Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Chân Trời Sáng Tạo: tại đây
Hoạt động khởi động trang 49 Toán lớp 10 Tập 1:
y = ax2;
y = a(x – m)(x – n);
y = ax2 + bx;
y = a(x – h)2 + k;
y = ax2 + bx + c.
Lời giải:
Ta có:
y = a(x – m)(x – n) = ax2 – a(m + n)x + a.m.n.
y = a(x – h)2 + k = ax2 – 2ahx + ah2 + k.
Các hàm số đã cho đều là các hàm số bậc hai.
Hoạt động khám phá 1 trang 49 Toán lớp 10 Tập 1:
a) y = 2x(x – 3);
b) y = x(x2 + 2) – 5;
c) y = -5(x + 1)(x – 4).
Lời giải:
a) Xét hàm số: y = 2x(x – 3) = 2x2 – 6x.
Bậc cao nhất của hàm số là bậc hai.
b) Xét hàm số: y = x(x2 + 2) – 5 = x3 + 2x – 5.
Bậc cao nhất của hàm số là bậc ba.
c) y = -5(x + 1)(x – 4) = – 5x2 + 15x + 20.
Bậc cao nhất của hàm số là bậc hai.
Vậy hàm số ở ý a) và c) là các số có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai.
Thực hành 1 trang 49 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Các hàm số ở hoạt động khám phá 1:
a) y = 2x(x – 3) = 2x2 – 6x là hàm số bậc hai với a = 2, b = – 6, c = 0.
b) y = x(x2 + 2) – 5 = x3 + 2x – 5 không là hàm số bậc hai
c) y = -5(x + 1)(x – 4) = – 5x2 + 15x + 20 là hàm số bậc hai với a = -5, b = 15, c = 20.
Vậy hàm số ở ý a) và c) là các hàm số bậc hai.
Hoạt động khám phá 2 trang 49 Toán lớp 10 Tập 1:
|
x |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
f(x) |
7 |
4 |
3 |
4 |
7 |
Trên mặt phẳng tọa độ, ta có các điểm (x; f(x)) với x thuộc bảng giá trị đã cho (Hình 1).
Hãy vẽ đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đường cong này so với đồ thị của hàm số y = x2 trên Hình 1.
b) Tương tự, xét hàm số: y = g(x) = – x2 + 8x – 13 = – (x – 4)2 + 3 có bảng giá trị:
|
x |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
g(x) |
-1 |
2 |
3 |
2 |
-1 |
Trên mặt phẳng tọa độ, ta có các điểm (x; g(x)) với x thuộc bảng giá trị đã cho (Hình 2).
Hãy vẽ đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đường cong này so với đồ thị hàm số y = – x2 trên Hình 2.
Lời giải:
a) Đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D là đường cong màu đỏ trên hình vẽ:
Nhận xét:
Về hình dáng của đường cong màu đỏ giống với hình dáng của đường cong màu xanh là một đường cong parabol.
– Có đỉnh là điểm S với hoành độ là 4 và tung độ là 3.
– Có trục đối xứng là đường thẳng x = 4 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy).
– Bề lõm của đồ thị hướng lên trên.
b) ) Đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D là đường cong màu cam trên hình vẽ:
Nhận xét:
Về hình dáng của đường cong màu cam giống với hình dáng của đường cong màu tím là một đường cong parabol.
– Có đỉnh là điểm S với hoành độ là 4 và tung độ là 3.
– Có trục đối xứng là đường thẳng x = 4 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy).
– Bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới.
Thực hành 2 trang 52 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = x2 – 4x + 3 là một parabol (P):
– Có đỉnh S với hoàng độ xS = 2, tung độ yS = -1;
– Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
– Bề lõm quay lên trên vì a = 1 > 0;
– Cắt trục tung tại điểm có tung độ y = 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).
So với đồ thị của hàm số ở ví dụ 2 a) ta thấy:
– Hai đồ thị đều là đường cong parabol.
– Hai đồ thị có cùng trục đối xứng x = 2.
– Đồ thị ở ví dụ 2a) có bề lõm hướng xuống dưới, còn đồ thị hàm số này có bề lõm hướng lên trên.
– Hai tọa độ đỉnh của hai đồ thị hàm số đối xứng qua trục Ox.
– Giao điểm của đồ thị hàm số ở ví dụ 2a) với trục tung đối xứng với giao điểm của đồ thị hàm số này với trục tung.
Hoạt động khám phá 3 trang 52 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Quan sát đồ thị hàm số Hình 6a), ta thấy:
Với a > 0:
Trên khoảng
−
∞
;
−
b
2
a
hàm số đi xuống theo chiều từ trái sang phải. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Trên khoảng
−
b
2
a
;
+
∞
hàm số đi lên theo chiều từ trái sang phải. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng này.
