Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Chân Trời Sáng Tạo: tại đây
Hoạt động khởi động trang 61 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Để mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn cho góc từ 0° đến 180° ta thực hiện như sau:
Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
x
O
M
^
=
α
. Gọi (x0; y0) là tọa độ của điểm M, ta có:
+ sin của góc α là tung độ y0 của điểm M, được kí hiệu là sinα;
+ côsin của góc α là hoành độ x0 của điểm M, được kí hiệu là cosα;
+ tang của α là tỉ số
y
0
x
0
(x0 ≠ 0), được kí hiệu là tanα =
y
0
x
0
;
+ côtang của α là tỉ số
x
0
y
0
(y0 ≠ 0), được kí hiệu là cotα =
x
0
y
0
.
Hoạt động khám phá 1 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1:
x
O
M
^
=
α
. Giả sử điểm M có tọa độ (x0; y0). Áp dụng cách tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng:
sinα = y0; cosα = x0 ; tanα =
y
0
x
0
; cotα =
x
0
y
0
Lời giải:
Trong tam giác HOM vuông tại H có cạnh huyền OM = 1:
Ta có, sinα = sin
H
O
M
^
=
M
H
O
M
=
y
0
1
=
y
0
;
cosα = cos
H
O
M
^
=
O
H
O
M
=
x
0
1
=
x
0
;
tanα =
M
H
O
H
=
y
0
x
0
;
cotα =
O
H
M
H
=
x
0
y
0
.
Vậy sinα = y0; cosα = x0 ; tanα =
y
0
x
0
; cotα =
x
0
y
0
.
Thực hành 1 trang 62 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
x
O
M
^
=
135
o
. Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.
Vì
x
O
M
^
=
135
o
nên
M
O
N
^
=
45
o
,
M
O
P
^
=
45
o
.
Tam giác MOP là tam giác vuông cân với cạnh huyền OM = 1.
cos
M
O
P
^
= cos45° =
O
P
O
M
=
O
P
1
=
O
P
Mà cos45° =
2
2
Do đó: OP =
2
2
Tam giác MON vuông tại N có góc
M
O
N
^
=
45
o
và cạnh huyền OM = 1
cos
M
O
N
^
= cos 45° =
O
N
O
M
=
O
N
1
=
O
N
Mà cos45° =
2
2
. Do đó: ON =
2
2
.
Mặt khác, do điểm M nằm bên trái trục tung nên
M
−
2
2
;
2
2
.
Vậy theo định nghĩa ta có:
sin135° =
2
2
;
cos135° =
–
2
2
;
tan135° = – 1;
cot135° = – 1.
Hoạt động khám phá 2 trang 62 Toán lớp 10 Tập 1:
x
O
M
^
và
x
O
N
^
Lời giải:
Gọi đường kính của nửa đường tròn đơn vị là AB như hình dưới.
Do NM // Ox nên hai cung bị chắn giữa dây cung NM và đường kính AB bằng nhau, tức là
A
N
⏜
=
M
B
⏜
⇒
N
O
A
^
=
x
O
M
^
=
α
(hai góc ở tâm bằng nhau).
Mặt khác
x
O
N
^
+
N
O
A
^
= 180° (hai góc kề bù).
⇒
x
O
N
^
+
x
O
M
^
= 180°.
Vậy
x
O
N
^
+
x
O
M
^
= 180°.
Thực hành 2 trang 63 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Ta có sin120° = sin(180° – 60°) = sin60° =
3
2
;
cos150° = cos(180° – 30°) = – cos30° =
–
3
2
;
cot135° = cot(180° – 45°) = – cot45° = –1.
Vậy sin120° =
3
2
; cos150° = –
3
2
; cot135° = – 1.
Vận dụng 1 trang 63 Toán lớp 10 Tập 1:
1
2
, tìm góc α (0° ≤ α ≤ 180°) bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị.
Lời giải:
Trên trục Oy của nửa đường tròn đơn vị lấy điểm
H
0
;
1
2
.
Từ điểm H kẻ đường thẳng song song với trục Ox, cắt nửa đường tròn tại hai điểm M và M’.
Ta có góc α cần tìm là :
x
O
M
^
và
x
O
M
‘
^
.
Với α =
x
O
M
^
và sinα =
1
2
⇒ α
1
2
= 30°.
Mặt khác sin30° = sin(180° – 30°), tức là sin30° = sin150°.
Suy ra
x
O
M
‘
^
=
150
o
.
Vậy α = 30° hoặc α = 150°.
Thực hành 3 trang 63 Toán lớp 10 Tập 1:
A = sin150° + tan135° + cot45°;
B = 2cos30° – 3tan150° + cot135°.
Lời giải:
Ta có A = sin150° + tan135° + cot45° =
1
2
+
(
−
1
)
+
1
=
1
2
B = 2cos30° – 3tan150° + cot135° =
2.
3
2
−
3.
−
3
3
+
(
−
1
)
=
2
3
−
1
Vậy A =
1
2
; B =
2
3
−
1
Vận dụng 2 trang 64 Toán lớp 10 Tập 1:
a) sinα =
3
2
;
b) cosα =
−
2
2
;
c) tanα = – 1;
d) cotα =
−
3
.
Lời giải:
Từ bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt ta có:
a) sinα =
3
2
⇒ α = 60° hoặc α = 120°.
Vậy α = 60° hoặc α = 120°.
b) cosα =
−
2
2
⇒ α = 135°.
Vậy α = 135°.
c) tanα = –1 ⇒ α = 135°.
Vậy α = 135°.
d) cotα =
−
3
⇒ α = 150°.
Vậy α = 150°.
