Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Chân Trời Sáng Tạo: tại đây
Hoạt động khởi động trang 88 Toán lớp 10 Tập 1:
A
B
→
+
B
C
→
.
Lời giải:
Sau bài học về tổng của hai vectơ, áp dụng quy tắc ba điểm, ta tìm được vectơ biểu diễn tổng của hai độ dịch chuyển trên là:
A
B
→
+
B
C
→
=
A
C
→
Hoạt động khám phá 1 trang 88 Toán lớp 10 Tập 1:
A
B
→
và
B
C
→
(Hình 1). Tìm vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của rô bốt sau chuyển động trên.
Lời giải:
Quan sát Hình 1 ta thấy, rô bốt thực hiện liên tiếp hai chuyển động có độ dịch chuyển lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ
A
B
→
và
B
C
→
nên điểm cuối rô bốt dừng chân là điểm C và điểm đầu là A.
Vậy vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của rô bốt sau chuyển động trên là vectơ
A
C
→
.
Hoạt động khám phá 2 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1:
A
B
→
+
A
D
→
=
A
C
→
.
Lời giải:
Do ABCD là hình bình hành nên
A
D
→
=
B
C
→
Khi đó ta có:
A
B
→
+
A
D
→
=
A
B
→
+
B
C
→
=
A
C
→
(theo quy tắc ba điểm).
Vậy
A
B
→
+
A
D
→
=
A
C
→
.
Thực hành 1 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1:
a
→
=
A
C
→
+
C
B
→
;
b
→
=
D
B
→
+
B
C
→
. Chứng minh hai vectơ
a
→
và
b
→
cùng hướng.
Lời giải:
Vì ABCD là hình thang với AB và DC là hai đáy nên AB // DC.
Do đó hai vectơ
A
B
→
và
D
C
→
cùng phương, hơn nữa chúng cùng hướng đi từ trái qua phải.
Nên hai vectơ
A
B
→
và
D
C
→
cùng hướng.
Theo quy tắc ba điểm ta có:
a
→
=
A
C
→
+
C
B
→
=
A
B
→
b
→
=
D
B
→
+
B
C
→
=
D
C
→
Vậy hai vectơ
a
→
và
b
→
cùng hướng.
Thực hành 2 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1:
A
B
→
+
A
C
→
.
Lời giải:
Dựng hình bình hành ABDC, nối A với D.
Áp dụng quy tắc hình hình hành ta có:
A
B
→
+
A
C
→
=
A
D
→
.
Khi đó
A
B
→
+
A
C
→
=
A
D
→
=
A
D
.
Do tam giác ABC đều nên AB = AC = BC = a.
Suy ra hình bình hành ABDC là hình thoi.
Nên BD = AB = a.
Ta có:
C
A
B
^
=
60
°
(tam giác ABC đều)
Suy ra
A
B
D
^
=
180
°
−
C
A
B
^
=
180
°
−
60
°
=
120
°
(AC // BD, hai góc trong cùng phía bù nhau).
Xét tam giác ABD, áp dụng định lí côsin ta có:
AD2 = AB2 + BD2 – 2 . AB . BD . cosB
= a2 + a2 – 2 . a . a . cos120° = 3a2
Suy ra
A
D
=
a
3
.
Vậy
A
B
→
+
A
C
→
=
A
D
=
a
3
.
Vận dụng 1 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Đặt vectơ vận tốc của máy bay là
E
F
→
, vectơ vận tốc gió là
F
G
→
như hình sau:
Ta có:
E
F
=
E
F
→
=
150
;
F
G
=
F
G
→
=
30
.
Theo quy tắc ba điểm ta có:
E
F
→
+
F
G
→
=
E
G
→
.
Do đó:
E
F
→
+
F
G
→
=
E
G
→
=
E
G
.
Xét tam giác EFG vuông tại F, áp dụng định lí Pythagore ta có:
EG2 = EF2 + FG2 = 1502 + 302 = 23400
Suy ra
EG
=
30
26
.
Vậy
E
F
→
+
F
G
→
=
E
G
→
=
E
G
=
30
26
(km/h).
Vận dụng 2 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1:
F
1
→
=
O
A
→
,
F
2
→
=
O
B
→
có độ lớn lần lượt là 400 N, 600 N (Hình 8). Cho biết góc giữa hai vectơ là 60°. Tìm độ lớn của vectơ hợp lực
F
→
là tổng của hai lực
F
1
→
và
F
2
→
.
