Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Chân Trời Sáng Tạo: tại đây

Hoạt động khởi động trang 33 Toán lớp 10 Tập 2:

(a + b)² = a² + 2ab + b²;

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Với số tự nhiên n > 3 thì công thức khai triển của biểu thức (a + b)ⁿ sẽ như thế nào?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:

Với n = 4, ta có:

(a + b)⁴ = [(a + b)²]² = [a² + 2ab + b²]² = [(a² + b²) + 2ab]²

= a⁴ + 2a²b² + b⁴ + 2(a² + b²).2ab + 4a²b² = a⁴ + 2a²b² + b⁴ + 2a³b + 2ab³ + 4a²b²

= a⁴ + 2a³b + 6a²b² + 2ab³ + b⁴.

(a + b)⁵ = (a + b)³(a + b)² = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)(a² + 2ab + b²)

= a⁵ + 2a⁴b + a³b² + 3a⁴b + 6a³b² + 3a²b³ + 3a³b² + 6a²b³ + 3ab⁴ + a²b³ + 2ab⁴ + b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Với n là một số tự nhiên ta có công thức tổng quát:

(a + b)ⁿ =

C


n


0



a


n


.


b


0


+


C


n


1



a



n


−


1



.


b


1


+


C


n


2



a



n


−


2



.


b


2


+

…

+


C


n


n



a


0


.


b


n

.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton hay, chi tiết khác:

Hoạt động khám phá trang 33 Toán lớp 10 Tập 2:

a) Xét công thức khai triển (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên.

ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên.

iii) Tính giá trị của

C


3


0


;


C


3


1


;


C


3


2


;


C


3


3

(có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của (a + b)⁴:

Tính giá trị của

C


4


0


,


C


4


1


,


C


4


2


,


C


4


3


,


C


4


4

, rồi so sánh với các hệ số của khai triển.

Từ đó, hãy sử dụng các kí hiệu

C


4


0


,


C


4


1


,


C


4


2


,


C


4


3


,


C


4


4

để viết lại công thức khai triển trên.

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của (a + b)⁵. Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Lời giải:

a) Xét công thức khai triển (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, có:

i) Các số hạng của khai triển trên là: a³; 3a²b; 3ab²; b³.

ii) Tương ứng với các số hạng ta có các hệ số xuất hiện trong khai triển trên lần lượt là: 1; 3; 3; 1.

Khi đó ta thấy

C


3


0


;


C


3


1


;


C


3


2


;


C


3


3

lần lượt bằng hệ số của các số hạng a³; 3a²b; 3ab²; b³ trong khai triển đã cho.

iii) Sử dụng máy tính ta có:

C


3


0


=

1

,

C


3


1


=

3

,

C


3


2


=

3

,

C


3


3


=

1

.

b) Ta có: (a + b)⁴ = (a + b)(a + b)³

= (a + b)(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

= a⁴ + 3a³b + 3a²b² + ab³ + a³b + 3a²b² + 3ab³ + b⁴

= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Bằng cách sử dụng mát tính, giá trị của

C


4


0


,


C


4


1


,


C


4


2


,


C


4


3


,


C


4


4

lần lượt là:

C


4


0


=

1

,


C


4


1


=

4

,


C


4


2


=

6

,


C


4


3


=

4

,


C


4


4


=

1

.

Khi đó ta thấy

C


4


0


,


C


4


1


,


C


4


2


,


C


4


3


,


C


4


4

lần lượt bằng hệ số của các số hạng a⁴; 4a³b; 6a²b²; 4ab³; b⁴ trong khai triển đã cho.

Bằng cách sử dụng các kí hiệu

C


4


0


,


C


4


1


,


C


4


2


,


C


4


3


,


C


4


4

, ta viết lại công thức khai triển trên như sau:

(a + b)⁴ =

C


4


0

a⁴ +

C


4


1

a³b +

C


4


2

a²b² +

C


4


3

ab³ +

C


4


4

b⁴.

c) Từ kết quả câu câu a) và b) ta có dự đoán sau:

(a + b)⁵ =

C


5


0

a⁵b⁰ +

C


5


1

a⁴b¹ +

C


5


2

a³b² +

C


5


3

a²b³ +

C


5


4

ab⁴ +

C


5


5

b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Kiểm tra dự đoán:

(a + b)⁵ = (a + b)³.(a + b)² = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)(a² + 2ab + b²)

= a⁵ + 2a⁴b + a³b² + 3a⁴b + 6a³b² + 3a²b³ + 3a³b² + 6a²b³ + 3ab⁴ + a²b³ + 2ab⁴ + b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton hay, chi tiết khác:

Thực hành 1 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

a) (x – 2)⁴;

b) (x + 2y)⁵.

