Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây
Mở đầu trang 60 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Sau bài học này ta có thể trả lời câu hỏi này như sau:
Dựa vào thông tin trên, ta có thể dự đoán được tâm bão tại thời điểm bất kì trong khoảng thời gian 12 giờ đó.
HĐ1 trang 60 Toán 10 Tập 1:
O
A
→
=
i
→
(H.4.32a). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số
−
3
2
.
Hãy biểu thị mỗi vecto
O
M
→
,
O
N
→
theo vecto đơn vị
i
→
.
Lời giải:
Ta có vecto
O
M
→
cùng hướng với vecto
O
A
→
và OM = 4OA nên ta có
O
M
→
=
4
O
A
→
=
4
i
→
.
Ta có vecto
O
N
→
ngược hướng với vecto
O
A
→
và ON =
3
2
OA nên ta có
O
N
→
=
−
3
2
O
A
→
=
−
3
2
i
→
.
HĐ2 trang 61 Toán 10 Tập 1:
a) Hãy biểu thị mỗi vecto
O
M
→
,
O
N
→
theo các vecto
i
→
,
j
→
.
b) Hãy biểu thị vecto
M
N
→
theo các vecto
O
M
→
,
O
N
→
từ đó biểu thị vecto
M
N
→
theo các vecto
i
→
,
j
→
.
Lời giải:
a) Xét hình bình hành OAMB, có:
O
M
→
=
O
A
→
+
O
B
→
=
3
i
→
+
5
j
→
(quy tắc hình bình hành)
Xét hình bình hành OCND, có:
O
N
→
=
O
C
→
+
O
D
→
=
−
2
i
→
+
5
2
j
→
(quy tắc hình bình hành)
b) Xét tam giác OMN, có:
M
N
→
=
O
N
→
−
O
M
→
(quy tắc ba điểm)
M
N
→
=
O
N
→
−
O
M
→
=
−
2
i
→
+
5
2
j
→
−
3
i
→
+
5
j
→
=
−
5
i
→
−
5
2
j
→
.
Luyện tập 1 trang 61 Toán 10 Tập 1:
0
→
.
Lời giải:
Ta có:
0
→
=
0.
i
→
+
0.
j
→
⇒
0
→
0
;
0
.
Vậy tọa độ của
0
→
là
0
→
0
;
0
.
HĐ3 trang 61 Toán 10 Tập 1:
u
→
=
2
;
−
3
,
v
→
=
4
;
1
,
a
→
=
8
;
−
12
.
a) Hãy biểu thị mỗi vecto
u
→
,
v
→
,
a
→
theo các vecto
i
→
,
j
→
.
b) Tìm tọa độ của các vecto
u
→
+
v
→
,
4
u
→
.
c) Tìm mối liên hệ giữa hai vecto
u
→
,
a
→
.
Lời giải:
a) Ta có:
u
→
=
2
;
−
3
⇒
u
→
=
2
i
→
−
3
j
→
;
v
→
=
4
;
1
⇒
v
→
=
4
i
→
+
j
→
;
a
→
=
8
;
−
12
⇒
a
→
=
8
i
→
−
12
j
→
.
b) Ta có:
u
→
+
v
→
=
2
i
→
−
3
j
→
+
4
i
→
+
j
→
=
6
i
→
−
2
j
→
⇒
u
→
+
v
→
=
6
;
−
2
4
u
→
=
4
2
i
→
−
3
j
→
=
8
i
→
−
12
j
→
⇒
4
u
→
=
8
;
−
12
.
c) Ta có
a
→
=
8
;
−
12
=
4
u
→
.
HĐ4 trang 62 Toán 10 Tập 1:
a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị
O
P
→
theo
i
→
và tính độ dài của
O
P
→
theo x0.
b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị
O
Q
→
theo
j
→
và tính độ dài của
O
P
→
theo y0.
c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của
O
M
→
theo x0, y0.
d) Biểu thị
O
M
→
theo các vecto
i
→
,
j
→
.
Lời giải:
a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn cho số x0;
Độ dài đoạn thẳng OP = |x0| = x0.
Ta có vecto
O
P
→
cùng hướng với vecto
i
→
và OP = x0 nên
O
P
→
=
x
0
i
→
.
b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn cho số y0;
Độ dài đoạn thẳng OQ = |y0| = y0.