Quan sát đồ thị hàm số Hình 6a), ta thấy:
Với a < 0:
Trên khoảng
−
∞
;
−
b
2
a
hàm số đi lên theo chiều từ trái sang phải. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng này.
Trên khoảng
−
b
2
a
;
+
∞
hàm số đi xuống theo chiều từ trái sang phải. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Thực hành 3 trang 53 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Xét hàm số y = 2x2 – 6x + 11, có: a = 2 > 0 và ∆ = (-6)2 – 4.2.11 = 36 – 88 = -52.
Đỉnh S có hoành độ x =
−
b
2
a
=
−
−
6
2.2
=
3
2
và tung độ y =
−
Δ
4
a
=
−
−
52
4.2
=
13
2
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
3
2
;
+
∞
và nghịch biến trên khoảng
−
∞
;
3
2
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là
13
2
tại x =
3
2
. Do đó hàm số không thể đạt giá trị bằng -1.
Vận dụng trang 55 Toán lớp 10 Tập 1:
a) Vận tốc xuất phát của cầu là 12m/s.
b) Vị trí phát cầu cách mặt đất là 1,3m.
Lưu ý: Các thông số về sân cầu lông được cho trong Hình 11.
Lời giải:
Ta có hình vẽ sau
a) Theo đề bài, ta có:
g ≈ 9,8 m/s2, α = 30°, v0 = 12m/s, y0 = 0,7 m.
Khi đó, ta có hàm số: y =
−
49
1080
x
2
+
3
3
x
+
0
,
7
Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biên phía bên sân đối phương thì lần phát cầu mới được xem là hợp lệ.
Ta cần so sánh tung độ của điểm quỹ đạo (có hoành độ bằng khoảng cách từ gốc tọa độ đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép lưới.
Khi x = 4 (do người đứng cách lưới 4m) ta có:
y =
−
49
1080
.4
2
+
3
3
.4
+
0
,
7
≈
2
,
28
>
1
,
524
Như vậy lần phát cầu này thỏa mãn qua lưới.
Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của Parabol với trục hoành nên giải phương trình:
−
49
1080
x
2
+
3
3
x
+
0
,
7
=
0
ta được x1 ≈ 13,84 và x2 ≈ -1,11.
Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 13,84m.
Ta có:
Điểm bên trong sẽ cách vị trí phát: 4 + 1,98 = 5, 98m.
Điểm bên ngoài sẽ cách vị trí phát: 4 + 6,7 – 0,76 = 9,94 m.
Do vị trí điểm rơi nằm ngoài khoảng giữa điểm trong và điểm ngoài nên lần phát cầu này hỏng.
Vậy với vận tốc xuất phát của cầu là 12m/s thì lần phát này hỏng (không hợp lệ).
b) Theo đề bài, ta có:
g ≈ 9,8 m/s2, α = 30°, v0 = 8m/s, y0 = 1,3 m.
Khi đó, ta có hàm số: y =
−
49
480
x
2
+
3
3
x
+
1
,
3
Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biên phía bên sân đối phương thì lần phát cầu mới được xem là hợp lệ.
Ta cần so sánh tung độ của điểm quỹ đạo (có hoành độ bằng khoảng cách từ gốc tọa độ đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép lưới.
Khi x = 4 (do người đứng cách lưới 4m) ta có:
y =
−
49
480
.4
2
+
3
3
.4
+
1
,
3
≈
1
,
98
>
1
,
524
Như vậy lần phát cầu này thỏa mãn qua lưới.
Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của Parabol với trục hoành nên giải phương trình:
−
49
480
x
2
+
3
3
x
+
1
,
3
=
0
ta được x1 ≈ 7,38 và x2 ≈ -1,73.
Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 7,38m.
Ta có:
Điểm bên trong sẽ cách vị trí phát: 4 + 1,98 = 5, 98m.
Điểm bên ngoài sẽ cách vị trí phát: 4 + 6,7 – 0,76 = 9,94 m.
Do vị trí điểm rơi nằm trong khoảng giữa điểm trong và điểm ngoài nên lần phát cầu này hợp lệ.
Vậy với vị trí phát cầu cách mặt đất 1,3m thì lần phát cầu này hợp lệ.
Bài 1 trang 56 Toán lớp 10 Tập 1: Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?
a) y = 9x2 + 5x + 4;
b) y = 3x3 + 2x + 1;
c) y = -4(x + 2)3 + 2(2x3 + 1) + 5;
d) y = 5x2 +
x
+ 2.
