Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Cánh Diều: tại đây
Câu hỏi khởi động trang 93 Toán lớp 10 Tập 1:
F
→
tác động lên một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OM (Hình 63) thì công A của lực
F
→
được tính theo công thức
A
=
F
→
.
O
M
→
.
cos
φ
trong đó
F
→
gọi là cường độ của lực
F
→
tính bằng Newton (N),
O
M
→
là độ dài của vectơ
O
M
→
tính bằng mét (m), φ là góc giữa hai vectơ
O
M
→
và
F
→
, còn công A tính bằng Jun (J).
Trong toán học, giá trị của biểu thức
A
=
F
→
.
O
M
→
.
cos
φ
(không kể đơn vị đo) được gọi là gì?
Lời giải:
Giá trị của biểu thức
A
=
F
→
.
O
M
→
.
cos
φ
là tích vô hướng của hai vectơ
F
→
và
O
M
→
.
Luyện tập 1 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1:
B
^
=
30
°
, AB = 3 cm. Tính
B
A
→
.
B
C
→
;
C
A
→
.
C
B
→
.
Lời giải:
Ta có tam giác ABC vuông ở A nên
B
^
+
C
^
=
90
°
⇒
C
^
=
90
°
−
B
^
=
90
°
−
30
°
=
60
°
.
Lại có: tan B =
A
C
A
B
⇒ AC = AB . tanB = 3 . tan 30° =
3
.
Và sin B =
A
C
B
C
⇒ BC =
A
C
sin
B
=
3
sin
30
°
=
2
3
.
Ta có:
B
A
→
.
B
C
→
=
B
A
→
.
B
C
→
.
cos
B
A
→
,
B
C
→
=
3
.
2
3
.
cos
A
B
C
^
=
6
3
.
cos
30
°
=
9
.
C
A
→
.
C
B
→
=
C
A
→
.
C
B
→
.
cos
C
A
→
,
C
B
→
=
3
.
2
3
.
cos
A
C
B
^
= 6 . cos 60° = 3.
Vậy
B
A
→
.
B
C
→
=
9
và
C
A
→
.
C
B
→
=
3
.
Luyện tập 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1:
a)
C
B
→
.
B
A
→
;
b)
A
H
→
.
B
C
→
.
Lời giải:
a) Tam giác ABC đều nên
A
^
=
B
^
=
C
^
=
60
°
và AB = BC = AC = a.
Lại có:
B
C
→
,
B
A
→
=
A
B
C
^
=
60
°
.
Ta có:
C
B
→
.
B
A
→
=
−
B
C
→
.
B
A
→
=
−
B
C
→
.
B
A
→
=
−
B
C
→
.
B
A
→
.
cos
B
C
→
,
B
A
→
=
−
a
.
a
.
cos
60
°
=
−
a
2
2
Vậy
C
B
→
.
B
A
→
=
−
a
2
2
.
b) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.
Do đó:
A
H
→
⊥
B
C
→
nên
A
H
→
.
B
C
→
=
0
.
Luyện tập 3 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1:
a
→
,
b
→
, ta có:
a
→
+
b
→
2
=
a
→
2
+
2
a
→
.
b
→
+
b
→
2
;
a
→
−
b
→
2
=
a
→
2
−
2
a
→
.
b
→
+
b
→
2
;
a
→
−
b
→
.
a
→
+
b
→
=
a
→
2
−
b
→
2
.
Lời giải:
+ Ta có:
a
→
+
b
→
2
=
a
→
+
b
→
.
a
→
+
b
→
(bình phương vô hướng của vectơ
a
→
+
b
→
)
=
a
→
.
a
→
+
a
→
.
b
→
+
b
→
.
a
→
+
b
→
.
b
→
=
a
→
2
+
a
→
.
b
→
+
a
→
.
b
→
+
b
→
2
(áp dụng tính chất giao hoán)
=
a
→
2
+
2
a
→
.
b
→
+
b
→
2
Vậy
a
→
+
b
→
2
=
a
→
2
+
2
a
→
.
b
→
+
b
→
2
.
