Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Chân Trời Sáng Tạo: tại đây
Hoạt động khởi động trang 65 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Quan sát hai tam giác trên, ta thấy tam giác thứ nhất là tam giác vuông nên ta có thể dùng định lí Pythagoras để tìm độ dài cạnh chưa biết.
Ta có tam giác ABC vuông tại A nên BC2 = AB2 + AC2 = 42 + 32 = 25 ⇒ BC = 5.
Tam giác thứ hai ta chưa biết cách tìm.
Sau khi học xong bài 2. Định lí côsin và định lí sin ta sẽ giải bài này như sau:
– Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 +AC2 – 2.AB.AC.cosA = 42 +32 – 2.4.3.cos90° = 25;
⇒ BC =
25
= 5.
Vậy BC = 5.
– Áp dụng định lí côsin cho tam giác MNP ta có:
NP2 = MN2 + MP2 – 2.MN.MP.cosM = 42 + 32 – 2.4.3.cos60° = 13;
⇒ NP =
13
≈ 3,6.
Vậy NP ≈ 3,6.
Hoạt động khám phá 1 trang 66 Toán lớp 10 Tập 1:
a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và
C
^
≥
B
^
. Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.
Hãy thay ? bằng chữ cái thích hợp để chứng minh công thức a2 = b2 + c2 – 2bccosA theo gợi ý sau:
Xét tam giác vuông BCD, ta có: a2 = d2 + (c – x)2 = d2 + x2 + c2 – 2xc. (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: b2 = d2 + x2 ⇒ d2 = b2 – x2 (2)
cosA =
?
b
⇒ ? = bcosA. (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: a2 = b2 + c2 – 2bccosA.
Lưu ý : Nếu
B
^
>
C
^
thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.
b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:
a2 = b2 + c2 – 2bccosA.
Lưu ý: Vì A tù nên cosA =
−
x
b
c) Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ công thức a2 = b2 + c2 – 2bccosA có thể viết là a2 = b2 + c2.
Lời giải:
a)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: cosA =
A
D
A
C
=
x
b
⇒ x = bcosA.
Vậy lời giải đúng:
Xét tam giác vuông BCD, ta có: a2 = d2 + (c – x)2 = d2 + x2 + c2 – 2xc. (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: b2 = d2 + x2 ⇒ d2 = b2 – x2 (2)
cosA =
x
b
⇒ x = bcosA. (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có : a2 = b2 + c2 – 2bccosA.
b) Với tam giác ABC có góc A tù :
Xét tam giác vuông BCD, ta có: a2 = d2 + (x + c)2 = d2 + x2 + c2 + 2xc. (4)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: b2 = d2 + x2 ⇒ d2 = b2 – x2 (5)
cos
C
A
D
^
=
A
D
A
C
=
x
b
. Do
C
A
D
^
+
C
A
B
^
=
180
o
⇒
C
A
B
^
=
180
o
−
C
A
D
^
.
Suy ra: cos
C
A
B
^
= cos
(
180
o
−
C
A
D
^
)
= – cos
C
A
D
^
=
−
x
b
⇒ cos
C
A
B
^
=
−
x
b
⇒ x = – bcos
C
A
B
^
, tức là x = – bcosA (6)
Thay (5) và (6) vào (4), ta được : a2 = b2 + c2 – 2bccosA.
Vậy với tam giác ABC có góc A tù ta cũng có : a2 = b2 + c2 – 2bccosA.
c) Với tam giác ABC vuông tại A thì cosA = cos90° = 0.
Suy ra a2 = b2 + c2 – 2bccosA = b2 + c2 – 2bc.0 = b2 + c2.
Vậy a2 = b2 + c2.
Thực hành 1 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Áp dụng định lý côsin cho tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA = 142 + 182 – 2.14.18. cos62° ≈ 283,4.
Suy ra BC ≈ 16,8.
Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:
cosB =
A
B
2
+
B
C
2
−
A
C
2
2.
A
B
.
B
C
=
14
2
+
16
,
8
2
−
18
2
2.14.16
,
8
≈ 0,328.