Lời giải:

a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = -2, ta có:

(x – 2)⁴ =

C


4


0

x⁴ +

C


4


1

x³(-2) +

C


4


2

x²(-2)² +

C


4


3

x(-2)³ +

C


4


4

(-2)⁴

= x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16.

Vậy (x – 2)⁴ = x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16.

b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = 2y, ta có:

(x + 2y)⁵ =

C


5


0

x⁵(2y)⁰ +

C


5


1

x⁴(2y)¹ +

C


5


2

x³(2y)² +

C


5


3

x²(2y)³ +

C


5


4

x(2y)⁴ +

C


5


5

(2y)⁵

= x⁵ + 10x⁴y + 40x³y² + 80x²y³ + 80xy⁴ + 32y.

Vậy (x + 2y)⁵ = x⁵ + 10x⁴y + 40x³y² + 80x²y³ + 80xy⁴ + 32y.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton hay, chi tiết khác:

Thực hành 2 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

a)

C


4


0


+

2


C


4


1


+


2


2



C


4


2


+


2


3



C


4


3


+


2


4



C


4


4


=

81

;

b)

C


4


0


−

2


C


4


1


+


2


2



C


4


2


−


2


3



C


4


3


+


2


4



C


4


4


=

1

.

Lời giải:

a)

C


4


0


+

2


C


4


1


+


2


2



C


4


2


+


2


3



C


4


3


+


2


4



C


4


4


=

81

Ta có:

1


+


2




4


=


C


4


0



.1


4


+


C


4


1



.1


3


.2

+


C


4


2



.1


2



.2


2


+


C


4


3



.1


3



.2


3


+


C


4


4



.1.2


4

⇔

3


4


=


C


4


0


+


C


4


1


.2

+


C


4


2



.2


2


+


C


4


3



.2


3


+


C


4


4



.2


4

⇔

C


4


0


+

2


C


4


1


+


2


2



C


4


2


+


2


3



C


4


3


+


2


4



C


4


4


=

81

(đpcm).

b)

C


4


0


−

2


C


4


1


+


2


2



C


4


2


−


2


3



C


4


3


+


2


4



C


4


4


=

1

Ta có:

(1 – 2)⁴ =

C


4


0



.1


4


+


C


4


1



.1


3


.

(

−

2

)

+


C


4


2



.1


2


.



(


−


2


)



2


+


C


4


3


.1.




−


2




3


+


C


4


4


.



(


−


2


)



4

⇔(-1)⁴ =

C


4


0


−


C


4


1


+


C


4


2



.2


2


−


C


4


3



.2


3


+


C


4


4



.2


4

⇔1 =

C


4


0


−

2


C


4


1


+


2


2



C


4


2


−


2


3



C


4


3


+


2


4



C


4


4

(đpcm).

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton hay, chi tiết khác:

Vận dụng trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Lời giải:

Số lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó là:

C


4


0


+


C


4


1


+


C


4


2


+


C


4


3


+


C


4


4

(lựa chọn)

Mà theo công thức nhị thức Newton, ta có:

C


4


0


+


C


4


1


+


C


4


2


+


C


4


3


+


C


4


4


=


C


4


0



.1


4


+


C


4


1



.1


3


.1

+


C


4


2



.1


2



.1


2


+


C


4


3



.1


3


.1

+


C


4


4


.1

=




1


+


1




4


=


2


4


=

16

Vậy khách hàng có 16 lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a) (3x + y)⁴;

b)

x


−



2





5

.

Lời giải:

a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = 3x và b = y, ta có:

(3x + y)⁴ =

C


4


0


.




3


x




4


+


C


4


1


.




3


x




3


.

y

+


C


4


2


.




3


x




2


.


y


2


+


C


4


3


.




3


x




1


.


y


3


+


C


4


4


.


y


4

=

81


x


4


+

108


x


3


y

+

54


x


2



y


2


+

12

x


y


3


+


y


4

.

Vậy (3x + y)⁴

=

81


x


4


+

108


x


3


y

+

54


x


2



y


2


+

12

x


y


3


+


y


4

.

b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = 3x và b = y, ta có:

x


−



2





5

=

C


5


0

x⁵ +

C


5


1

x⁴.

−



2





1

+

C


5


2

x³

−



2





2

+

C


5


3

x²

−



2





3

+

C


5


4

x

−



2





4

+

C


5


5






−



2





5

= x⁵ –

5


2

x⁴ + 20x³ –

20


2

x² + 20x –

4


2

.

Vậy

x


−



2





5

=

C


5


0

x⁵ –

5


2

x⁴ + 20x³ –

20


2

x² + 20x –

4


2

.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton hay, chi tiết khác:

Bài 2 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

a)

2


+



2





4

;

b)

2


+



2





4


+




2


−



2





4

;

c)

1


−



3





5

.