Ta có vecto
O
Q
→
cùng hướng với vecto
j
→
và OQ = y0 nên
O
Q
→
=
y
0
j
→
.
c) Xét tam giác OPM vuông tại P, có:
O
M
=
O
P
2
+
M
P
2
=
O
P
2
+
O
Q
2
=
x
0
2
+
y
0
2
.
Vậy
O
M
→
=
x
0
2
+
y
0
2
.
d) Ta có
O
M
→
=
O
P
→
+
O
Q
→
=
x
0
i
→
+
y
0
j
→
.
HĐ5 trang 62 Toán 10 Tập 1:
a) Tìm tọa độ của các vecto
O
M
→
,
O
N
→
.
b) Biểu thị vecto
M
N
→
theo các vecto
O
M
→
,
O
N
→
và tìm tọa độ của
M
N
→
.
c) Tìm độ dài của vecto
M
N
→
.
Lời giải:
a) Ta có M(x; y)
⇒
O
M
→
x
;
y
Ta lại có: N(x’; y’)
⇒
O
N
→
x
‘
;
y
‘
b) Ta có:
M
N
→
=
O
N
→
−
O
M
→
Khi đó tọa độ của vecto
M
N
→
là
M
N
→
=
x
‘
−
x
;
y
‘
−
y
.
c) Độ dài của vecto
M
N
→
là
M
N
→
=
x
‘
−
x
2
+
y
‘
−
y
2
.
Luyện tập 2 trang 63 Toán 10 Tập 1:
a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?
b) Tìm điểm M(x;y) để OABM là một hình bình hành.
Lời giải:
a) Hai vecto
O
A
→
2
;
1
,
O
B
→
3
;
3
không cùng phương (vì
2
3
≠
1
3
). Do đó các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.
b) Các điểm O, A, B không thẳng hàng
Để OABM là hình bình hành khi và chỉ khi
O
A
→
=
M
B
→
Ta có:
O
A
→
2
;
1
,
M
B
→
3
−
x
;
3
−
y
nên
2
=
3
−
x
1
=
3
−
y
⇔
x
=
1
y
=
2
⇒
M
1
;
2
.
Vậy điểm cần tìm là M(1;2).
Vận dụng trang 64 Toán 10 Tập 1:
Trong 12 giờ, tâm bão được dự báo di chuyển thẳng đều từ A(13,8; 108,3) tới vị trí có tọa độ B(14,1; 106,3). Gọi tọa độ của M là (x;y). Bạn hãy tìm mối liên hệ giữa hai vecto
A
M
→
và
A
B
→
rồi thể hiện mối quan hệ đó theo tọa độ để tìm x; y.
Lời giải:
Do vật di chuyển thẳng đều nên điểm M thuộc vào đoạn thẳng AB.
Do đó
A
M
→
cùng phương với
A
B
→
Ta có:
A
M
→
x
−
13
,
8
;
y
−
108
,
3
,
A
B
→
0
,
3
;
−
2
Để
A
M
→
cùng phương với
A
B
→
thì tồn tại k ∈ ℝ thỏa mãn
A
M
→
=
k
A
B
→
⇔
x
−
13
,
8
=
k
.0
,
3
y
−
108
,
3
=
−
2
k
⇔
x
=
k
.0
,
3
+
13
,
8
y
=
−
2
k
+
108
,
3
Ta có vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ dự báo nên
k
=
A
M
A
B
=
9
12
=
3
4
⇒
x
=
3
4
.0
,
3
+
13
,
8
=
14
,
025
y
=
−
2.
3
4
+
108
,
3
=
106
,
8
⇒
M
14
,
025
;
106
,
8
Vậy ở thời điểm 9 giờ tâm bão là điểm M ở vị trí M(14,025; 106,8).
Bài 4.16 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1;3), N(4;2).
a) Tính độ dài của các đoạn thẳng OM, ON, MN.
b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.
Lời giải:
a) Ta có M(1;3)
⇒
O
M
→
1
;
3
⇒
O
M
=
1
2
+
3
2
=
10
.
Ta lại có N(4;2)
⇒
O
N
→
4
;
2
⇒
O
N
=
4
2
+
2
2
=
20
=
2
5
.
⇒
M
N
→
=
O
N
→
−
O
M
→
=
−
3
;
1
⇒
M
N
=
−
3
2
+
1
2
=
10
b) Xét tam giác OMN, có:
O
M
=
O
N
=
10
nên tam giác OMN cân tại O.
