Chương 4: Vectơ

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây

HĐ1 trang 66 Toán 10 Tập 1:




A


B






 và




A


C






. Hãy tìm số đo các góc giữa




B


C






 và




B


D






,




D


A






 và




D


B






.

Lời giải:

Số đo góc giữa




B


C






 và




B


D






 là góc CBD bằng 300.

Xét tam giác BCD, có:




B


C


A



^


=



C


B


D



^


+



C


D


B



^






C


D


B



^


=



B


C


A



^






C


B


D



^


=


80


0





30


0


=


50


0


Suy ra số đo góc giữa




D


A






 và




D


B






là góc CDB bằng 500.

Vậy số đo góc giữa




B


C






 và




B


D






 bằng 300, số đo góc giữa




D


A






 và




D


B






là góc CDB bằng 500.

Câu hỏi trang 66 Toán 10 Tập 1:

Lời giải:

Góc giữa hai vecto bằng 00 khi hai vecto cùng hướng.

Góc giữa hai vecto bằng 1800 khi hai vecto ngược hướng (hoặc đối nhau).

Luyện tập 1 trang 66 Toán 10 Tập 1:






A


B







,




B


C








.

Lời giải:

Lấy điểm D thỏa mãn ABCD là hình bình hành, khi đó: 




A


D






=



B


C






.

Vì tam giác ABC đều nên 




A


B


C



^


=



A


C


B



^


=



B


A


C



^


=


60


0







D


A


C



^


=



A


C


B



^


=


60


0


 (hai góc so le trong)






B


A


D



^


=


120


0


Ta có:






A


B







,




B


C








=





A


B







,




A


D








=



B


A


D



^


=


120


0


.

Vậy






A


B







,




B


C








=


120


0


.

Câu hỏi trang 67 Toán 10 Tập 1:



u





,


v





 là một số dương? Là một số âm?

Lời giải:

Tích vô hướng của hai vecto



u





,


v








0





 được tính bởi công thức sau:



u





.


v





=



u






.



v






.

c

os




u






,



v







.




u






>

0

,



v






>

0

 nên dấu của



u





.


v





 phụ thuộc vào dấu của


c

os




u






,



v







.

Nếu tích vô hướng của hai vecto



u





,


v





 là một số dương thì


c

os




u






,



v







>

0.

 Do đó góc giữa hai vecto



u





,


v





 là góc nhọn hoặc bằng 00.

Nếu tích vô hướng của hai vecto



u





,


v





 là một số âm thì


c

os




u






,



v







<

0.

 Do đó góc giữa hai vecto



u





,


v





 là góc tù hoặc bằng 1800.

Câu hỏi trang 67 Toán 10 Tập 1:






u






.



v








2


=



u






2


.



v






2


?

Lời giải:

Ta có: 



u





.


v





=



u






.



v






.

c

os




u






,



v














u






.



v








2


=






u







.




v







.


c


os





u






,



v










2



=



u






2


.



v






2


.

c


os


2





u






,



v







Để






u






.



v








2


=



u






2


.



v






2


thì 


c


os


2





u






,



v







=

1








c


os





u






,



v








=


1






c


os





u






,



v








=





1














u






,



v








=



0


0










u






,



v








=



180


0






Vậy khi góc giữa hai vecto



u





,


v





 là 00 hoặc 1800 thì 






u






.



v








2


=



u






2


.



v






2


.

Luyện tập 2 trang 67 Toán 10 Tập 1:




A


B






.



A


C






 theo a, b, c.

Lời giải:

Ta có: 




A


B






.



A


C






=

A

B

.

A

C

.

c

os





A


B







.




A


C









=

A

B

.

A

C

.

cos

B

A

C

=

b

c

.

c

osBAC

Theo định lí cos, ta có:


cosBAC=




b


2



+



c


2







a


2





2


b


c






A


B






.



A


C






=

b

c

.




b


2



+



c


2







a


2





2


b


c




=




b


2



+



c


2







a


2




2


.

Vậy 




A


B






.



A


C






=




b


2



+



c


2







a


2




2


.

HĐ2 trang 68 Toán 10 Tập 1:



u





=



x


;


y



 và



v





=



k


x


;


k


y



.

 Hãy kiểm tra công thức



u





.


v





=

k




x


2



+



y


2




 theo từng trường hợp sau:

a) 



u





=


0





;

b)



u








0





và 


k



0

;

c)



u








0





 và k < 0. 