+ Ta có:
a
→
−
b
→
2
=
a
→
−
b
→
.
a
→
−
b
→
(bình phương vô hướng của vectơ
a
→
−
b
→
)
=
a
→
.
a
→
−
a
→
.
b
→
−
b
→
.
a
→
+
−
b
→
.
−
b
→
=
a
→
2
−
a
→
.
b
→
−
a
→
.
b
→
+
b
→
2
(áp dụng tính chất giao hoán)
=
a
→
2
−
2
a
→
.
b
→
+
b
→
2
Vậy
a
→
−
b
→
2
=
a
→
2
−
2
a
→
.
b
→
+
b
→
2
.
+ Ta có:
a
→
−
b
→
a
→
+
b
→
=
a
→
.
a
→
+
a
→
.
b
→
+
−
b
→
.
a
→
+
−
b
→
.
b
→
=
a
→
2
+
a
→
.
b
→
−
a
→
.
b
→
−
b
→
.
b
→
(áp dụng tính chất giao hoán)
=
a
→
2
−
b
→
2
.
Vậy
a
→
−
b
→
.
a
→
+
b
→
=
a
→
2
−
b
→
2
.
Luyện tập 4 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
+ Ta chứng minh định lí thuận:
Có tam giác ABC vuông ở A, cần chứng minh BC2 = AB2 + AC2.
Tam giác ABC vuông tại A nên
B
A
C
^
=
90
°
.
Ta có:
B
C
→
2
=
A
C
→
−
A
B
→
2
=
A
C
→
2
+
A
B
→
2
−
2
A
C
→
.
A
B
→
Suy ra: BC2 = AC2 + AB2 – 2 . AC . AB . cos
A
C
→
,
A
B
→
= AB2 + AC2 – 2 . AC . AB . cosA
= AB2 + AC2 – 2 . AC . AB . cos 90°
= AB2 + AC2 – 2 . AC . AB . 0
= AB2 + AC2.
Vậy BC2 = AB2 + AC2.
+ Ta chứng minh định lí đảo:
Cho tam giác ABC có BC2 = AB2 + AC2 thì tam giác ABC vuông tại A.
Ta có:
B
C
→
2
=
A
C
→
−
A
B
→
2
=
A
C
→
2
+
A
B
→
2
−
2
A
C
→
.
A
B
→
Suy ra: BC2 = AC2 + AB2 – 2 . AC . AB . cos
A
C
→
,
A
B
→
(*)
Mà theo giả thiết ta có: BC2 = AB2 + AC2 nên thay vào (*) ta được:
BC2 = BC2 – 2 . AC . AB . cos
A
C
→
,
A
B
→
Suy ra: 2 . AC . AB . cos
A
C
→
,
A
B
→
= 0
⇔
cos
A
C
→
,
A
B
→
=
0
hay
cos
B
A
C
^
=
0
Do đó:
B
A
C
^
=
90
°
.
Vậy tam giác ABC vuông tại A.
Bài 1 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1:
M
N
→
.
N
M
→
=
−
4
thì độ dài đoạn thẳng MN bằng bao nhiêu?
A. MN = 4;
B. MN = 2;
C. MN = 16;
D. MN = 256.
Lời giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có:
M
N
→
.
N
M
→
=
M
N
→
.
−
M
N
→
=
−
M
N
→
.
M
N
→
=
−
M
N
→
2
=
−
M
N
2
Lại có:
M
N
→
.
N
M
→
=
−
4
, do đó: – MN2 = – 4 ⇔ MN2 = 4.
Suy ra MN = 2 (MN là độ dài đoạn thẳng nên MN > 0).
Vậy MN = 2.
Bài 2 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu
a
→
,
b
→
khác
0
→
và
a
→
,
b
→
<
90
°
thì
a
→
.
b
→
<
0
;
B. Nếu
a
→
,
b
→
khác
0
→
và
a
→
,
b
→
>
90
°
thì
a
→
.
b
→
>
0
C. Nếu
a
→
,
b
→
khác
0
→
và
a
→
,
b
→
<
90
°
thì
a
→
.
b
→
>
0
D. Nếu
a
→
,
b
→
khác
0
→
và
a
→
,
b
→
≠
90
°
thì
a
→
.
b
→
<
0.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C.
