Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Chân Trời Sáng Tạo: tại đây
Hoạt động khởi động trang 74 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Gọi vị trí của người đo đạc đứng là điểm A và gọi B, C lần lượt là vị trí hai cái cây bên kia sông. Ta có tam giác ABC với AC = 100 m ; AB = 75 m và
A
^
=
32
o
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có :
BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA = 752 + 1002 – 2.75.100.cos32° ≈ 2 904,3.
⇒ BC ≈
2904
,
3
≈ 53,9 m.
Vậy hai cái cây bên kia sông cách nhau khoảng 53,9 m.
Thực hành trang 75 Toán lớp 10 Tập 1:
a) a = 17,4;
B
^
=
44
o
30
‘
;
C
^
=
64
o
b) a = 10; b = 6; c = 8.
Lời giải:
a) Tam giác ABC có:
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
o
⇒
A
^
=
180
o
−
(
B
^
+
C
^
)
=
180
o
−
(
44
o
30
‘
+
64
o
)
=
71
o
30
‘
Áp dụng định lí sin ta có:
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
⇒
17
,
4
sin
71
o
30
‘
=
b
sin
44
o
30
‘
=
c
sin
64
o
Suy ra:
b
=
17
,
4.
sin
44
o
30
‘
sin
71
o
30
‘
≈
12
,
9
;
c
=
17
,
4.
sin
64
o
sin
71
o
30
‘
≈
16
,
5
Vậy tam giác ABC có:
A
^
=
71
o
30
‘
;
B
^
=
44
o
30
‘
;
C
^
=
64
o
; a = 17,4; b ≈ 12,9; c ≈ 16,5.
b) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:
cosA =
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
=
6
2
+
8
2
−
10
2
2.6.8
=
0
96
=
0
⇒
A
^
=
90
o
cosB =
a
2
+
c
2
−
b
2
2
a
c
=
10
2
+
8
2
−
6
2
2.10.8
=
128
160
=
0
,
8
⇒
B
^
≈
36
o
52
‘
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
o
⇒
C
^
=
180
o
−
(
A
^
+
B
^
)
=
180
o
−
(
90
o
+
36
o
52
‘
)
=
53
o
8
‘
Vậy tam giác ABC có:
A
^
=
90
o
;
B
^
=
36
o
52
‘
;
C
^
=
53
o
8
‘
; a = 10; b = 6; c = 8.
Vận dụng 1 trang 76 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Gọi A và B lần lượt là vị trí của hai máy bay sau khi cất cánh 90 phút.
Đổi 90 phút = 1,5 giờ.
Sau 90 phút (tức là sau 1,5 giờ) chiếc máy bay di chuyển theo hướng tây đi được quãng đường là: 450.1,5 = 675 km, tức là OA = 675 km.
Sau 90 phút (tức là sau 1,5 giờ) chiếc máy bay di chuyển theo hướng lệch bắc 25° về phía tây đi được quãng đường là: 630.1,5 = 945 km, tức là OB = 945 km.
Ta có
A
O
B
^
=
90
o
−
25
o
=
65
o
.
Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAB ta có:
AB2 = OA2 + OB2 – 2.OA.OB.cos
A
O
B
^
= 6752 + 9452 – 2.675.945.cos65o ≈ 809 494,8
⇒ AB =
809
494
,
8
≈
899
,
7
.
Vậy sau 90 phút hai máy bay cách nhau khoảng 899,7 km.
Vận dụng 2 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác CHL ta có:
c
o
s
C
L
H
^
=
C
L
2
+
H
L
2
−
C
H
2
2.
C
L
.
H
L
=
49
2
+
104
2
−
78
2
2.49.104
≈
0
,
6999
=
⇒
C
L
H
^
≈ 45°35′.
Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác RHL ta có:
c
o
s
R
L
H
^
=
R
L
2
+
H
L
2
−
R
H
2
2.
R
L
.
H
L
=
56
2
+
104
2
−
77
2
2.56.104
≈
0
,
6888
⇒
R
L
H
^
≈ 46°28′.
Suy ra
C
L
R
^
=
C
L
H
^
+
R
L
H
^
≈
45
o
35
’
+
46
o
28
’
≈
92
o
3
‘
Áp dụng định lí côsin cho tam giác LCR ta có:
CR2 = CL2 + LR2 – 2.CL.LR.cos
C
L
R
^
= 492 + 562 – 2.49.56.cos92o3’ ≈ 5 733,3
⇒ CR ≈ 75,7.