Lời giải:

a) Ta có: 



u





=


0











x


=


0






y


=


0







0





vuông góc với mọi vecto nên ta có: 



u





.


v





=

0

Ta lại có:

 


k




x


2



+



y


2




=

k




0


2



+



0


2




=

0





u





.


v





=

k




x


2



+



y


2




Vậy với



u





=


0





 công thức đã cho đúng.

b) Vì k ≥ 0 nên hai vecto



u





,


v





 cùng hướng







u






,



v







=


0


0


Ta có:



u





.


v





=



u








v






c

o

s




u






,



v








=



x


2



+



y


2



.





k


x




2



+





k


y




2



.cos




u






,



v








=


k





x


2



+



y


2




.

c

os


0


0


=

k




x


2



+



y


2




.

Vậy với



u








0





 và


k



0

 công thức đã cho đúng.

c) Vì k < 0 nên hai vecto



u





,


v





 ngược hướng







u






,



v







=


180


0


Ta có:



u





.


v





=



u








v






c

o

s




u






,



v








=



x


2



+



y


2



.





k


x




2



+





k


y




2



.cos




u






,



v








=


k





x


2



+



y


2




.

c

os18


0


0



=



k




x


2



+



y


2









1



=

k




x


2



+



y


2




.

Vậy với



u








0





 và k < 0 công thức đã cho đúng.

HĐ3 trang 68 Toán 10 Tập 1:



u







x


;


y



 và



v







x





;


y






.

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho 




O


A






=


u





,



O


B






=


v





.

b) Tính AB2, OA2, OB2 theo tọa độ của A và B.

c) Tính




O


A






.



O


B






 theo tọa độ của A, B.

Lời giải:

a) Vì



u







x


;


y



 và




O


A






=


u





 nên A(x;y)



v







x





;


y






 và




O


B






=


v





 nên B(x’;y’)

b) Ta có:




A


B








x








x


;


y








y





A

B

=





x








x




2



+





y








y




2





A


B


2


=




x








x




2


+




y








y




2


.




O


A






=



x


;


y





O

A

=



x


2



+



y


2





O


A


2


=


x


2


+


y


2


.




O


B






=



x





;


y








O

B

=


x






2



+


y






2





O


B


2


=

x





2


+

y





2


.

c) Theo định lí Cô sin, ta có:




O


A






.



O


B






=



O



A


2



+


O



B


2






A



B


2




2



=




x


2



+



y


2



+


x






2



+


y






2









x








x




2









y








y




2




2



=



2


x


x





+


2


y


y






2


=

x

x



+

y

y



Luyện tập 3 trang 68 Toán 10 Tập 1:



u







0


;





5



,


v








3



;


1



Lời giải:

Tích vô hướng của hai vecto 



u





.


v





=

0.


3




5.1

=



5.

Ta lại có: 



u





.


v





=



u






.



v






.

c

o

s




u






.



v










c

o

s




u






.



v







=




u






.



v










u







.




v








=






5



5.2


=




1


2








u






.



v







=


120


0


.

Vậy



u





.


v





=



5

 và góc giữa hai vecto



u





,


v





 bằng 1200.

HĐ4 trang 68 Toán 10 Tập 1:



u








x


1



;



y


1




,


v








x


2



;



y


2




,


w








x


3



;



y


3




.

a) Tính



u








v






+



w







,


u





.


v





+


u





.


w





theo tọa độ các vecto 



u





,


v





,


w





.

b) So sánh



u








v






+



w







 và



u





.


v





+


u





.


w





.

c) So sánh



u





.


v





 và



v





.


u





.

Lời giải:

a) Ta có: 



v





+


w





=




x


2



+



x


3



;



y


2



+



y


3








u








v






+



w







=


x


1


.




x


2



+



x


3




+


y


1





y


2



+



y


3





=


x


1



x


2


+


x


1



x


3


+


y


1


.


y


2


+


y


1


.


y


3


 (1)

Ta có:



u





.


v





=


x


1


.


x


2


+


y


1


.


y


2


,


u





.


w





=


x


1


.


x


3


+


y


1


.


y


3






u





.


v





+


u





.


w





=


x


1


.


x


2


+


y


1


.


y


2


+


x


1


.


x


3


+


y


1


.


y


3


(2)

b) Từ (1) và (2) suy ra: 



u








v






+



w







=


u





.


v





+


u





.


w





.

c) Ta có: 



u





.


v





=


x


1


.


x


2


+


y


1


.


y


2


;


v





.


u





=


x


2


.


x


1


+


y


2


.


y


1



=


x


1


.


x


2


+


y


1


.


y


2


.





u





.


v





=


v





.


u





.

Luyện tập 4 trang 70 Toán 10 Tập 1:

a) Chứng minh rằng




A


H






.