Lời giải:
a) y = 9x2 + 5x + 4 là hàm số bậc hai với a = 9, b = 5 và c = 4.
b) y = 3x3 + 2x + 1 không là hàm số bậc hai vì bậc cao nhất là bậc ba.
c) y = -4(x + 2)3 + 2(2x3 + 1) + 5
⇔ y = -4(x3 + 3x2.2 + 3.x.22 + 23) + 4x3 + 2 + 5
⇔ y = -4x3 – 24x2 – 48x – 32 + 4x3 + 2 + 5
⇔ y = – 24x2 – 48x – 25
Là hàm số bậc hai với a = -24, b = -48, c = -25.
d) y = 5x2 +
x
+ 2 không là hàm số bậc hai vì có chứa hạng tử
x
.
Bài 2 trang 56 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau là hàm số bậc hai.
a) y = mx4 + (m + 1)x2 + x + 3;
b) y = (m – 2)x3 + (m – 1)x2 + 5.
Lời giải:
a) Để hàm số y = mx4 + (m + 1)x2 + x + 3 là hàm bậc hai thì hệ số của x4 phải bằng 0 và hệ số của x2 phải khác không tức là:
m
=
0
m
+
1
≠
0
⇔
m
=
0
m
≠
−
1
⇔
m
=
0
Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.
b) Để hàm số y = (m – 2)x3 + (m – 1)x2 + 5 là hàm số bậc hai thì hệ số của x3 phải bằng 0 và hệ số của x2 phải khác không tức là:
m
−
2
=
0
m
−
1
≠
0
⇔
m
=
2
m
≠
1
⇔
m
=
2
Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.
Bài 3 trang 56 Toán lớp 10 Tập 1: Lập bảng biến thiên của hàm số y = x2 + 2x + 3. Hàm số này có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất? Tìm giá trị đó.
Lời giải:
Xét hàm số bậc hai: y = x2 + 2x + 3 có a = 1, b = 2 và c = 3.
Đỉnh S có tọa độ xs =
−
b
2
a
=
−
2
2.1
=
−
1
, ys = (-1)2 + 2.(-1) + 3 = 2. Hay S(-1; 2).
Vì hàm số bậc hai có a = 1 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:
Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = -1.
Bài 4 trang 56 Toán lớp 10 Tập 1Cho hàm số bậc hai y = f(x) = ax2 + bx + c có f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 5.
a) Hãy xác định giá trị của các hệ số a, b, c.
b) Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số.
Lời giải:
Ta có:
f(0) = a.02 + b.0 + c = 1 ⇔ c = 1.
f(1) = a.12 + b.1 + c = 2 ⇔ a + b + c = 2.
f(2) = a.22 + b.2 + c = 5 ⇔ 4a + 2b + c = 5.
Khi đó, ta có hệ phương trình:
c
=
1
a
+
b
+
c
=
2
4
a
+
2
b
+
c
=
5
⇔
c
=
1
a
+
b
=
1
4
a
+
2
b
=
4
⇔
c
=
1
a
+
b
=
1
2
a
+
b
=
2
⇔
c
=
1
a
=
1
b
=
0
Vậy a = 1, b = 0 và c = 1.
b) Với a = 1, b = 0 và c = 1 thì ta có hàm số: y = x2 + 1.
Xét hàm số bậc hai: y = x2 + 1, có:
Đỉnh S có tọa độ xs =
−
b
2
a
=
−
0
2.1
=
0
, ys = 02 + 1 = 1. Hay S(0; 1).
Vì hàm số bậc hai có a = 1 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 0. Do đó tập giá trị của hàm số là [1; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Bài 5 trang 56 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hàm số y = 2x2 + x + m. Hãy xác định giá trị của m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.
Lời giải:
Xét hàm số y = 2x2 + x + m có a = 2, b = 1 và c = m.
Điểm đỉnh S có tọa độ xS =
−
b
2
a
=
−
1
2.2
=
−
1
4
, yS =
2.
−
1
4
2
+
−
1
4
+
m
=
m
−
1
8
Hàm số có a = 2 > 0 nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là m –
1
8
Mà giá trị nhỏ nhất bằng 5 nên m –
1
8
= 5 ⇔ m =
41
8
Vậy với m =
41
8
thì giá trị nhỏ nhất của hàm số là 5.
Bài 6 trang 56 Toán lớp 10 Tập 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x2 + 4x – 1;
b) y = -x2 + 2x + 3;
c) y = -3x2 + 6x;
d) y = 2x2 – 5.