Ta có:
O
N
2
=
2
5
2
=
20
,
O
M
2
+
O
N
2
=
10
2
+
10
2
=
20
⇒
O
N
2
=
O
M
2
+
O
N
2
Theo định lí Py – ta – go đảo suy ra tam giác OMN vuông tại O.
Do đó tam giác OMN vuông cân tại O.
Bài 4.17 trang 65 Toán 10 Tập 1:
a
→
=
3
i
→
−
2
j
→
,
b
→
4
;
−
1
và các điểm M(-3;6), N(3;-3).
a) Tìm mối liên hệ giữa các vecto
M
N
→
và
2
a
→
−
b
→
.
b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?
c) Tìm điểm P(x;y) để OMPN là hình bình hành.
Lời giải:
a) Vì
a
→
=
3
i
→
−
2
j
→
nên
a
→
=
3
;
−
2
⇒
2
a
→
=
6
;
−
4
⇒
2
a
→
−
b
→
=
6
−
4
;
−
4
+
1
=
2
;
−
3
=
2
i
→
−
3
j
→
Ta có:
M
N
→
6
;
−
9
=
6
i
→
−
9
j
→
=
3
2
i
→
−
3
j
→
=
3
2
a
→
−
b
→
b) Ta có M(-3;6)
⇒
O
M
→
−
3
;
6
và N(3;-3)
⇒
O
N
→
3
;
−
3
Hai vecto
O
M
→
−
3
;
6
,
O
N
→
3
;
−
3
không cùng phương (vì
−
3
3
≠
6
−
3
). Suy ra các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng. Do đó O, M, N không thẳng hàng.
c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng
Để OMNP là hình bình hành khi và chỉ khi
O
M
→
=
P
N
→
Ta có:
O
M
→
−
3
;
6
,
P
N
→
3
−
x
;
−
3
−
y
nên
−
3
=
3
−
x
6
=
−
3
−
y
⇔
x
=
6
y
=
−
9
⇒
P
6
;
−
9
.
Vậy điểm cần tìm là P(6;-9).
Bài 4.18 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1;3), B(2;4), C(-3;2).
a) Hãy giải thích vì sao các điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tìm điểm D(x; y) để O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.
Lời giải:
a) Ta có:
A
B
→
1
;
1
,
A
C
→
−
4
;
−
1
Hai vecto
A
B
→
1
;
1
,
A
C
→
−
4
;
−
1
không cùng phương (vì
1
−
4
≠
1
−
1
). Suy ra các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng. Do đó A, B, C không thẳng hàng.
b) Gọi toạ độ điểm M là: M(x1;y1)
Vì M là trung điểm của AB nên ta có:
x
1
=
1
+
2
2
y
1
=
3
+
4
2
⇔
x
1
=
3
2
y
1
=
7
2
⇒
M
3
2
;
7
2
.
Vậy điểm cần tìm là
M
3
2
;
7
2
.
c) Gọi toạ độ điểm G là: M(x2;y2)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
x
2
=
1
+
2
+
−
3
3
y
2
=
3
+
4
+
2
3
⇔
x
1
=
0
y
1
=
3
⇒
G
0
;
3
.
Vậy tọa độ điểm G(0;3).
d) Để O(0;0) là tọa độ trọng tâm tam giác ABD thì:
0
=
1
+
2
+
x
3
0
=
3
+
4
+
y
3
⇔
x
+
3
=
0
y
+
7
=
0
⇔
x
=
−
3
y
=
−
7
Vậy D(-3;-7) thì O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.
Bài 4.19 trang 65 Toán 10 Tập 1:
v
→
=
3
;
4
.
Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.
Lời giải:
Gọi A’(x’; y’) là vị trí tàu thủy đến sau khi khởi hành 1,5 giờ.
Khi đó, ta có:
x
‘
=
1
+
1
,
5.3
y
‘
=
2
+
1
,
5.4
⇔
x
‘
=
5
,
5
y
‘
=
8
⇒
A
‘
5
,
5
;
8
Vậy sau khi khởi hành 1,5 giờ thì tàu thủy đến được vị trí A’(5,5;8).
Bài 4.20 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.38, quân mã đang vị trí có tọa độ (1;2). Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?
Lời giải:
Cách di chuyển của quân mã là đi theo hình chữ L, nên quân mã có thể đi đến các vị trí trống sau trên bàn cờ:
Tọa độ của các vị trí là: O(0;0), A(0;4), D(2;4), E(3;3), B(3;1), C(2;0).