Thực hành 4 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1:
a) Tính cos80°43’51”; tan147°12’25”; cot99°9’19”.
b) Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°), biết cosα = – 0,723.
Lời giải:
Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được:
a) cos80°43’51” ≈ 0,161072728
tan147°12’25” ≈ – 0,644284494
Để tính cot99°9’19” ta tính tan99°9’19” trước.
Ta có: tan99°9’19” ≈ – 6,204869911
Suy ra: cot99°9’19” =
1
t
a
n
99
°
9
‘
19
”
≈ – 0,1611637334.
b) α ≈ 136°18’10”.
Bài 1 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1:
1
2
; sin60° =
3
2
; tan45° = 1. Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của E = 2cos30° + sin150° + tan135°.
Lời giải:
Ta có E = 2cos30° + sin150° + tan135°
= 2sin(90° – 30°) + sin(180° – 30°) + tan(180° – 45°)
= 2sin60° + sin30° – tan 45° =
2.
3
2
+
1
2
−
1
=
2
3
−
1
2
Bài 2 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Chứng minh rằng:
a) sin20° = sin160°;
b) cos50° = – cos130°.
Lời giải:
a) Ta có sin20° = sin(180° – 20°) = sin160° (hai góc bù nhau).
Vậy sin20° = sin160°.
b) Ta có: cos50° = – cos(180° – 50°) = – cos130° (hai góc bù nhau).
Vậy cos50° = – cos 130°.
Bài 3 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:
a) cosα =
−
2
2
;
b) sinα = 0;
c) tanα = 1;
d) cotα không xác định.
Lời giải:
Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
a) cosα =
−
2
2
⇒ α = 135°;
Vậy α = 135°.
b) sinα = 0 ⇒ α = 0° hoặc α = 180°;
Vậy α = 0° hoặc α = 180°.
c) tanα = 1 ⇒ α = 45°;
Vậy α = 45°.
d) cotα không xác định ⇒ sinα = 0 ⇒ α = 0° hoặc α = 180°;
Vậy α = 0° hoặc α = 180°.
Bài 4 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) sinA = sin(B + C);
b) cosA = – cos(B + C).
Lời giải:
a) Trong tam giác ABC ta có:
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
o
⇒
B
^
+
C
^
=
180
o
−
A
^
.
Khi đó sinA = sin(180° – A) = sin(B + C).
Vậy sinA = sin(B + C).
b) cosA = – cos(180° – A) = – cos(B + C).
Vậy cosA = – cos(B + C).
Bài 5 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta đều có:
a) cos2α + sin2α = 1;
b) tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°).
c) 1 + tan2α =
1
cos
2
α
(α ≠ 90°);
d) 1 + cot2 α =
1
sin
2
α
(0° < α < 180°).
Lời giải:
a) Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x0; y0) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
x
O
M
^
=
α
.
Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác OPM vuông tại P có cạnh huyền OM = 1.
Ta có: OP2 + MP2 = OM2
Mà OP = |x0| ; MP = OQ = y0 và OM = 1
Suy ra : |x0|2 + y02 = 1 tức là x02 + y02 = 1 (vì |x0|2 = x02)
Mặt khác, theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc ta có:
sinα = y0
cosα = x0
Suy ra cos2 α + sin 2 α = x02 + y02 = 1
Vậy sin 2 α + cos2 α = 1.
b) Với mỗi góc α (0° < α < 180°, α ≠ 90°), gọi M(x0; y0) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
x
O
M
^
=
α
.
Khi đó tanα =
y
0
x
0
; cotα =
x
0
y
0
;
Suy ra tanα . cotα =
y
0
x
0
.
x
0
y
0
= 1.
Vậy tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°).
c) Với α ≠ 90° ; tanα = và x02 + y02 = sin 2α + cos2α = 1 ; cosα = x0 ⇒ cos2α = x02.
Ta có: 1 + tan2α =
1
+
y
0
x
0
2
=
1
+
y
0
2
x
2
0
=
x
0
2
+
y
0
2
x
2
0
=
1
x
2
0
=
1
cos
2
α
Vậy 1 + tan2α =
1
cos
2
α
(α ≠ 90°).
d) Với 0° < α < 180° ta có cotα =
x
0
y
0
và sinα = y0 ⇒ sin2 α = y02.
Ta có : 1 + cot2α =
1
+
x
0
y
0
2
=
1
+
x
0
2
y
0
2
=
x
0
2
+
y
0
2
y
0
2
=
1
y
0
2
=
1
sin
2
α
Vậy 1 + cot2 α =
1
sin
2
α
(0o < α < 180°).
Bài 6 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1:
−
2
2
. Tính giá trị của biểu thức A = 2sin2α + 5cos2α .
Lời giải:
Ta có A = 2sin2α + 5cos2α
= 2sin2α + 2cos2α + 3cos2α
= 2(cos2α + sin2α ) + 3cos2α
= 2 . 1 + 3.
−
2
2
2
= 2 + 3.
1
2
=
7
2
Vậy A =
7
2
Bài 7 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:
a) Tính: sin168°45’33”; cos17°22’35”; tan156°26’39”; cot 56°36’42”.
b) Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°) trong các trường hợp sau:
i) sinα = 0,862;
ii) cosα = – 0,567;
iii) tanα = 0,334.
Lời giải:
a) Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:
sin168°45’33” ≈ 0,1949334051;
cos17°22’35” ≈ 0,9543634797;
tan156°26’39” ≈ – 0,4359715781;
cot 56°36’42” ≈ 0,6590863967.
b)
i) sinα = 0,862 ⇒ α ≈ 59°32’31”.
ii) cosα = – 0,567 ⇒ α ≈ 124°32’29”.
iii) tanα = 0,334 ⇒ α ≈ 18°28’10”.