Lời giải:
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = 2x2 + 4x – 1 là một parabol (P):
– Có đỉnh S với hoành độ xS = -1, tung độ yS = -3;
– Có trục đối xứng là đường thẳng x = -1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
– Bề lõm quay lên trên vì a > 0;
– Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1).
Ngoài ra, phương trình 2x2 + 4x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 =
−
2
+
6
2
và x2 =
−
2
−
6
2
nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ
−
2
+
6
2
;
0
và
−
2
−
6
2
;
0
.
Ta được đồ thị hàm số như sau:
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = -x2 + 2x + 3 là một parabol (P):
– Có đỉnh S với hoành độ xS = 1, tung độ yS = 4;
– Có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
– Bề lõm quay xuống dưới vì a < 0;
– Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).
Ngoài ra, phương trình -x2 + 2x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 = 3 và x2 = -1 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (3; 0) và (-1; 0).
Ta được đồ thị hàm số như sau:
c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = -3x2 + 6x là một parabol (P):
– Có đỉnh S với hoành độ xS = 1, tung độ yS = 3;
– Có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
– Bề lõm quay xuống dưới vì a < 0;
– Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 0, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 0).
Ngoài ra, phương trình -3x2 + 6x = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 = 0 và x2 = 2 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (0; 0) và (2; 0).
Ta được đồ thị hàm số như sau:
d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = 2x2 – 5 là một parabol (P):
– Có đỉnh S với hoành độ xS = 0, tung độ yS = -5;
– Có trục đối xứng là đường thẳng x = 0 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
– Bề lõm quay lên trên vì a > 0;
– Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -5).
Ngoài ra, phương trình 2x2 – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 =
5
2
và x2 =
−
5
2
nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (
5
2
; 0) và (
−
5
2
; 0).
Ta được đồ thị hàm số như sau:
Bài 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy xác định đúng đồ thị của mỗi hàm số sau trên Hình 12.
(P1): y = – 2x2 – 4x + 2;
(P2): y = 3x2 – 6x + 5;
(P3): y = 4x2 – 8x + 7;
(P4): y = -3x2 – 6x + 1.
Lời giải:
+) (P1): y = – 2x2 – 4x + 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = – 2x2 – 4x + 2 là một parabol (P1):
– Có đỉnh S với hoành độ xS = -1, tung độ yS = 4;
– Có trục đối xứng là đường thẳng x = -1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
– Bề lõm quay xuống dưới vì a < 0;
– Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 2).
Quan sát trên hình vẽ, ta thấy đồ thị tương thích với hàm số (P1) là đường cong màu xanh lá cây.
+) (P2): y = 3x2 – 6x + 5;
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = 3x2 – 6x + 5 là một parabol (P2):
– Có đỉnh S với hoành độ xS = 1, tung độ yS = 2;
– Có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
– Bề lõm quay lên trên vì a > 0;
– Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5).
Quan sát trên hình vẽ, ta thấy đồ thị tương thích với hàm số (P2) là đường cong màu xanh dương.
+) (P3): y = 4x2 – 8x + 7:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = 4x2 – 8x + 7 là một parabol (P3):
– Có đỉnh S với hoành độ xS = 1, tung độ yS = 3;
– Có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
– Bề lõm quay lên trên vì a > 0;
– Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 7, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 7).
Quan sát trên hình vẽ, ta thấy đồ thị tương thích với hàm số (P3) là đường cong màu đỏ.
+) (P4): y = -3x2 – 6x + 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = -3x2 – 6x – 1 là một parabol (P4):
– Có đỉnh S với hoành độ xS = -1, tung độ yS = 2;
– Có trục đối xứng là đường thẳng x = -1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
– Bề lõm quay xuống dưới vì a < 0;
– Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1).
Quan sát trên hình vẽ, ta thấy đồ thị tương thích với hàm số (P4) là đường cong màu cam.
Bài 8 trang 57 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm công thức của hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 13.
Lời giải:
Dựa vào hình vẽ ta thấy:
Đồ thị hàm số có dạng parabol nên hàm số có dạng y = ax2 + bx + c với a, b, c ∈ ℝ và a ≠ 0. Hơn nữa đồ thị hàm số có bề lõm hướng lên trên nên a > 0.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm tọa độ (0; -4) nên ta có: -4 = a.02 + b.0 + c ⇔ c = -4.
Điểm đỉnh S của đồ thị hàm số có tọa độ xS = 1,5 và yS = -6.25
⇒
x
S
=
−
b
2
a
=
1
,
5
⇔
b
=
−
3
a
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm (-1; 0) và (4; 0) nên thay x = -1 và y = 0 vào hàm số ta được: 0 = a(-1)2 + b(-1) + c
⇔ 0 = a – b + c
Mà b = – 3a và c = 4 nên ta có: a + 3a – 4 = 0 ⇔ a = 1 ⇒ b = –3.