B


C






=


0





và 




B


H






.



C


A






=


0





.

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Lời giải:

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC 






A


H






.



B


C






=

0

và BH ⊥ AC 






B


H






.



A


C






=

0

b) Gọi tọa độ điểm H(x;y), ta có:




A


H








x


+


1


;


y





2



,



B


H








x





8


;


y


+


1



,



B


C








0


;


9



,



A


C








9


;


6








A


H






.



B


C






=



x


+


1



.0

+



y





2



.9

=

0



y



2

=

0



y

=

2.






B


H






.



A


C






=



x





8



.9

+



y


+


1



.6

=

9

x

+

6

y



66

=

0

Thay y = 2 vào biểu thức 9x + 6y – 66 = 0 ta được:

9x + 6.2 – 66 = 0

⇔ 9x = 54

⇔ x = 6

⇒ H(6; 2)

Vậy H(6;2).

c) Ta có:




A


B






=



9


;





3





A

B

=



9


2



+








3




2



=

3


10


.




A


C








9


;


6





A

C

=



9


2



+



6


2



=

3


13


.




B


C








0


;


9





B

C

=



0


2



+



9


2



=

9.

Ta lại có:




A


B






.



A


C






=

A

B

.

A

C

.

c

o

s



B


A


C



^





9.9

+






3



.6

=

3


10


.3


13


.

c

o

s



B


A


C



^





63

=

9


130


.

c

o

s



B


A


C



^





c

o

s



B


A


C



^


=


7



130







B


A


C



^




52

,


13


0


.

Ta có: 




B


A






=






9


;


3






B


A






.



B


C






=

B

A

.

B

C

.

c

o

s



A


B


C



^










9



.0

+

3.9

=

3


10


.9.

c

o

s



A


B


C



^





27

=

27


10


.

c

o

s



A


B


C



^





c

o

s



A


B


C



^


=


1



10







A


B


C



^




71

,


57


0


.






A


C


B



^





180


0




71

,


57


0




52

,


13


0




56

,


3


0


.

Vậy 


A

B

=

3


10


,

A

C

=

3


13


,

B

C

=

9

,




B


A


C



^




52

,


13


0


,



A


B


C



^




71

,


57


0


,



A


C


B



^




56

,


3


0


.

Vận dụng trang 70 Toán 10 Tập 1:



F





 không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng đều từ A đến B. Lực



F





 được phân tích thành hai lực thành phần




F


1






và 




F


2









F






=




F


1







+




F


2








a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực



F





 (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực




F


1






và 




F


2






.

b) Giả sử các lực thành phần




F


1






 và




F


2






 tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực



F





và lực 




F


1






.

Lời giải:

a) Một lực



F





 tác động lên một vật làm vật dịch chuyển tính tiến theo một vecto độ rời



s





.

Ta có: công sinh bởi lực



F





 là



A



F






=


F





.


s





=

F

.

s

.

c

os




F






,



s







=

F

.

s

.

c

os




F






,




F


1








Mặt khác 


F

.

c

os




F






,




F


1








=


F


1






A



F






=


F


1


.

s

Công sinh bởi lực




F


1






là:

 



A




F


1







=



F


1






.


s





=


F


1


.

s

.

c

os





F


1







,



s








=


F


1


.

s

.

c


os0


0


=


F


1


.

s

Công sinh bởi lực




F


2






là:



A




F


2







=



F


2






.


s





=


F


2


.

s

.

c

os





F


2







,



s








=


F


2


.

s

.

c


os90


0


=

0





A




F


1







+


A




F


2







=


F


1


.

s

Do đó 



A



F






=


A




F


1







+


A




F


2







.

b) Ta có:



A



F






=


F





.


s





=

F

.

s

.

c

os




F






,



s







=

F

.

s

.

c

os




F






,




F


1








Mặt khác 


F

.

c

os




F






,




F


1








=


F


1






A



F






=


F


1


.

s

Ta lại có: 



A




F


1







=



F


1






.


s





=


F


1


.

s

.

c

os





F


1







,



s








=


F


1


.

s

.

c


os0


0


=


F


1


.

s





A



F






=


A




F


1







.