Suy ra
B
^
≈ 71°.
Mặt khác trong tam giác ABC ta có:
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
o
⇒
C
^
=
180
o
−
(
B
^
+
C
^
)
=
180
o
−
(
71
o
+
62
o
)
=
47
o
Vậy BC ≈ 16,8;
B
^
≈ 71°;
C
^
=
47
o
Vận dụng 1 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Gọi A là điểm người đứng quan sát, B và C lần lượt là hai đầu của hồ nước.
Khi đó AB = 800 m; AC = 900 m;
A
^
=
70
o
.
Tính khoảng cách giữa hai đầu hồ nước chính là tính độ dài cạnh BC của tam giác ABC.
Áp dụng định lý côsin cho tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA = 8002 + 9002 – 2.800.900. cos70° ≈ 957 491
Suy ra BC ≈ 978,5 (m).
Vậy khoảng cách giữa hai đầu hồ nước khoảng 978,5 m.
Hoạt động khám phá 2 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1:
a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có BC = a, AC = b; AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Vẽ đường kính BD.
i) Tính sin
B
D
C
^
theo a và R.
ii) Tìm mối liên hệ giữa hai góc
B
A
C
^
và
B
D
C
^
. Từ đó chứng minh rằng 2R =
a
sin
A
.
b) Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và so sánh a với 2R để chứng tỏ ta vẫn có công thức 2R =
a
sin
A
.
Lời giải:
a)
i) Do BD là đường kính của đường tròn nên tam giác BCD vuông tại C.
⇒ sin
B
D
C
^
=
B
C
B
D
=
a
2
R
Vậy sin
B
D
C
^
=
a
2
R
.
ii)
+) Trường hợp tam giác ABC có góc A nhọn:
Hai góc
B
A
C
^
và
B
D
C
^
là hai góc nội tiếp cùng chắn
B
C
⏜
, do đó
B
A
C
^
=
B
D
C
^
Suy ra sin
B
A
C
^
= sin
B
D
C
^
=
a
2
R
⇒ 2R =
a
sin
B
A
C
^
, tức là 2R =
a
sin
A
Vậy 2R =
a
sin
A
+) Trường hợp tam giác ABC có góc A tù:
Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn tâm O nên ta có
B
A
C
^
+
B
D
C
^
=180°;
⇒
B
D
C
^
= 180° –
B
A
C
^
;
⇒ sin
B
D
C
^
= sin(180o –
B
A
C
^
)= sin
B
A
C
^
;
⇒ sin
B
A
C
^
= sin
B
D
C
^
=
a
2
R
⇒ 2R =
a
sin
B
A
C
^
, tức là 2R =
a
sin
A
Vậy 2R =
a
sin
A
.
b) Với tam giác ABC vuông tại A. Khi đó BC sẽ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên BC = 2R.
⇒ sinA = sin90° = 1 và
a
sin
A
=
B
C
1
=
B
C
=
2
R
.
Vậy tam giác ABC vuông tại A thì ta vẫn có công thức 2R =
a
sin
A
.
Thực hành 2 trang 69 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Trong tam giác MNP ta có :
M
^
+
N
^
+
P
^
=
180
o
⇒
P
^
=
180
o
−
(
M
^
+
N
^
)
=
180
o
−
(
34
o
+
112
o
)
=
34
o
Suy ra
M
^
=
P
^
=
34
o
nên tam giác MNP cân tại N.
Do đó MN = NP = 22.
Áp dụng định lí sin cho tam giác MNP ta có :
M
P
sin
N
=
N
P
sin
M
=
M
N
sin
P
.
Suy ra
M
P
sin
112
o
=
22
sin
34
o
⇒
M
P
=
22.
sin
112
o
sin
34
o
≈
36
,
5
.
Vậy các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP là :
P
^
=
34
o
; MN = 22 ; MP ≈ 36,5.
Vận dụng 2 trang 69 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Đặt tên các vị trí bằng các điểm như hình vẽ sau :
Để dập tắt đám cháy nhanh hơn thì nước phải lấy từ bồn gần vị trí đám cháy hơn.Vì vậy, ta cần so sánh BC và DC.