Với
a
→
,
b
→
khác
0
→
thì
a
→
,
b
→
<
90
°
⇒
cos
a
→
,
b
→
>
0
Do đó ta có:
a
→
.
b
→
=
a
→
.
b
→
.
cos
a
→
,
b
→
>
0
.
Vậy
a
→
,
b
→
khác
0
→
và
a
→
,
b
→
<
90
°
thì
a
→
.
b
→
>
0
.
Bài 3 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1:
a
→
.
b
→
trong mỗi trường hợp sau:
a)
a
→
=
3
,
b
→
=
4
,
a
→
,
b
→
=
30
°
;
b)
a
→
=
5
,
b
→
=
6
,
a
→
,
b
→
=
120
°
;
c)
a
→
=
2
,
b
→
=
3
,
a
→
và
b
→
cùng hướng;
d)
a
→
=
2
,
b
→
=
3
,
a
→
và
b
→
ngược hướng.
Lời giải:
a) Ta có:
a
→
.
b
→
=
a
→
.
b
→
.
cos
a
→
,
b
→
= 3 . 4 cos 30° =
6
3
.
b) Ta có:
a
→
.
b
→
=
a
→
.
b
→
.
cos
a
→
,
b
→
= 5 . 6 cos 120° = – 15.
c) Hai vectơ
a
→
và
b
→
cùng hướng nên
a
→
.
b
→
=
a
→
.
b
→
=
2
.
3
=
6
.
d) Hai vectơ
a
→
và
b
→
ngược hướng nên
a
→
.
b
→
=
−
a
→
.
b
→
=
−
2
.
3
=
−
6
.
Bài 4 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:
a)
A
B
→
.
A
C
→
;
b)
A
C
→
.
B
D
→
.
Lời giải:
a) Xét hình vuông ABCD có:
AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2 (định lí py – ta – go)
⇒ AC=
a
2
Ta lại có đường chéo AC là tia phân giác của
B
A
D
^
.
Do đó:
B
A
C
^
=
1
2
B
A
D
^
=
1
2
.90
°
=
45
°
.
Ta có:
A
B
→
.
A
C
→
=
A
B
→
.
A
C
→
.
cos
A
B
→
,
A
C
→
=
A
B
.
A
C
.
cos
B
A
C
^
=
a
.
a
2
.
c
o
s
45
∘
=a2
Vậy
A
B
→
.
A
C
→
=a
2
b) ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
Do đó:
A
C
→
⊥
B
D
→
, nên
A
C
→
.
B
D
→
=
0
.
Bài 5 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh:
A
B
2
+
A
B
→
.
B
C
→
+
A
B
→
.
C
A
→
=
0
Lời giải:
Ta có:
A
B
2
+
A
B
→
.
B
C
→
+
A
B
→
.
C
A
→
=
A
B
2
+
A
B
→
.
B
C
→
+
C
A
→
=
A
B
2
+
A
B
→
.
B
A
→
=
A
B
2
+
A
B
→
.
−
A
B
→
=
A
B
2
−
A
B
→
2
=
A
B
2
−
A
B
2
=
0
.
Vậy
A
B
2
+
A
B
→
.
B
C
→
+
A
B
→
.
C
A
→
=
0
.
Bài 6 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:
a)
A
B
→
.
A
H
→
=
A
C
→
.
A
H
→
;
b)
A
B
→
.
B
C
→
=
H
B
→
.
B
C
→
.
Lời giải:
Tam giác ABC nhọn nên H thuộc cạnh BC.
a) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ CB.
Do đó:
A
H
→
.
C
B
→
=
0
.
Ta có:
A
B
→
.
A
H
→
−
A
C
→
.
A
H
→
=
A
H
→
.
A
B
→
−
A
H
→
.
A
C
→
(tính chất giao hoán)
=
A
H
→
.
A
B
→
−
A
C
→
=
A
H
→
.
C
B
→
=
0
Do đó:
A
B
→
.
A
H
→
−
A
C
→
.
A
H
→
=
0
⇔
A
B
→
.
A
H
→
=
A
C
→
.
A
H
→
Vậy
A
B
→
.
A
H
→
=
A
C
→
.
A
H
→
.
b) Ta có:
A
B
→
.