Lời giải:
Ta có OACB là hình bình hành, áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
O
A
→
+
O
B
→
=
O
C
→
Hay
F
1
→
+
F
2
→
=
F
→
Do đó
F
→
=
F
1
→
+
F
2
→
=
O
C
→
=
O
C
.
Ta có:
O
A
=
O
A
→
=
F
1
→
=
400
N
;
O
B
=
O
B
→
=
F
2
→
=
600
N
;
A
O
B
^
=
60
°
.
Do OACB là hình bình hành nên OB // AC
Suy ra
A
O
B
^
+
O
A
C
^
=
180
°
(hai góc trong cùng phía)
Nên
O
A
C
^
=
180
°
−
A
O
B
^
=
180
°
−
60
°
=
120
°
.
Lại có: AC = OB = 600 N.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác OAC ta có:
OC2 = OA2 + AC2 – 2 . OA . AC . cosOAC
= 4002 + 6002 – 2 . 400 . 600 . cos120° = 760000
Suy ra OC =
200
19
N.
Vậy độ lớn của hợp lực
F
→
là
F
→
=
200
19
N.
Hoạt động khám phá 2 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1:
a
→
,
b
→
,
c
→
được biểu diễn như Hình 9. Hãy hoàn thành các phép cộng vectơ sau và so sánh các kết quả tìm được:
a)
a
→
+
b
→
=
A
B
→
+
B
C
→
=
?
;
b
→
+
a
→
=
A
E
→
+
E
C
→
=
?
b)
a
→
+
b
→
+
c
→
=
A
B
→
+
B
C
→
+
C
D
→
=
A
C
→
+
C
D
→
=
?
;
a
→
+
b
→
+
c
→
=
A
B
→
+
B
C
→
+
C
D
→
=
A
B
→
+
B
D
→
=
?
Lời giải:
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta thực hiện được như sau:
a)
a
→
+
b
→
=
A
B
→
+
B
C
→
=
A
C
→
;
b
→
+
a
→
=
A
E
→
+
E
C
→
=
A
C
→
Do đó:
a
→
+
b
→
=
b
→
+
a
→
b)
a
→
+
b
→
+
c
→
=
A
B
→
+
B
C
→
+
C
D
→
=
A
C
→
+
C
D
→
=
A
D
→
;
a
→
+
b
→
+
c
→
=
A
B
→
+
B
C
→
+
C
D
→
=
A
B
→
+
B
D
→
=
A
D
→
Do đó:
a
→
+
b
→
+
c
→
=
a
→
+
b
→
+
c
→
.
Thực hành 3 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1:
a)
a
→
=
A
C
→
+
B
D
→
+
C
B
→
;
b)
a
→
=
A
B
→
+
A
D
→
+
B
C
→
+
D
A
→
.
Lời giải:
a) Ta có:
a
→
=
A
C
→
+
B
D
→
+
C
B
→
=
A
C
→
+
B
D
→
+
C
B
→
(bỏ dấu ngoặc)
=
A
C
→
+
C
B
→
+
B
D
→
(tính chất giao hoán và kết hợp)
=
A
B
→
+
B
D
→
=
A
D
→
(quy tắc ba điểm)
Do đó
a
→
=
A
D
→
=
A
D
=
1
.
b) Ta có:
a
→
=
A
B
→
+
A
D
→
+
B
C
→
+
D
A
→
=
A
B
→
+
B
C
→
+
A
D
→
+
D
A
→
(tính chất giao hoán và kết hợp)
=
A
C
→
+
A
A
→
(quy tắc ba điểm)
=
A
C
→
+
0
→
=
A
C
→
Do đó:
a
→
=
A
C
→
=
A
C
Xét tam giác ADC vuông tại D, áp dụng định lí Pythagore ta có:
AC2 = AD2 + DC2 = 12 + 12 = 2
⇒
A
C
=
2
Vậy
a
→
=
A
C
→
=
A
C
=
2
.
Hoạt động khám phá 3 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1:
F
→
và
–
F
→
(Hình 11).
Lời giải:
Hợp lực của hai lực đối nhau
F
→
và
–
F
→
là tổng của hai lực
F
→
và
–
F
→
.
Hai vectơ đối nhau có tổng bằng vectơ
0
→
.
Vậy
F
→
+
−
F
→
=
0
→
.
Thực hành 4 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1:
a)
a
→
=
O
B
→
−
O
D
→
;
b)
b
→
=
O
C
→
−
O
A
→
+
D
B
→
−
D
C
→
.
Lời giải:
a) Với ba điểm O, B , D ta có:
a
→
=
O
B
→
−
O
D
→
=
D
B
→
.
Do đó:
a
→
=
D
B
→
=
D
B
.