Vậy khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá khoảng 75,7 km.
Bài 1 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) AB = 14, AC = 23,
A
^
=
125
o
;
b) BC = 22,
B
^
=
64
o
,
C
^
=
38
o
;
c) AC = 22,
B
^
=
120
o
,
C
^
=
28
o
;
d) AB = 23, AC = 32, BC = 44.
Lời giải:
a) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA = 142 + 232 – 2.14.23.cos125° ≈ 1 094,4.
⇒ BC ≈
1
094
,
4
≈
33
,
1
.
Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
cosB =
A
B
2
+
B
C
2
−
A
C
2
2.
A
B
.
B
C
=
14
2
+
33
,
1
2
−
23
2
2.14.33
,
1
≈
0
,
823
⇒
B
^
≈
34
o
37
‘
Mặt khác tam giác ABC có:
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
o
⇒
C
^
=
180
o
−
(
A
^
+
B
^
)
=
180
o
−
(
125
o
+
34
o
37
‘
)
=
20
o
23
‘
Vậy tam giác ABC có:
AB = 14, AC = 23, BC ≈ 33,1;
A
^
=
125
o
;
B
^
≈
34
o
37
‘
;
C
^
≈
20
o
23
‘
b) Tam giác ABC có:
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
o
⇒
A
^
=
180
o
−
(
B
^
+
C
^
)
=
180
o
−
(
64
o
+
38
o
)
=
78
o
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
B
C
sin
A
=
A
C
sin
B
=
A
B
sin
C
⇒
22
sin
78
o
=
A
C
sin
64
o
=
A
B
sin
38
o
;
Suy ra:
A
C
=
22.
sin
64
o
sin
78
o
≈
20
,
2
;
A
B
=
22.
sin
38
o
sin
78
o
≈
13
,
8
Vậy tam giác ABC có:
A
^
=
78
o
;
B
^
=
64
o
,
C
^
=
38
o
; AB ≈ 13,8; AC ≈ 20,2; BC = 22.
c) Tam giác ABC có:
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
o
⇒
A
^
=
180
o
−
(
B
^
+
C
^
)
=
180
o
−
(
120
o
+
28
o
)
=
32
o
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
Suy ra:
B
C
=
22.
sin
32
o
sin
120
o
≈
13
,
5
;
A
B
=
22.
sin
28
o
sin
120
o
≈
11
,
9
.
Vậy tam giác ABC có:
A
^
=
32
o
;
B
^
=
120
o
,
C
^
=
28
o
; AB ≈ 11,9; AC = 22; BC = 13,5.
d) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:
cosA =
A
B
2
+
A
C
2
−
B
C
2
2.
A
B
.
A
C
=
23
2
+
32
2
−
44
2
2.23.32
=
−
383
1472
≈
−
0
,
26
⇒
A
^
≈
105
o
4
‘
cosB =
A
B
2
+
B
C
2
−
A
C
2
2.
A
B
.
B
C
=
23
2
+
44
2
−
32
2
2.23.44
=
1441
2024
≈
0
,
712
⇒
B
^
=
44
o
36
‘
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
o
⇒
C
^
=
180
o
−
(
A
^
+
B
^
)
=
180
o
−
(
105
o
4
‘
+
44
o
36
‘
)
=
30
o
20
‘
Vậy tam giác ABC có:
A
^
≈
105
o
4
‘
;
B
^
=
44
o
36
‘
;
C
^
=
30
o
20
‘
; AB = 23, AC = 32, BC = 44.
Bài 2 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Để lắp đường dây điện cao thế từ vị trí A đến vị trí B, do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km, sau đó nối đường dây từ vị trí C đến vị trí B dài 8 km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 70°. Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B.
Lời giải:
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
AB2 = AC2 + BC2 – 2.AC.BC.cosC = 102 + 82 – 2.10.8.cos70° ≈ 109,3
⇒ AB ≈
109
,
3
≈
10
,
5
Ta có : (AC + CB) – AB =(10 + 8) – 10,5 = 7,5.