B
C
→
−
H
B
→
.
B
C
→
=
B
C
→
.
A
B
→
−
B
C
→
.
H
B
→
(tính chất giao hoán)
=
B
C
→
.
A
B
→
−
H
B
→
=
B
C
→
.
A
B
→
−
−
B
H
→
=
B
C
→
.
A
B
→
+
B
H
→
=
B
C
→
.
A
H
→
=
0
Suy ra:
A
B
→
.
B
C
→
−
H
B
→
.
B
C
→
=
0
⇔
A
B
→
.
B
C
→
=
H
B
→
.
B
C
→
Vậy
A
B
→
.
B
C
→
=
H
B
→
.
B
C
→
.
Bài 7 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 km/h (Hình 68). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi.
Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị km/h).
Lời giải:
Giả sử vận tốc của máy bay theo hướng đông sang tây là
v
1
→
, vận tốc của luồng gió theo hướng đông bắc sang tây nam là
v
2
→
và vận tốc mới của máy bay chính là
v
→
thỏa mãn
v
→
=
v
1
→
+
v
2
→
. Ta cần tính độ dài vectơ
v
→
.
Theo bài ra ta có:
v
1
→
=
700
km/h,
v
2
→
=
40
km/h,
v
1
→
,
v
2
→
=
45
°
.
Biểu diễn bài toán như hình vẽ dưới đây:
Khi đó ta có: ABCD là hình bình hành có
A
B
C
^
=
45
°
.
Suy ra:
D
A
B
^
=
180
°
−
45
°
=
135
°
;
A
D
=
v
2
→
=
40
,
A
B
=
v
1
→
=
700
.
Ta cần tính độ dài đoạn thẳng BD, đây chính là độ dài vectơ
v
→
.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABD, ta có:
BD2 = AD2 + AB2 – 2 . AD . AB . cosA
= 402 + 7002 – 2 . 40 . 700 . cos135°
≈ 531 197, 98
Suy ra BD ≈ 728,83 (km/h).
Vậy tốc độ mới của máy bay sau khi gặp gió thổi là 728,83 km/h.
Bài 8 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1:
B
A
C
^
=
60
°
. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn
A
D
→
=
7
12
A
C
→
.
a) Tính
A
B
→
.
A
C
→
.
b) Biểu diễn
A
M
→
,
B
D
→
theo
A
B
→
,
A
C
→
.
c) Chứng minh AM ⊥ BD.
Lời giải:
a) Ta có:
A
B
→
.
A
C
→
=
A
B
→
.
A
C
→
.
cos
A
B
→
,
A
C
→
=
A
B
.
A
C
.
c
o
s
B
A
C
^
= 2 . 3 . cos60° = 3.
b) + Do M là trung điểm của BC nên với điểm A ta có:
A
B
→
+
A
C
→
=
2
A
M
→
⇒
A
M
→
=
1
2
A
B
→
+
A
C
→
=
1
2
A
B
→
+
1
2
A
C
→
Do đó:
A
M
→
=
1
2
A
B
→
+
1
2
A
C
→
.
+ Ta có:
B
D
→
=
B
A
→
+
A
D
→
=
−
A
B
→
+
A
D
→
Mà
A
D
→
=
7
12
A
C
→
Nên
B
D
→
=
−
A
B
→
+
7
12
A
C
→
=
−
A
B
→
+
7
12
A
C
→
Vậy
B
D
→
=
−
A
B
→
+
7
12
A
C
→
.
c) Ta có:
A
M
→
.
B
D
→
=
1
2
A
B
→
+
1
2
A
C
→
.
−
A
B
→
+
7
12
A
C
→
=
−
1
2
A
B
→
2
+
7
24
A
B
→
.
A
C
→
−
1
2
A
C
→
.
A
B
→
+
7
24
A
C
→
2
=
−
1
2
.
A
B
2
+
7
24
.
A
B
→
.
A
C
→
−
1
2
A
B
→
.
A
C
→
+
7
24
.
A
C
2
=
−
1
2
.2
2
+
7
24
.3
−
1
2
.3
+
7
24
.3
2
= 0
Suy ra:
A
M
→
.
B
D
→
=
0
.
Vậy AM ⊥ BD.