BD là đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1 nên BD =
2
.
Vậy
a
→
=
D
B
=
2
.
b) Ta có:
b
→
=
O
C
→
−
O
A
→
+
D
B
→
−
D
C
→
=
A
C
→
+
C
B
→
=
A
B
→
Vậy
b
→
=
A
B
→
=
A
B
=
1
.
Hoạt động khám phá 4 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1:
M
B
→
=
−
M
A
→
=
A
M
→
. Hoàn thành phép cộng vectơ sau:
M
A
→
+
M
B
→
=
M
A
→
+
A
M
→
=
M
M
→
=
?
b) Cho điểm G là trọng tâm của tam giác ABC có trung tuyến AI. Lấy D là điểm đối xứng với G qua I. Ta có BGCD là hình bình hành và G là trung điểm của đoạn thẳng AD. Với lưu ý rằng
G
B
→
+
G
C
→
=
G
D
→
và
G
A
→
=
D
G
→
, hoàn thành phép cộng vectơ sau:
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
=
G
A
→
+
G
D
→
=
D
G
→
+
G
D
→
=
D
D
→
=
?
Lời giải:
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vectơ
0
→
.
Do đó:
a)
M
A
→
+
M
B
→
=
M
A
→
+
A
M
→
=
M
M
→
=
0
→
b)
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
=
G
A
→
+
G
D
→
=
D
G
→
+
G
D
→
=
D
D
→
=
0
→
Thực hành 5 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1:
a)
M
A
→
+
M
D
→
+
M
B
→
=
0
→
;
b)
N
D
→
+
N
B
→
+
N
C
→
=
0
→
;
c)
P
M
→
+
P
N
→
=
0
→
.
Lời giải:
a) Gọi M là trọng tâm tam giác ADB.
Khi đó ta có:
M
A
→
+
M
D
→
+
M
B
→
=
0
→
Vậy điểm M thỏa mãn
M
A
→
+
M
D
→
+
M
B
→
=
0
→
là trọng tâm của tam giác ADB.
b) Tương tự câu a, điểm N thỏa mãn
N
D
→
+
N
B
→
+
N
C
→
=
0
→
là trọng tâm của tam giác DBC.
c) ABCD là hình bình hành có tâm O nên O là giao của hai đường chéo AC và BD, đồng thời là trung điểm của mỗi đường.
Khi đó AO là đường trung tuyến của tam giác ABD nên trọng tâm M của tam giác này nằm trên cạnh AO thỏa mãn AM =
2
3
AO nên OM =
1
3
AO.
Và CO là đường trung tuyến của tam giác BDC nên trọng tâm N của tam giác này nằm trên cạnh CO thỏa mãn CN =
2
3
CO nên ON =
1
3
CO.
Mà AO = CO.
Do đó: ON = OM.
Và O, M, N thẳng hàng (cùng thuộc đường chéo AC).
Nên O là trung điểm của MN.
Suy ra
O
M
→
+
O
N
→
=
0
→
.
Mà
P
M
→
+
P
N
→
=
0
→
nên điểm P trùng với điểm O.
Vậy điểm P thỏa mãn
P
M
¯
+
P
N
¯
=
0
→
là tâm O của hình bình hành ABCD.
Bài 1 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:
a)
B
A
→
+
D
C
→
=
0
→
;
b)
M
A
→
+
M
C
→
=
M
B
→
+
M
D
→
Lời giải:
a) Do ABCD là hình bình hành nên
A
B
→
=
D
C
→
.
Do đó:
B
A
→
+
D
C
→
=
B
A
→
+
A
B
→
=
B
B
→
=
0
→
.
Vậy
B
A
→
+
D
C
→
=
0
→
.
b) Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.
Do đó:
O
A
→
+
O
C
→
=
0
→
;
O
B
→
+
O
D
→
=
0
→
.
Ta có:
M
A
→
+
M
C
→
=
M
O
→
+
O
A
→
+
M
O
→
+
O
C
→
=
M
O
→
+
M
O
→
+
O
A
→
+
O
C
→
=
M
O
→
+
M
O
→
+
0
→
=
M
O
→
+
M
O
→
(1)
Và
M
B
→
+
M
D
→
=
M
O
→
+
O
B
→
+
M
O
→
+
O
D
→
=
M
O
→
+
M
O
→
+
O
B
→
+
O
D
→
=
M
O
→
+
M
O
→
+
0
→
=
M
O
→
+
M
O
→
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
M
A
→
+
M
C
→
=
M
B
→
+
M
D
→
Bài 2 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD, thực hiện các phép cộng và trừ vectơ sau:
a)
A
B
→
+
B
C
→
+
C
D
→
+
D
A
→
;
b)
A
B
→
−
A
D
→
;
c)
C
B
→
−
C
D
→
.