Vậy vì không thể nối trực tiếp từ A đến B nên chiều dài dây tăng thêm 7,5 km.
Bài 3 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Một người đứng cách thân một cái quạt gió 16 m và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng 56,5° (Hình 8). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là 1,5 m.
Lời giải:
Gọi A, B, C, D lần lượt là điểm biểu diễn vị trí mắt của người quan sát, tâm cánh quạt, giao của hướng mắt nằm ngang và thân của quạt gió, vị trí chân cây quạt.
Vì tam giác ABC vuông tại C nên ta có : tanA =
B
C
A
C
=
B
C
16
⇒ BC = 16.tan A = 16.tan56,5° ≈ 24,2 m
Do đó: BD = BC + CD = 24,2 + 1,5 = 25,7 m.
Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất khoảng 25,7 m.
Bài 4 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Tính chiều cao AB của một ngọn núi. Biết tại hai điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất (B, C, D thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là 32° và 40° (Hình 9).
Lời giải:
Đặt BD = x km, khi đó ta có CB = BD + CD = x + 1.
Trong tam giác ABC vuông tại B ta có:
tan
A
C
B
^
=
tan
32
o
=
A
B
C
B
=
A
B
x
+
1
⇒
A
B
=
(
x
+
1
)
tan
32
o
=
x
tan
32
o
+
tan
32
o
(1)
Trong tam giác ABD vuông tại B ta có:
tan
A
D
B
^
=
tan
40
o
=
A
B
B
D
=
A
B
x
⇒
A
B
=
x
tan
40
o
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
x
tan
32
o
+
tan
32
o
=
x
tan
40
o
⇒
x
=
tan
32
o
tan
40
o
−
tan
32
o
≈
2
,
92
.
Suy ra AB = x.tan40° ≈ 2,92.tan40° ≈ 2,45 km.
Vậy chiều cao AB của một ngọn núi khoảng 2,45 km.
Bài 5 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm P và Q nằm ở sườn đồi nghiêng 32° so với phương ngang, cách nhau 60 m (Hình 10). Người quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là 62°. Cùng lúc đó, người quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là 70°. Tính khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu.
Lời giải:
Gọi R là vị trí của khinh khí cầu.
Do quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là 62° nên
R
P
Q
^
=
62
o
−
32
o
=
30
o
Do quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu là 70° nên
R
Q
P
^
=
180
o
−
(
70
o
−
32
o
)
=
142
o
Tam giác RPQ có:
R
^
+
R
P
Q
^
+
R
Q
P
^
=
180
o
⇒
R
^
=
180
o
−
(
R
P
Q
^
+
R
Q
P
^
)
=
180
o
−
(
30
o
+
142
o
)
=
8
o
Áp dụng định lí sin cho tam giác RPQ ta có:
R
Q
sin
R
P
Q
^
=
P
Q
sin
R
⇒
R
Q
sin
30
o
=
60
sin
8
o
⇒
R
Q
=
60
sin
30
o
sin
8
o
≈
215
,
6
Vậy khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu khoảng 215,6 m.
Bài 6 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao 352 m so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là 43°, góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là 62° và điểm mốc khác là 54° (Hình 11). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.
Lời giải:
Gọi vị trí người đứng ở trên tháp truyền hình là A, hai cột mốc ở dưới đất lần lượt là B và C, chân tháp truyền hình là D.
Khi đó ta có các tam giác ABD và ACD vuông tại D.
B
A
D
^
=
62
o
;
C
A
D
^
=
54
o
;
B
A
C
^
=
43
o
; AD = 352 m.
Trong tam giác ABD vuông tại D ta có:
cos
B
A
D
^
=
cos
62
o
=
A
D
A
B
=
352
A
B
⇒
A
B
=
352
cos
62
o
≈
749
,
8
Trong tam giác ACD vuông tại D ta có:
cos
C
A
D
^
=
cos
54
o
=
A
D
A
C
=
352
A
C
⇒
A
C
=
352
cos
54
o
≈
598
,
9
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC. cos
B
A
C
^
= 749,82 + 598,92 – 2.749,8.598,9. cos43° ≈ 264 044,9
⇒ BC =
264044
,
9
≈
513
,
9
m.
Vậy khoảng cách giữa hai cột mốc khoảng 513,9 m.