Vậy hàm số cần tìm là y = x2 – 3x – 4.
Bài 9 trang 57 Toán lớp 10 Tập 1: Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.
Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết:
– Dây dài nhất là 5m, dây ngắn nhất là 0,8m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.
– Nhịp cầu dài 30m.
– Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.
Lời giải:
Hình dây văng có dạng parabol, nên ta có hình vẽ sau:
Độ dài của dây cáp tương ứng với tung độ của các điểm A, B, C, D, E, F, G, H, I, K, L, K’, I’, H’, G’, F’, E’, D’, C’, B’, A’.
Dây dài nhất tương ứng với điểm A và A’ trên đồ thị. Khi đó A(-15; 5) và A’(15; 5).
Dây ngắn nhất trên đồ thị tương ứng với điểm L trên đồ thị. Khi đó L(0; 0,8).
Gọi hàm số đi qua các điểm này có dạng y = ax2 + bx + c.
Ta có hàm số đi qua A(-15; 5) nên thay x = -15 và y = 5 ta có: 225a – 15b + c = 5;
Ta có hàm số đi qua A(15; 5) nên thay x = 15 và y = 5 ta có: 225a + 15b + c = 5;
Ta có hàm số đi qua điểm L(0; 0,8) nên thay x = 0 và y = 0,8 ta có: c = 0,8;
Khi đó ta có hệ phương trình:
225
a
−
15
b
+
c
=
5
225
a
+
15
b
+
c
=
5
c
=
0
,
8
⇔
a
=
7
375
b
=
0
c
=
0
,
8
Suy ra ta có hàm số y =
7
375
x2 + 0,8.
Hàm số có trục đối xứng là x = 0 hay chính là trục tung. Do đó các điểm A, B, C, D, E, F, G, H, I, K đối xứng với các điểm A’, B’, C’, D’, E’, F’, G’, H’, I’, K’ qua trục tung. Vì thế các điểm này có cùng tung độ.
Vì nhịp cầu dài 30 m nên khoảng cách giữa các dây cáp là: 30: 20 = 1,5 m.
Do đó hoành độ các điểm K’, I’, H’, G’, F’, E’, D’, C’, B’, A’ lần lượt là:
xK’ = 1,5 ⇒ yK’ = 0,842 ⇒ K’(1,5; 0,842). Do đó độ dài dây cáp ở điểm K và K’ là 0,842.
xI’ = 3 ⇒ yI’ = 0,968 ⇒ I’(3; 0,968). Do đó độ dài dây cáp ở điểm I và I’ là 0,968.
xH’ = 4,5 ⇒ yH’ = 1,178 ⇒ H’(4,5; 1,178). Do đó độ dài dây cáp ở điểm H và H’ là 1,178.
xG’ = 6 ⇒ yG’ = 1,472 ⇒ G’(6; 1,472). Do đó độ dài dây cáp ở điểm G và G’ là 1,472.
xF’ = 7,5 ⇒ yF’ = 1,85 ⇒ F’(7,5; 1,85). Do đó độ dài dây cáp ở điểm F và F’ là 1,85.
xE’ = 9 ⇒ yE’ = 2,312 ⇒ E’(9; 2,312). Do đó độ dài dây cáp ở điểm E và E’ là 2,312.
xD’ = 10,5 ⇒ yD’ = 2,858 ⇒ D’(10,5; 2,858). Do đó độ dài dây cáp ở điểm D và D’ là 2,858.
xC’ = 12 ⇒ yC’ = 3,488 ⇒ C’(12; 3,488). Do đó độ dài dây cáp ở điểm H’ là 3,488.
xB’ = 13,5 ⇒ yB’ = 4,202 ⇒ B’(13,5; 4,202). Do đó độ dài dây cáp ở điểm B và B’ là 4,202.
xA’ = 15 ⇒ yA’ = 5 ⇒ A’(15,5). Do đó độ dài dây cáp ở điểm A và A’ là 5.
Vì cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cap để neo cố định nên tổng độ dài các dây cáp là:
0,8 + 2.(0,842 + 0,968 + 1,178 + 1,472 + 1,85 + 2,312 + 2,858 + 3,488 + 4,202 + 5) = 49,14.
Do cần tìm tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định và cần hai mặt thành cầu nên chiều dài dây cáp cần sử dụng là:
2.49,14.105% = 103,194 (m).
Vậy tổng độ dài dây cáp cần dùng 103,194 m.