Lời giải:
a) Ta có:
A
B
→
+
B
C
→
+
C
D
→
+
D
A
→
=
A
B
→
+
B
C
→
+
C
D
→
+
D
A
→
=
A
C
→
+
C
A
→
=
A
A
→
=
0
→
Vậy
A
B
→
+
B
C
→
+
C
D
→
+
D
A
→
=
0
→
.
b) Ta có:
A
B
→
−
A
D
→
=
D
B
→
.
c) Ta có:
C
B
→
−
C
D
→
=
D
B
→
.
Bài 3 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ:
a)
B
A
→
+
A
C
→
;
b)
A
B
→
+
A
C
→
;
c)
B
A
¯
–
B
C
¯
.
Lời giải:
a) Ta có:
B
A
→
+
A
C
→
=
B
C
→
Do đó:
B
A
→
+
A
C
→
=
B
C
→
=
B
C
=
a
.
b)
Dựng hình bình hành ABDC, nối A với D.
Áp dụng quy tắc hình hình hành ta có:
A
B
→
+
A
C
→
=
A
D
→
.
Khi đó
A
B
→
+
A
C
→
=
A
D
→
=
A
D
.
Do tam giác ABC đều nên AB = AC = BC = a.
Suy ra hình bình hành ABDC là hình thoi.
Nên BD = AB = a.
Ta có:
C
A
B
^
=
60
°
(tam giác ABC đều)
Suy ra
A
B
D
^
=
180
°
−
C
A
B
^
=
180
°
−
60
°
=
120
°
(AC // BD, hai góc trong cùng phía bù nhau).
Xét tam giác ABD, áp dụng định lí côsin ta có:
AD2 = AB2 + BD2 – 2 . AB . BD . cosB
= a2 + a2 – 2 . a . a . cos120° = 3a2
Suy ra
A
D
=
a
3
.
Vậy
A
B
→
+
A
C
→
=
A
D
=
a
3
.
c) Ta có:
B
A
→
−
B
C
→
=
C
A
→
Do đó:
B
A
→
−
B
C
→
=
C
A
→
=
C
A
=
a
.
Bài 4 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng:
a)
O
A
→
−
O
B
→
=
O
D
→
−
O
C
→
;
b)
O
A
→
−
O
B
→
+
D
C
→
=
0
→
.
Lời giải:
a) Ta có:
O
A
→
−
O
B
→
=
B
A
→
;
O
D
→
−
O
C
→
=
C
D
→
ABCD là hình bình hành nên
B
A
→
=
C
D
→
Vậy
O
A
→
−
O
B
→
=
O
D
→
−
O
C
→
.
b) Ta có:
O
A
→
−
O
B
→
+
D
C
→
=
B
A
→
+
D
C
→
=
C
D
→
+
D
C
→
=
C
C
→
=
0
→
.
Vậy
O
A
→
−
O
B
→
+
D
C
→
=
0
→
.
Bài 5 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1:
F
1
→
=
M
A
→
,
F
2
→
=
M
B
→
và
F
3
→
=
M
C
→
cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của
F
1
→
,
F
2
→
đều là 10 N và
A
M
B
^
=
90
°
. Tìm độ lớn của lực
F
3
→
.
Lời giải:
Vì ba lực
F
1
→
,
F
2
→
,
F
3
→
cùng tác động vào vật tại điểm M và vật đứng yên.
Do đó:
F
1
→
+
F
2
→
+
F
3
→
=
0
→
⇔
F
3
→
=
−
F
1
→
+
F
2
→
(1).
Ta cần tính
F
1
→
+
F
2
→
.
Cường độ của
F
1
→
và
F
2
→
đều là 10 N.
⇒
F
1
→
=
F
2
→
=
10
N
.
Dựng hình bình hành MADB có
F
1
→
=
M
A
→
,
F
2
→
=
M
B
→
và
A
M
B
^
=
90
°
.
Vì
F
1
→
=
F
2
→
=
10
N
nên MA = MB = 10.
Do đó MADB là hình vuông có cạnh bằng 10.
Suy ra đường chéo MD =
10
2
.
Do MADB là hình bình hành nên
M
D
→
=
M
A
→
+
M
B
→
.
⇒
M
D
→
=
F
1
→
+
F
2
→
(2).
Từ (1) và (2) suy ra:
F
3
→
=
−
F
1
→
+
F
2
→
=
−
M
D
→
.