Xét tam giác ADC có:
C
A
D
^
+
A
D
C
^
+
A
C
D
^
=
180
o
⇒
A
C
D
^
=
180
o
−
(
C
A
D
^
+
A
D
C
^
)
=
180
o
−
(
35
o
+
125
o
)
=
20
o
Áp dụng định lí sin cho tam giác ADC ta có :
D
C
sin
C
A
D
^
=
A
C
sin
A
D
C
^
=
A
D
sin
A
C
D
^
⇒
D
C
sin
35
o
=
A
C
sin
125
o
=
900
sin
20
o
⇒ AC =
900.
sin
125
o
sin
20
o
≈ 2 156 m; DC =
900.
sin
35
o
sin
20
o
≈ 1 509 m.
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos
= 1 8002 + 2 1562 – 2. 1800. 2156 .cos34° ≈ 1 453 678.
⇒ BC ≈ 1 206 m.
Từ DC ≈ 1 509 m và BC ≈ 1 206 m suy ra DC > BC.
Vậy để dập tắt đám cháy nhanh hơn thì nước phải lấy từ bồn B.
Hoạt động khám phá 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1:
a) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo a và ha.
b) Tính ha theo b và sinC.
c) Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức
S
=
1
2
a
b
sin
C
.
d) Dùng định lí sin và kết quả ở câu c) để chứng minh công thức
S
=
a
b
c
4
R
.
Lời giải:
a) Ta có công thức tính diện tích tam giác ABC có độ dài cạnh là a và đường cao tương ứng ha là:
S
=
1
2
a
.
h
a
.
b) Trong tam giác vuông AHC ta có sinC =
A
H
A
C
=
h
a
b
⇒ ha = bsinC.
c) Từ
S
=
1
2
a
.
h
a
và ha = bsinC ⇒
S
=
1
2
a
.
h
a
=
1
2
a
b
sin
C
.
Vậy
S
=
1
2
a
b
sin
C
.
d) Từ định lí sin ta có :
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
=
2
R
⇒ sinC =
c
2
R
.
⇒
S
=
1
2
a
b
sin
C
=
1
2
a
b
c
2
R
=
a
b
c
4
R
.
Vậy
S
=
a
b
c
4
R
Hoạt động khám phá 4 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1:
a) Tính diện tích các tam giác IBC, IAC, IAB theo r và a, b, c.
b) Dùng kết quả trên để chứng minh công thức tính diện tích tam giác ABC:
S
=
r
(
a
+
b
+
c
)
2
Lời giải:
a) Diện tích tam giác AIB là
S
A
I
B
=
1
2
⋅
r
⋅
A
B
=
1
2
⋅
r
⋅
c
Diện tích tam giác AIC là
S
A
I
C
=
1
2
⋅
r
⋅
A
C
=
1
2
⋅
r
⋅
b
Diện tích tam giác BIC là
S
B
I
C
=
1
2
⋅
r
⋅
B
C
=
1
2
⋅
r
⋅
a
b) Diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích của ba tam giác AIB, AIC, BIC.
S
=
1
2
r
a
+
1
2
r
b
+
1
2
r
c
=
1
2
r
(
a
+
b
+
c
)
=
r
(
a
+
b
+
c
)
2
Vậy diện tích tam giác ABC là:
S
=
r
(
a
+
b
+
c
)
2
.
Thực hành 3 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1:
a) Các cạnh b = 14, c = 35 và
A
^
=
60
o
.
b) Các cạnh a = 4, b = 5, c = 3.
Lời giải:
a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC ta có:
S
=
1
2
b
c
sin
A
=
1
2
.14.35
sin
60
o
=
1
2
.14.35.
3
2
=
245
3
2
≈
212
,
2
Vậy diện tích tam giác ABC là 212,2 (đơn vị diện tích).