Bài 4.21 trang 70 Toán 10 Tập 1:



a





 và



b





 trong mỗi trường hợp sau:

a) 



a










3


;


1



,


b







2


;


6



;

b) 



a







3


;


1



,


b







2


;


4



;

c) 



a











2



;


1



,


b







2


;






2




;

Lời giải:

a) Ta có: 



a





.


b





=






3



.2

+

1.6

=

0






a






,



b







=


90


0


.

b)  Ta có: 



a





.


b





=

3.2

+

1.4

=

10




a






=



3


2



+



1


2



=


10


,



b






=



2


2



+



4


2



=

2


5




a





.


b





=



a






.



b






.

c

os




a






,



b









c

os




a






,



b







=




a






.



b










a







.




b








=


10




10



.2



5




=


1



2








a






,



b







=


45


0


.

c) Ta có:



a





.


b





=







2




.2

+

1.







2




=



3


2





a






=









2





2



+



1


2



=


3


,



b






=



2


2



+









2





2



=


6




a





.


b





=



a






.



b






.

c

os




a






,



b









c

os




a






,



b







=




a






.



b










a







.




b








=






3



2






3



.



6




=



1






a






,



b







=


180


0


.

Bài 4.22 trang 70 Toán 10 Tập 1:



u





,


v





 để:

a) 



u





.


v





=



u






.



v






;

b) 



u





.


v





=





u






.



v






;

Lời giải:

a) Ta có: 



u





.


v





=



u






.



v






.

cos




u






,



v







Để



u





.


v





=



u






.



v






thì 


cos




u






,



v







=

1






u






,



v







=


0


0


Suy ra



u





,


v





 là hai vecto cùng hướng.

b) Ta có: 



u





.


v





=



u






.



v






.

cos




u






,



v







Để



u





.


v





=





u






.



v






 thì


cos




u






,



v







=



1






u






,



v







=


180


0


Suy ra



u





,


v





 là hai vecto ngược hướng.

Bài 4.23 trang 70 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2), B(-4;3). Gọi M(t;0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính




A


M






.



B


M






 theo t.

b) Tính t để 




A


M


B



^


=


90


0


.

Lời giải:

a) Ta có:




A


M








t





1


;





2



,



B


M








t


+


4


;





3



.






A


M






.



B


M






=



t





1





t


+


4



+






2



.






3



=


t


2


+

3

t

+

2.

b) Để




A


M


B



^


=


90


0


thì 




A


M






.



B


M






=

0





t


2


+

3

t

+

2

=

0







t


=





1






t


=





2





Vậy với t = -1 hoặc t = – 2 thì 




A


M


B



^


=


90


0


.

Bài 4.24 trang 70 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4;1), B(2;4), C(2;-2).

a) Giải tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Ta có:




A


B








6


;


3





A

B

=



6


2



+



3


2



=

3


5


;




A


C








6


;





3





A

C

=



6


2



+








3




2



=

3


5


;




B


C








0


;





6





B

C

=



0


2



+








6




2



=

6

;

Theo định lí cosin, ta có:


cos

A

=



A



B


2



+


A



C


2






B



C


2





2.


A


B


.


A


C



=


3


5






A


^




53

,


13


0


;

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A





B


^


=


C


^


=




180


0







A


^




2




63

,


44


0


.

Vậy 


A

B

=

A

C

=

3


5


,

B

C

=

6

,



A


^


=

53

,


13


0


,


B


^


=


C


^


=

63

,


44


0


.

b) Gọi trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x;y)

Khi đó, ta có:




A


H








x


+


4


;


y





1



;



B


C








0


;





6



;



B


H








x





2


;


y





4



;



A


C








6


;





3



Vì AH ⊥ BC ⇒ 




A


H






.



B


C






= 0 ⇔ (x + 4).0 + (y – 1).(–6) = 0 ⇔ y = 1

Vì BH ⊥ AC ⇒ 




B


H






.



A


C






= 0 ⇔ (x – 2).6 + (y – 4).(–3) = 0

⇔ (x – 2).2 + (y – 4).(–1) = 0

⇔ 2x – y = 0

Mà y = 1 ⇒ 2x – 1 = 0 




x

=


1


2


.

Bài 4.25 trang 70 Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:



S



A


B


C



=


1


2






A


B







2



.





A


C







2











A


B







.




A


C









2



.

Lời giải:

Ta có:

Bài 4.26 trang 70 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.

Lời giải:

Ta có:




G


A






+



G


B






+



G


C






=


0





 (tính chất trọng tâm tam giác)






M


G






.





G


A







+




G


B







+




G


C








=



M


G






.


0





=

0




M


A


2


+

 

M


B


2


+

 

M


C


2


=

3




M


G







2


+




G


A







2


+




G


B







2


+




G


C







2


.

 

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình 5 / 5. Số lượt đánh giá: 947

Chưa có ai đánh giá! Hãy là người đầu tiên đánh giá bài này.

--Chọn Bài--

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!

Tải xuống