Vậy lực
F
3
→
có hướng ngược với hướng của
M
D
→
và có độ lớn:
F
3
→
=
M
D
→
=
10
2
N
.
Bài 6 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1:
F
→
của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng
F
1
→
và lực cản
F
2
→
(Hình 16). Cho biết α = 30° và
F
→
=
a
. Tính
F
1
→
và
F
2
→
theo a.
Lời giải:
Đặt tên các điểm như hình vẽ dưới đây:
Vì lực
F
→
của không khí tác động vuông góc với cánh nên góc tạo bởi lực
F
→
và cánh máy bay là
E
A
→
C
=
90°.
Ta có:
F
A
E
^
+
E
A
C
^
+
C
A
B
^
=
180
°
⇔
α
+
90
°
+
C
A
B
^
=
180
°
Suy ra:
C
A
B
^
=
180
°
−
90
°
−
30
°
=
60
°
Tam giác ABC vuông tại B có AC =
F
→
=
a
,
C
A
B
^
=
60
°
.
Khi đó: AB = AC . cos60° =
a
.
1
2
=
a
2
BC = AC . sin60° = a .
3
2
=
a
3
2
Ta có: AD = BC =
a
3
2
.
Vậy
F
1
→
=
A
D
=
a
3
2
;
F
2
→
=
A
B
=
a
2
Bài 7 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1:
K
A
→
+
K
C
→
=
0
→
;
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
=
0
→
;
H
A
→
+
H
D
→
+
H
C
→
=
0
→
. Tính độ dài các vectơ
K
A
→
,
G
H
→
,
A
G
→
.
Lời giải:
Vì K là điểm thỏa mãn
K
A
→
+
K
C
→
=
0
→
nên K là trung điểm của AC.
Vì G là điểm thỏa mãn
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
=
0
→
nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Vì H là điểm thỏa mãn
H
A
→
+
H
D
→
+
H
C
→
=
0
→
nên H là trọng tâm của tam giác ADC.
Do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC, BD bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên K cũng là trung điểm của BD hay K chính là tâm của hình vuông ABCD.
Trong tam giác ABC, có BK là đường trung tuyến nên G ∈ BK và
G
K
=
1
3
B
K
(suy ra từ tính chất trọng tâm tam giác).
Trong tam giác ADC, có DK là đường trung tuyến nên H ∈ DK và
H
K
=
1
3
D
K
(suy ra từ tính chất trọng tâm tam giác).
Suy ra H, K, G thẳng hàng và cùng thuộc DB.
Hình vuông ABCD cạnh a nên AC = BD =
a
2
.
Khi đó: AK = KC = DK = KB =
1
2
A
C
=
1
2
B
D
=
a
2
2
Ta có: GH = GK + KH =
1
3
B
K
+
1
3
D
K
=
1
3
.
a
2
2
+
a
2
2
=
a
2
3
Lại có:
G
K
=
1
3
B
K
=
1
3
.
a
2
2
=
a
2
6
.
Xét tam giác AKG vuông tại K (AC ⊥ BD tại K), áp dụng định lí Pythagore ta có:
AG2 = AK2 + KG2
=
a
2
2
2
+
a
2
6
2
=
5
a
9
Suy ra AG =
a
5
3
.
Vậy ta tính được độ dài các vectơ
K
A
→
,
G
H
→
,
A
G
→
là:
K
A
→
=
K
A
=
a
2
2
G
H
→
=
G
H
=
a
2
3
A
G
→
=
A
G
=
a
5
3
Bài 8 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Một con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước là một vectơ theo hướng đông như Hình 17. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ mói trên.
Lời giải:
Ta đặt tên các điểm như hình vẽ sau:
Khi đó vectơ vận tốc con tàu là
A
B
→
với
A
B
→
=
A
B
=
30
k
m
/
h
.
Vectơ vận tốc dòng nước là
B
C
→
với
B
C
→
=
B
C
=
10
k
m
/
h
.
Ta có vectơ tổng của hai vectơ trên là
A
B
→
+
B
C
→
=
A
C
→
Do đó:
A
B
→
+
B
C
→
=
A
C
→
=
A
C
Lại có AB và BC vuông góc nên tam giác ABC vuông tại B, áp dụng định lí Pythagore ta có: AC2 = AB2 + BC2 = 302 + 102 = 1000
Suy ra AC =
10
10
km/h.
Vậy độ dài của vectơ tổng của hai vectơ đã cho là
A
B
→
+
B
C
→
=
A
C
→
=
A
C
=
10
10
km/h.