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
a2 = b2 + c2 – 2bccosA = 142 + 352 – 2.14.35.cos60° = 931
⇒
a
=
931
Áp dụng định lí sin ta có:
a
sin
A
=
2
R
⇒
R
=
a
2
sin
A
=
931
2.
sin
60
o
≈
17
,
6
Vậy diện tích tam giác ABC là 212,2 (đơn vị diện tích), bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 17,6 (đơn vị độ dài).
b) Ta có nửa chu vi của tam giác ABC là :
p
=
a
+
b
+
c
2
=
4
+
5
+
3
2
=
6
.
Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là :
S
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
=
6
(
6
−
4
)
(
6
−
5
)
(
6
−
3
)
=
36
=
6
Mặt khác
S
=
a
b
c
4
R
⇒
R
=
a
b
c
4
S
=
4.5.3
4.6
=
2
,
5
.
Vậy diện tích tam giác ABC là 6 (đơn vị diện tích), bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 2,5 (đơn vị độ dài).
Vận dụng 3 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Đặt tên cho các đỉnh của tam giác tạo bởi cánh buồm như hình vẽ :
Tam giác ABC có :
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
o
⇒
B
^
=
180
o
−
(
A
^
+
C
^
)
=
180
o
−
(
48
o
+
105
o
)
=
27
o
Áp dụng định lí sin, ta có :
B
C
sin
A
=
A
C
sin
B
=
A
B
sin
C
⇒
B
C
sin
48
o
=
3
,
2
sin
27
o
=
A
B
sin
105
o
Từ
B
C
sin
48
o
=
3
,
2
sin
27
o
⇒
B
C
=
3
,
2
sin
48
o
sin
27
o
≈
5
,
2
(m).
Từ
A
B
sin
105
o
=
3
,
2
sin
27
o
⇒
A
B
=
3
,
2
sin
105
o
sin
27
o
≈
6
,
8
(m).
Nửa chu vi của tam giác ABC là :
p
=
A
B
+
A
C
+
B
C
2
=
6
,
8
+
3
,
2
+
5
,
2
2
=
7
,
6
(m).
Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là :
S
=
7
,
6.
(
7
,
6
−
6
,
8
)
(
7
,
6
−
3
,
2
)
(
7
,
6
−
5
,
2
)
≈
8
Vậy diện tích cánh buồm khoảng 8 (m2).
Bài 1 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau :
Lời giải:
a) Áp dụng định lí côsin ta có :
x2 = 6,52 + 52 – 2.6,5.5.cos72° ≈ 47,2
⇒ x =
47
,
2
≈ 6,9.
Vậy x ≈ 6,9.
b) ) Áp dụng định lí côsin ta có :
x
2
=
1
3
2
+
1
5
2
−
2.
1
3
.
1
5
.
cos
123
o
≈
0
,
22
⇒ x =
0
,
22
≈ 0,47.
Vậy x ≈ 0,47.
Bài 2 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14.
Lời giải:
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có :
A
B
sin
C
=
A
C
sin
B
⇒
c
sin
105
o
=
12
sin
35
o
⇒
c
=
12
sin
105
o
sin
35
o
≈
20
,
21
Vậy c ≈ 20,21.
Bài 3 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1:
B
^
=
79
o
,
C
^
=
61
o
. Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.
Lời giải:
Tam giác ABC có
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
o
⇒
A
^
=
180
o
−
(
B
^
+
C
^
)
=
180
o
−
(
79
o
+
61
o
)
=
40
o
.
Áp dụng định lí sin ta có:
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
=
2
R
⇒
152
sin
40
o
=
b
sin
79
o
=
c
sin
61
o
=
2
R
.
Từ
152
sin
40
o
=
b
sin
79
o
⇒
b
=
152
sin
79
o
sin
40
o
≈
232
,
13
Từ
152
sin
40
o
=
c
sin
61
o
⇒
c
=
152.
sin
61
o
sin
40
o
≈
206
,
82
Từ
152
sin
40
o
=
2
R
⇒
R
=
152
2
sin
40
o
≈
118
,
24
Vậy góc và các cạnh còn lại, bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là:
A
^
=
40
o
; AC = b ≈ 232,13 ; AB = c ≈ 206,82; R ≈ 118,24.