Lời giải:

a)

2


+



2





4

=

C


4


0



2


4


+


C


4


1



.2


3




2



+


C


4


2



.2


2





2




2


+


C


4


3


.2.




2




3


+


C


4


4


.




2




4

= 16 + 32

2

+ 48 + 16

2

+ 4

=

68

+

48


2

.

Vậy

2


+



2





4


=

68

+

48


2

.

b) Ta có:

2


−



2





4

=

C


4


0



2


4


+


C


4


1



.2


3




−



2




+


C


4


2



.2


2





−



2





2


+


C


4


3


.2.




−



2





3


+


C


4


4


.




−



2





4

= 16 – 32

2

+ 48 – 16

2

+ 4

=

68

−

48


2

.

Khi đó:

2


+



2





4


+




2


−



2





4


=

68

+

48


2


+

68

−

40


2


=

136.

c)

1


−



3





5

=


C


5


0



.1


5


+


C


5


1



.1


4




−



3




+


C


5


2



.1


3





−



3





2


+


C


5


3



.1


2


.




−



3





3


+


C


5


4



.1


1





−



3





4


+


C


5


5


.




−



3





5

=

1

−

5


3


+

30

−

30


3


+

45

−

9


3

=

76

−

44


3

.

Vậy

1


−



3





5


=

76

−

44


3


.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton hay, chi tiết khác:

Bài 3 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm hệ số của x³ trong khai triển (3x – 2)⁵.

Lời giải:

Ta có:

(3x – 2)⁵

=

C


5


0


.




3


x




5


+


C


5


1


.




3


x




4


.



−


2



+


C


5


2


.




3


x




3





−


2




2


+


C


5


3


.




3


x




2


.




−


2




3


+


C


5


4


.




3


x




1





−


2




4


+


C


5


5


.




−


2




5

= 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32

Suy ra (3x – 2)⁵ = 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32.

Khi đó hệ số của x³ trong khai triển là 1 080.

Vậy hệ số của x³ trong khai triển là 1 080.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton hay, chi tiết khác:

Bài 4 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

C


5


0


−


C


5


1


+


C


5


2


−


C


5


3


+


C


5


4


−


C


5


5


=

0

.

Lời giải:

Ta có:

C


5


0


−


C


5


1


+


C


5


2


−


C


5


3


+


C


5


4


−


C


5


5

=


C


5


0



.1


5


+


C


5


1



.1


4


.




−


1




1


+


C


5


2



.1


3


.




−


1




2


+


C


5


3



.1


2


.




−


1




3


+


C


5


4



.1


1


.




−


1




4


+


C


5


5


.




−


1




5

= (1 – 1)⁵ = 0 (nhị thức Newton).

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton hay, chi tiết khác:

Bài 5 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Cho A = {a1; a2; a3; a4; a5} là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A.

Lời giải:

Tập con có 0 phần tử của tập hợp A gồm 1 tập là tập

∅

.

Tập con có 1 phần tử của tập hợp A gồm 5 tập là các tập hợp {a₁}, {a₂}, {a₃}, {a₄}, {a₅}.

Tập con có 2 phần tử của tập hợp A gồm 10 tập là các tập hợp {a₁; a₂}, {a₁; a₃}, {a₁; a₄}, {a₁; a₅}, {a₂; a₃}, {a₂; a₄}, {a₂; a₅}, {a₃; a₄}, {a₃; a₅}, {a₄; a₅}.

Tập con có 3 phần tử của tập hợp A gồm 10 tập là các tập hợp {a₁; a₂; a₃}, {a₁; a₂; a₄}, {a₁; a₂; a₅}, {a₁; a₃; a₄}, {a₁; a₃; a₅}, {a₁; a₄; a₅}, {a₂; a₃; a₄}, {a₂; a₃; a₅}, {a₂; a₄; a₅}, {a₃; a₄; a₅}.

Số tập con có 4 phần tử của tập hợp A gồm 5 tập là các tập hợp {a₁; a₂; a₃; a₄}, {a₁; a₂; a₄; a₅}, {a₁; a₂; a₃; a₅}, {a₁; a₃; a₄; a₅}, {a₂; a₃; a₄; a₅}.

Số tập con có 5 phần tử của tập hợp A gồm 1 tập là tập A = {a₁; a₂; a₃; a₄; a₅}.

Suy ra số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A là 5 + 10 + 1 = 16 tập, số tập hợp con có số chẵn (0; 4; 6) phần tử của A là 1 + 10 + 5 = 16 tập.

Vậy số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton hay, chi tiết khác: