = – 3x2 + 3x – 1.
Lời giải:
a) Tam thức bậc hai f(x) = 3x2 – 4x + 1 có ∆ = (– 4)2 – 4 . 3 . 1 = 4 > 0.
Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 =
1
3
và x2 = 1.
Lại có hệ số a = 3 > 0.
Vậy f(x) > 0 với mọi x thuộc các khoảng
−
∞
;
1
3
và (1; + ∞); f(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng
1
3
;
1
.
b) Tam thức bậc hai f(x) = 9x2 + 6x + 1 có ∆ = 62 – 4 . 9 . 1 = 0.
Do đó tam thức f(x) có nghiệm kép là x0 =
−
1
3
.
Lại có hệ số a = 9 > 0.
Vậy f(x) > 0 với mọi
x
∈
ℝ
\
−
1
3
.
c) Tam thức bậc hai f(x) = 2x2 – 3x + 10 có ∆ = (– 3)2 – 4 . 2 . 10 = – 71 < 0 và hệ số a = 2 > 0 nên f(x) > 0 với mọi
x
∈
ℝ
.
d) Tam thức bậc hai f(x) = – 5x2 + 2x + 3 có ∆ = 22 – 4 . (– 5) . 3 = 64 > 0.
Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 =
−
3
5
và x2 = 1.
Lại có hệ số a = – 5 < 0.
Vậy f(x) < 0 với mọi x thuộc các khoảng
−
∞
;
−
3
5
và (1; + ∞); f(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng
−
3
5
;
1
.
e) Tam thức bậc hai f(x) = – 4x2 + 8x – 4 có ∆ = 82 – 4 . (– 4) . (– 4) = 0.
Do đó tam thức f(x) có nghiệm kép x0 = 1.
Lại có hệ số a = – 4 < 0.
Vậy f(x) < 0 với mọi
x
∈
ℝ
\
1
.
g) Tam thức bậc hai f(x) = – 3x2 + 3x – 1 có ∆ = 32 – 4 . (– 3) . (– 1) = – 3 < 0 và hệ số a = – 3 < 0 nên f(x) < 0 với mọi
x
∈
ℝ
.
Bài 4 trang 48 Toán lớp 10 Tập 1: Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:
50 khách đầu tiên có giá là 300 000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 5 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.
a) Gọi x là số lượng người khách từ người thứ 51 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo x.
b) Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 15 080 000 đồng.
Lời giải:
a) Gọi x là số lượng người khách từ người thứ 51 trở lên của nhóm nên
x
∈
ℕ
*
.
Khi đó tổng số khách của nhóm là 50 + x (người).
Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 5 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách nên thêm x người thì giá vẽ sẽ giảm 5 000x đồng/người.
Do đó, giá vé cho mỗi hành khách trong nhóm 50 + x người là: 300 000 – 5 000x (đồng).
Khi đó tổng số tiền vé của nhóm 50 + x người hay chính là doanh thu của công ty là
DT = (300 000 – 5 000x). (50 + x) = – 5 000x2 + 50 000x + 15 000 000.
b) Vì chi phí thực sự cho chuyến đi là 15 080 000 đồng nên lợi nhuận của công ty là doanh thu trừ đi chi phí thực sự và là
y = DT – 15 080 000
= (– 5 000x2 + 50 000x + 15 000 000) – 15 080 000
= – 5 000x2 + 50 000x – 80 000 (đồng)
Xét tam thức bậc hai y = f(x) = – 5 000x2 + 50 000x – 80 000.
Nhận thấy f(x) có hai nghiệm là x1 = 2, x2 = 8 và hệ số a = – 5 000 < 0. Ta có bảng xét dấu sau:
Vì
x
∈
ℕ
*
nên công ty không lỗ (hay lời hoặc hòa vốn) khi f(x) ≥ 0, tức là 2 ≤ x ≤ 8.
Do đó, số lượng khách từ người thứ 51 trở lên nhiều nhất là 8 người thì công ty du lịch không bị lỗ hay số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là 50 + 8 = 58 người.
Vậy số người của nhóm du lịch nhiều nhất là 58 người thì công ty không bị lỗ.
Bài 5 trang 48 Toán lớp 10 Tập 1: Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm là Q2 + 180Q + 140 000 (nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là 1 200 nghìn đồng.
a) Xác định lợi nhuận xí nghiệp thu được sau khi bán hết Q sản phẩm đó, biết rằng lợi nhuận là hiệu của doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất.
b) Xí nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để không bị lỗ? Biết rằng các sản phẩm được sản xuất đều bán hết.
Lời giải:
Theo bài ra thì điều kiện của Q là
Q
∈
ℕ
*
.
a) Tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm là T = Q2 + 180Q + 140 000 (nghìn đồng).
Giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là 1 200 nghìn đồng nên giá Q sản phẩm bán ra thị trường hay chính là doanh thu khi bán Q sản phẩm là: DT = 1 200Q (nghìn đồng).
Khi đó lợi nhuận của xí nghiệp khi bán hết Q sản phẩm là:
y = DT – T = 1 200Q – (Q2 + 180Q + 140 000) = – Q2 + 1 020Q – 140 000 (nghìn đồng).
Vậy lợi nhuận của xí nghiệp đó là y = – Q2 + 1 020Q – 140 000 (nghìn đồng).
b) Xét tam thức bậc hai y = – Q2 + 1 020Q – 140 000.
Nhận thấy tam thức này có hai nghiệm
Q
1
=
510
−
10
1201
,
Q
2
=
510
+
10
1201
và hệ số a = – 1 < 0. Ta có bảng xét dấu sau:
Do
Q
∈
ℕ
*
và
510
−
10
1201
≈
163
,
45
;
510
+
10
1201
≈
856
,
55
.
Mà xí nghiệp không bị lỗ, tức là lời hoặc hòa vốn, nên theo bảng xét dấu thì xí nghiệp không bị lỗ khi và chỉ khi y ≥ 0, tức là 164 ≤ Q ≤ 857.
Vậy xí nghiệp không bị lỗ khi sản xuất từ 164 sản phẩm đến 857 sản phẩm.