Bài 4 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.
Lời giải:
Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
cos
A
=
A
B
2
+
A
C
2
−
B
C
2
2.
A
B
.
A
C
=
500
2
+
700
2
−
800
2
2.500.700
≈
0
,
143
⇒
A
^
≈ 82°.
cos
B
=
A
B
2
+
B
C
2
−
A
C
2
2.
A
B
.
B
C
=
500
2
+
800
2
−
700
2
2.500.800
=
0
,
5
⇒
B
^
= 60°.
Tam giác ABC có
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
o
⇒
C
^
=
180
o
−
(
A
^
+
B
^
)
=
180
o
−
(
82
o
+
60
o
)
=
38
o
.
Vậy các góc của tam giác ABC là:
A
^
≈ 82°,
B
^
= 60°;
C
^
= 38°.
Bài 5 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90 cm và góc ở đỉnh là 35°.
Lời giải:
Đặt tên các đỉnh của lá cờ hình tam giác như sau:
Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC = 90 cm,
A
^
=
35
o
Áp dụng công thức tính diện tích ta có diện tích tam giác ABC là:
S
=
1
2
.
A
C
.
A
B
.
sin
A
=
1
2
.90.90.
sin
35
o
≈
2
323
(cm2).
Vậy diện tích của lá cờ khoảng 2 323 cm2.
Bài 6 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1:
A
^
=
60
o
.
a) Tính diện tích tam giác ABC.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.
Lời giải:
a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:
S
=
1
2
.
A
C
.
A
B
.
sin
A
=
1
2
.6.8.
sin
60
o
=
1
2
.6.8.
3
2
=
12
3
≈
20
,
8
Vậy diện tích tam giác ABC là 20,8 (đơn vị diện tích).
b) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA = 62 + 82 – 2.6.8.cos60° = 52
⇒ BC =
52
≈ 7,2.
Mặt khác diện tích tam giác ABC:
S
=
A
B
.
A
C
.
B
C
4
R
⇒
R
=
A
B
.
A
C
.
B
C
4
S
=
6.8.
52
4.12
3
≈
4
,
2
Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có IA = IB = IC = R = 4,2.
Nửa chu vi của tam giác IBC:
p
=
I
B
+
I
C
+
B
C
2
=
4
,
2
+
4
,
2
+
7
,
2
2
=
7
,
8
Áp dụng công thức Heron ta tính được diện tích tam giác IBC:
S
=
7
,
8.
(
7
,
8
−
4
,
2
)
.
(
7
,
8
−
4
,
2
)
.
(
7
,
8
−
7
,
2
)
≈
60
,
7
≈
7
,
8
Vậy diện tích tam giác IBC là 7,8 (đơn vị diện tích).
Bài 7 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là 15, 18, 27.
a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác GBC.
Lời giải:
a) Nửa chu vi của tam giác ABC là :
p
=
15
+
18
+
27
2
=
30
Áp dụng công thức Heron ta tính được diện tích tam giác ABC là:
S
=
30.
(
30
−
15
)
.
(
30
−
18
)
.
(
30
−
27
)
=
16200
=
90
2
Mặt khác S = pr (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
Suy ra
r
=
S
p
=
90
2
30
=
3
2
.
Vậy diện tích tam giác ABC là
90
2
(đơn vị diện tích) ; bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là
3
2
(đơn vị dộ dài).
b) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên G chia tam giác ABC thành ba tam giác GAB, GAC, GBC có diện tích bằng nhau.
Suy ra
S
G
B
C
=
S
A
B
C
3
=
90
2
3
=
30
2
Vậy diện tích của tam giác GBC là :
30
2
(đơn vị diện tích).
Bài 8 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ha là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh hệ thức ha = 2RsinBsinC.
Lời giải:
Trong tam giác ABC, đặt BC = a, AC = b, AB = c, ha là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có diện tích tam giác ABC : S =
1
2
a
.
h
a
⇒
h
a
=
2
S
a
.
