Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Cánh Diều: tại đây
Bài 1 trang 60 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
a)
y
=
1
x
2
−
x
b)
y
=
x
2
−
4
x
+
3
c)
y
=
1
x
−
1
Lời giải:
a) Hàm số
y
=
1
x
2
−
x
có nghĩa khi x2 – x ≠ 0 ⇔ x(x – 1) ≠ 0 ⇔
x
≠
0
x
≠
1
.
Vậy tập xác định của hàm số là D = {x
∈
ℝ
| x ≠ 0, x ≠ 1} =
ℝ
\
0
;
1
.
b) Hàm số
y
=
x
2
−
4
x
+
3
xác định khi x2 – 4x + 3 ≥ 0 (1).
Ta giải bất phương trình (1), ta thấy tam thức bậc hai x2 – 4x + 3 có hệ số a = 1 > 0, b = – 4, c = 3 và ∆ = (– 4)2 – 4 . 1 . 3 = 4 > 0.
Khi đó tam thức x2 – 4x + 3 có hai nghiệm phân biệt x1 = 1, x2 = 3.
Sử dụng định lý dấu của tam thức bậc hai ta thấy x2 – 4x + 3 không âm khi x ≤ 1 và x ≥ 3.
Do đó nghiệm của bất phương trình (1) là x ≤ 1 và x ≥ 3.
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (– ∞; 1] ∪ [3; + ∞).
c) Hàm số
y
=
1
x
−
1
xác định khi x – 1 > 0 ⇔ x > 1.
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (1; + ∞).
Bài 2 trang 60 Toán lớp 10 Tập 1: Đồ thị ở Hình 36 cho thấy sự phụ thuộc của lượng hàng hóa được sản xuất (cung) (đơn vị: sản phẩm) vào giá bán (đơn vị: triệu đồng/sản phẩm) đối với một loại hàng hóa.
a) Xác định lượng hàng hóa được sản xuất khi mức giá bán 1 sản phẩm là 2 triệu đồng; 4 triệu đồng.
b) Biết nhu cầu thị trường đang cần 600 sản phẩm. Hỏi với mức giá bán là bao nhiêu thì thị trường cân bằng (thị trường cân bằng khi sản lượng cung bằng sản lượng cầu) ?
Lời giải:
Hoàn thiện đồ thị Hình 36, ta được:
a) Quan sát đồ thị hình trên, ta thấy lượng hàng hóa được sản xuất khi mức giá bán 1 sản phẩm là 2 triệu đồng; 4 triệu đồng lần lượt là 300 sản phẩm và 900 sản phẩm.
b) Nhu cầu thị trường đang cần là 600 sản phẩm, với mức giá bán là 3 triệu đồng/sản phẩm thì thị trường cân bằng.
Bài 3 trang 60 Toán lớp 10 Tập 1: Một nhà cung cấp dịch vụ Internet đưa ra hai gói khuyến mại cho người dùng như sau:
Gói A: Giá cước 190 000 đồng/tháng.
Nếu trả tiền cước ngay 6 tháng thì sẽ được tặng thêm 1 tháng.
Nếu trả tiền cước ngay 12 tháng thì sẽ được tặng thêm 2 tháng.
Gói B: Giá cước 189 000 đồng/tháng.
Nếu trả tiền cước ngay 7 tháng thì số tiền phải trả cho 7 tháng đó là 1 134 000 đồng.
Nếu trả tiền cước ngay 15 tháng thì số tiền phải trả cho 15 tháng đó là 2 268 000 đồng.
Giả sử số tháng sử dụng Internet là x (x nguyên dương).
a) Hãy lập các hàm số thể hiện số tiền phải trả ít nhất theo mỗi gói A, B nếu thời gian dùng không quá 15 tháng.
b) Nếu gia đình bạn Minh dùng 15 tháng thì nên chọn gói nào?
Lời giải:
a) Giả sử số tháng sử dụng Internet là x (x nguyên dương, x ≤ 15).
Gọi y (đồng, y > 0) là số tiền phải trả khi dùng Internet.
Theo gói A, ta có:
+ Nếu x ≤ 6: y = 190 000.x
+ Nếu 6 < x ≤ 13: y = 190 000 . (x – 1)
+ Nếu 13 < x ≤ 15: y = 190 000 . (x – 2)
Vậy ta có hàm số thể hiện số tiền ít nhất phải trả theo gói A là:
y
=
190
000
.
x
k
h
i
x
≤
6
190
000
.
x
−
1
k
h
i
6
<
x
≤
13
190
000.
x
−
2
k
h
i
13
<
x
≤
15
.
Theo gói B, ta có:
+ Nếu x < 7: y = 189 000 . x
+ Nếu x = 7: y = 1 134 000
+ Nếu 7 < x < 13: y = 1 134 000 + (x – 7) . 189 000
+ Nếu 13 ≤ x ≤ 15: y = 2 268 000
Vậy ta có hàm số thể hiện số tiền ít nhất phải trả theo gói B là:
y
=
189
000.
x
k
h
i
x
<
7
1
134
000
k
h
i
x
=
7
1
134
000
+
x
−
7
.189
000
k
h
i
7
<
x
<
13
2
268
000
k
h
i
13
≤
x
≤
15
.
b) Theo gói A, nếu gia đình bạn Minh dùng 15 tháng Internet thì nên số tiền cước trả ít nhất sẽ là theo cách chọn 12 tháng thanh toán 1 lần và được tặng 2 tháng, nghĩa là được dùng 14 tháng và mất phí theo tháng thêm 1 tháng nữa, tức là số tiền phải trả cho 15 tháng sử dụng là: 190 000 . 12 + 190 000 = 2 470 000 (đồng).
Theo gói B, nếu trả cả 15 tháng 1 lúc thì gia đình bạn Minh phải trả số tiền ít nhất là 2 268 000 đồng.
Vì 2 268 000 < 2 470 000.
Vậy gia đình bạn Minh nếu dùng 15 tháng thì nên chọn gói B và trả tiền cước ngay 15 tháng.
Bài 4 trang 60, 61 Toán lớp 10 Tập 1: Quan sát đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c ở Hình 37a và Hình 37b rồi nêu:
a) Dấu của hệ số a;
b) Tọa độ đỉnh và trục đối xứng;
c) Khoảng đồng biến;
d) Khoảng nghịch biến;
e) Khoảng giá trị x mà y > 0;
g) Khoảng giá trị x mà y ≤ 0.
Lời giải:
* Hình 37a: Quan sát đồ thị ta thấy:
a) Bề lõm của đồ thị hướng lên trên nên hệ số a > 0 hay hệ số a mang dấu “+”.
b) Tọa độ đỉnh I(1; – 1), trục đối xứng x = 1.
c) Do hệ số a > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (1; + ∞).
d) Hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; 1).
e) Phần parabol nằm phía trên trục hoành tương ứng với các khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞) nên hàm số y > 0 trên các khoảng giá trị của x là (– ∞; 0) ∪ (2; + ∞).
g) Phần parabol phía dưới trục hoành tương ứng với khoảng (0; 2) nên hàm số y < 0 trên (0; 2). Vậy khoảng giá trị của x mà y ≤ 0 là đoạn [0; 2].
* Hình 37b: Quan sát đồ thị ta thấy,
a) Bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới nên a < 0 hay hệ số a mang dấu “–”.
b) Tọa độ đỉnh I(1; 4), trục đối xứng x = 1.
c) Do hệ số a < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 1).
d) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
e) Phần parabol nằm phía trên trục hoành tương ứng với khoảng (– 1; 3) nên khoảng giá trị của x là (– 1; 3) thì y > 0.
g) Phần parabol nằm phía dưới trục hoành tương ứng với các khoảng (– ∞; – 1) và (3; + ∞) nên khoảng giá trị của x để y ≤ 0 là (– ∞; – 1] ∪ [3; + ∞).
Bài 5 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:
a) y = x2 – 3x – 4;
b) y = x2 + 2x + 1;
c) y = – x2 + 2x – 2.
Lời giải:
a) y = x2 – 3x – 4
Ta có: hệ số a = 1 > 0, b = – 3, c = – 4, ∆ = (– 3)2 – 4 . 1 . (– 4) = 25 > 0.
– Parabol có bề lõm hướng lên trên.
– Tọa độ đỉnh I
3
2
;
−
25
4
.
– Trục đối xứng
x
=
3
2
.
– Giao của parabol với trục tung là A(0; – 4).
– Giao với trục hoành tại các điểm B(– 1; 0) và C(4; 0).
– Điểm đối xứng với điểm A(0; – 4) qua trục đối xứng
x
=
3
2
là điểm D(3; – 4).
Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị của hàm số y = x2 – 3x – 4 như hình dưới.
b) y = x2 + 2x + 1
Ta có hệ số a = 1 > 0, b = 2, c = 1, ∆ = 22 – 4 . 1 . 1 = 0.
– Parabol có bề lõm hướng lên trên.
– Tọa độ đỉnh I(– 1; 0).
– Trục đối xứng x = – 1.
– Giao của parabol với trục tung A(0; 1).
– Giao của parabol với trục hoành chính là đỉnh I(– 1; 0).
– Điểm đối xứng với điểm A(0; 1) qua trục đối xứng x = – 1 là điểm B(– 2; 1).
Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = x2 + 2x + 1 như hình dưới.
c) y = – x2 + 2x – 2
Ta có hệ số a = – 1 < 0, b = 2, c = – 2 và ∆ = 22 – 4 . (– 1) . (– 2) = – 4.
– Đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới.
– Tọa độ đỉnh I(1; – 1).
– Trục đối xứng x = 1.
– Giao của parabol với trục tung là A(0; – 2). Điểm đối xứng với A qua trục đối xứng x = 1 là B(2; – 2).
– Parabol không cắt trục hoành.
– Lấy điểm C(3; – 5) thuộc đồ thị hàm số, ta có điểm đối xứng với điểm C qua trục x = 1 là điểm D(– 1; – 5).
Vẽ đồ thị đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = – x2 + 2x – 2 như hình vẽ dưới.
Bài 6 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Lập bảng xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:
a) f(x) = – 3x2 + 4x – 1;
b) f(x) = x2 – x – 12;
c) f(x) = 16x2 + 24x + 9.
Lời giải:
a) Tam thức bậc hai f(x) = – 3x2 + 4x – 1 có hệ số a = – 3 < 0, b = 4, c = – 1 và ∆ = 42 – 4 . (– 3) . (– 1) = 4 > 0.
Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 =
1
3
và x2 = 1.
Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta lập được bảng xét dấu như sau:
b) Tam thức bậc hai f(x) = x2 – x – 12 có hệ số a = 1 > 0, b = – 1, c = – 12 và ∆ = (– 1)2 – 4 . 1 . (– 12) = 49 > 0.
Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = – 3 và x2 = 4.
Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta lập được bảng xét dấu sau:
c) Tam thức bậc hai f(x) = 16x2 + 24x + 9 có hệ số a = 16 > 0, b = 24, c = 9, ∆ = 242 – 4 . 16 . 9 = 0.
Do đó tam thức bậc hai có nghiệm kép x =
−
3
4
.
Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta có bảng xét dấu sau:
Bài 7 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Giải các bất phương trình sau:
a) 2x2 + 3x + 1 ≥ 0;
b) – 3x2 + x + 1 > 0;
c) 4x2 + 4x + 1 ≥ 0;
d) – 16x2 + 8x – 1 < 0;
e) 2x2 + x + 3 < 0;
g) – 3x2 + 4x – 5 < 0.
Lời giải:
a) 2x2 + 3x + 1 ≥ 0
Tam thức bậc hai 2x2 + 3x + 1 có ∆ = 32 – 4 . 2 . 1 = 1 > 0 nên tam thức này có hai nghiệm x1 = – 1, x2 =
−
1
2
và có hệ số a = 2 > 0.
Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức 2x2 + 3x + 1 không âm là
−
∞
;
−
1
∪
−
1
2
;
+
∞
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2x2 + 3x + 1 ≥ 0 là
−
∞
;
−
1
∪
−
1
2
;
+
∞
.
b) – 3x2 + x + 1 > 0
Tam thức bậc hai – 3x2 + x + 1 có ∆ = 12 – 4 . (– 3) . 1 = 13 > 0 nên tam thức này có hai nghiệm
x
1
=
1
−
13
6
,
x
2
=
1
+
13
6
và hệ số a = – 3 < 0.
Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức – 3x2 + x + 1 mang dấu “+” là
1
−
13
6
;
1
+
13
6
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 3x2 + x + 1 là
1
−
13
6
;
1
+
13
6
.
c) 4x2 + 4x + 1 ≥ 0
Tam thức bậc hai 4x2 + 4x + 1 có ∆ = 42 – 4 . 4 . 1 = 0 nên tam thức này có nghiệm kép là x =
−
1
2
và hệ số a = 4 > 0.
Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy 4x2 + 4x + 1 > 0 với mọi
x
∈
ℝ
\
−
1
2
và 4x2 + 4x + 1 = 0 tại x =
−
1
2
.
Do đó bất phương trình 4x2 + 4x + 1 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ℝ.
d) – 16x2 + 8x – 1 < 0
Tam thức bậc hai – 16x2 + 8x – 1 < 0 có ∆ = 82 – 4 . (– 16) . (– 1) = 0 nên tam thức có nghiệm kép là x =
1
4
và hệ số a = – 16 < 0.
Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức – 16x2 + 8x – 1 mang dấu “–” là
ℝ
\
1
4
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 16x2 + 8x – 1 là
ℝ
\
1
4
.
e) 2x2 + x + 3 < 0
Tam thức bậc hai 2x2 + x + 3 có ∆ = 12 – 4 . 2 . 3 = – 23 < 0 và hệ số a = 2 > 0.
Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy 2x2 + x + 3 > 0 (cùng dấu với a) với mọi
x
∈
ℝ
.
Vậy bất phương trình 2x2 + x + 3 < 0 vô nghiệm.
g) – 3x2 + 4x – 5 < 0
Tam thức bậc hai – 3x2 + 4x – 5 có ∆ = 42 – 4 . (– 3) . (– 5) = – 44 < 0 và hệ số a = – 3.
Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy – 3x2 + 4x – 5 < 0 (cùng dấu với a) với mọi
x
∈
ℝ
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 3x2 + 4x – 5 < 0 là
ℝ
.
Bài 8 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Giải các phương trình sau:
a)
x
+
2
=
x
b)
2
x
2
+
3
x
−
2
=
x
2
+
x
+
6
;
c)
2
x
2
+
3
x
−
1
=
x
+
3
.
Lời giải:
a)
x
+
2
=
x
(1)
Điều kiện: x ≥ 0
Bình phương hai vế của (1) ta được: x + 2 = x2
⇔ x2 – x – 2 = 0
⇔
x
=
−
1
x
=
2
Trong hai giá trị trên ta thấy x = 2 thỏa mãn x ≥ 0.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.
b)
2
x
2
+
3
x
−
2
=
x
2
+
x
+
6
(2)
Bình phương hai vế của (2) ta được: 2x2 + 3x – 2 = x2 + x + 6
⇔ 2x2 – x2 + 3x – x – 2 – 6 = 0
⇔ x2 + 2x – 8 = 0
⇔
x
=
−
4
x
=
2
Thử lại cả hai giá trị trên vào phương trình (2) ta thấy cả hai giá trị x = 2 và x = – 4 đều thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2 và x = – 4.
c)
2
x
2
+
3
x
−
1
=
x
+
3
(3)
Trước hết ta giải bất phương trình x + 3 > 0 ⇔ x > – 3.
Bình phương hai vế của (3) ta được: 2x2 + 3x – 1 = (x + 3)2
⇔ 2x2 + 3x – 1 = x2 + 6x + 9
⇔ 2x2 – x2 + 3x – 6x – 1 – 9 = 0
⇔ x2 – 3x – 10 = 0
⇔
x
=
−
2
x
=
5
Ta thấy cả hai giá trị trên đều thỏa mãn x > – 3.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = – 2 và x = 5.
Bài 9 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Một kĩ sư thiết kế đường dây điện từ vị trí A đến vị trí S và từ vị trí S đến vị trí C trên cù lao như Hình 38. Tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ A đến S và từ S đến C lần lượt là 3 triệu đồng và 5 triệu đồng. Biết tổng số tiền công là 16 triệu đồng. Tính tổng số ki-lô-mét đường dây điện đã thiết kế.
Lời giải:
Gọi số ki-lô-mét đường dây điện từ vị trí A đến vị trí S là x (km) (x > 0).
Khi đó trên hình vẽ ta có: SA = x km, AB = 4 km, BC = 1 km.
Ta thấy AB = SA + SB, suy ra SB = AB – SA = 4 – x (km). (do SB > 0 nên 4 – x > 0 hay x < 4)
Lại có tam giác SBC vuông tại B nên theo định lý Pythagore ta có:
SC2 = BC2 + BS2 = 12 + (4 – x)2 = 1 + 16 – 8x + x2 = x2 – 8x + 17
Suy ra: SC =
x
2
−
8
x
+
17
(km)
Vì tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ A đến S là 3 triệu đồng nên số tiền để thiết kế toàn bộ đường dây từ A đến S là: 3x (triệu đồng).
Tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ S đến C là 5 triệu đồng nên số tiền để thiết kế toàn bộ đường dây từ S đến C là:
5
x
2
−
8
x
+
17
(triệu đồng).
Tổng số tiền công thiết kế toàn bộ đường dây từ A đến S và từ S đến C là 16 triệu đồng nên ta có phương trình:
3
x
+
5
x
2
−
8
x
+
17
=
16
.
Ta cần giải phương trình
3
x
+
5
x
2
−
8
x
+
17
=
16
(1).
Ta có (1)
⇔
5
x
2
−
8
x
+
17
=
16
−
3
x
(2).
Trước hết ta giải bất phương trình: 16 – 3x > 0 ⇔ x <
16
3
;.
Mà 0 < x < 4 nên điều kiện của phương trình (1) là 0 < x < 4.
Bình phương hai vế của (2) ta được: 25.(x2 – 8x + 17) = (16 – 3x)2
⇔ 25x2 – 200x + 425 = 256 – 96x + 9x2
⇔ 16x2 – 104x + 169 = 0
⇔ x = 3,25 (thỏa mãn điều kiện).
Do đó số ki-lô-mét đường dây từ vị trí A đến S là 3,25 km.
Số ki-lô-mét đường dây từ vị trí S đến C là:
x
2
−
8
x
+
17
=
3
,
25
2
−
8.3
,
25
+
17
=
1
,
25
(km).
Vậy tổng số ki-lô-mét đường dây đã thiết kế là 3,25 + 1,25 = 4,5 (km).