Mà
S
=
a
b
c
4
R
⇒
h
a
=
2.
a
b
c
4
R
a
=
2
b
c
4
R
=
b
c
2
R
(1)
Theo định lí sin ta có :
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
=
2
R
⇒
b
=
2
R
sin
B
;
c =
2
R
sin
C
(2)
Thế (2) vào (1) ta có :
h
a
=
2
R
sin
B
.2
R
sin
C
2
R
=
2
R
sin
B
.
sin
C
Vậy ha = 2RsinBsinC.
Bài 9 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.
a) Chứng minh
S
B
D
E
S
B
A
C
=
B
D
.
B
E
B
A
.
B
C
b) Biết rằng SABC = 9SBDE và DE =
2
2
. Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải:
a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác cho hai tam giác BDE và tam giác ABC ta có:
S
B
D
E
=
1
2
.
B
D
.
B
E
.
sin
B
S
A
B
C
=
1
2
.
B
A
.
B
C
.
sin
B
Suy ra
S
B
D
E
S
B
A
C
=
1
2
B
D
.
B
E
.
sin
B
1
2
B
A
.
B
C
.
sin
B
=
B
D
.
B
E
B
A
.
B
C
Vậy
S
B
D
E
S
B
A
C
=
B
D
.
B
E
B
A
.
B
C
b) Từ SABC = 9SBDE ⇒
S
B
D
E
S
B
A
C
=
B
D
.
B
E
B
A
.
B
C
=
1
9
Tam giác BEC vuông tại E có: cosB =
B
E
B
C
.
Tam giác ADB vuông tại D có: cosB =
B
D
A
B
.
Suy ra cos2B =
B
E
B
C
.
B
D
A
B
=
B
D
.
B
E
B
A
.
B
C
=
1
9
⇒
cos
B
=
±
1
3
Mặt khác, vì góc B nhọn nên sinB > 0, cosB > 0, do đó: cosB =
1
3
Mà sin2B + cos2B = 1, suy ra sinB =
1
−
cos
2
B
=
1
−
1
3
2
=
2
2
3
Xét hai tam giác BDE và tam giác BAC có:
B
E
B
C
=
B
D
A
B
=
1
3
(cùng bằng cosB)
Góc B chung
Suy ra hai tam giác BDE và tam giác BAC đồng dạng theo hệ số tỉ lệ k =
1
3
⇒
D
E
A
C
=
1
3
⇒
A
C
=
3
D
E
=
3.2
2
=
6
2
Áp dụng định lí sin cho hai tam giác BAC và tam giác BDE ta có:
A
C
sin
B
=
2
R
;
D
E
sin
B
=
2
R
‘
⇒
R
‘
=
D
E
2
sin
B
=
2
2
2.
2
2
3
=
3
2
(R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE).
⇒
R
R
‘
=
A
C
D
E
=
6
2
2
2
=
3
⇒ R = 3R’ =
3.
3
2
=
9
2
Vậy cosB =
1
3
; R =
9
2
Bài 10 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x, BD = y và góc giữa AC và BD bằng α. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.
a) Chứng minh
S
=
1
2
x
y
sin
α
b) Nêu kết quả trong trường hợp AC ⊥ BD.
Lời giải:
a) Ta có SABCD = SABD + SCBD.
Vẽ AH và CK vuông góc với BD tại H và K.
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Ta có : AH = AI.sinα ; CK = CI.sinα.
S
A
B
C
D
=
1
2
A
H
.
B
D
+
1
2
C
K
.
B
D
=
1
2
B
D
.
(
A
H
+
C
K
)
=
1
2
B
D
.
(
A
I
+
I
C
)
sin
α
=
1
2
B
D
.
A
C
sin
α
⇒
S
A
B
C
D
=
1
2
x
.
y
sin
α
b) Nếu AC ⊥ BD thì sinα = sin90° = 1, khi đó
S
A
B
C
D
=
1
2
x
.
y
Như vậy nếu tứ giác lồi có hai đường chéo vuông góc với nhau thì diện tích của tứ giác đó bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo.