Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây
HĐ1 trang 66 Toán 10 Tập 1:
A
B
→
và
A
C
→
. Hãy tìm số đo các góc giữa
B
C
→
và
B
D
→
,
D
A
→
và
D
B
→
.
Lời giải:
Số đo góc giữa
B
C
→
và
B
D
→
là góc CBD bằng 300.
Xét tam giác BCD, có:
B
C
A
^
=
C
B
D
^
+
C
D
B
^
⇔
C
D
B
^
=
B
C
A
^
−
C
B
D
^
=
80
0
−
30
0
=
50
0
Suy ra số đo góc giữa
D
A
→
và
D
B
→
là góc CDB bằng 500.
Vậy số đo góc giữa
B
C
→
và
B
D
→
bằng 300, số đo góc giữa
D
A
→
và
D
B
→
là góc CDB bằng 500.
Câu hỏi trang 66 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Góc giữa hai vecto bằng 00 khi hai vecto cùng hướng.
Góc giữa hai vecto bằng 1800 khi hai vecto ngược hướng (hoặc đối nhau).
Luyện tập 1 trang 66 Toán 10 Tập 1:
A
B
→
,
B
C
→
.
Lời giải:
Lấy điểm D thỏa mãn ABCD là hình bình hành, khi đó:
A
D
→
=
B
C
→
.
Vì tam giác ABC đều nên
A
B
C
^
=
A
C
B
^
=
B
A
C
^
=
60
0
⇒
D
A
C
^
=
A
C
B
^
=
60
0
(hai góc so le trong)
⇒
B
A
D
^
=
120
0
Ta có:
A
B
→
,
B
C
→
=
A
B
→
,
A
D
→
=
B
A
D
^
=
120
0
.
Vậy
A
B
→
,
B
C
→
=
120
0
.
Câu hỏi trang 67 Toán 10 Tập 1:
u
→
,
v
→
là một số dương? Là một số âm?
Lời giải:
Tích vô hướng của hai vecto
u
→
,
v
→
≠
0
→
được tính bởi công thức sau:
u
→
.
v
→
=
u
→
.
v
→
.
c
os
u
→
,
v
→
.
Vì
u
→
>
0
,
v
→
>
0
nên dấu của
u
→
.
v
→
phụ thuộc vào dấu của
c
os
u
→
,
v
→
.
Nếu tích vô hướng của hai vecto
u
→
,
v
→
là một số dương thì
c
os
u
→
,
v
→
>
0.
Do đó góc giữa hai vecto
u
→
,
v
→
là góc nhọn hoặc bằng 00.
Nếu tích vô hướng của hai vecto
u
→
,
v
→
là một số âm thì
c
os
u
→
,
v
→
<
0.
Do đó góc giữa hai vecto
u
→
,
v
→
là góc tù hoặc bằng 1800.
Câu hỏi trang 67 Toán 10 Tập 1:
u
→
.
v
→
2
=
u
→
2
.
v
→
2
?
Lời giải:
Ta có:
u
→
.
v
→
=
u
→
.
v
→
.
c
os
u
→
,
v
→
⇔
u
→
.
v
→
2
=
u
→
.
v
→
.
c
os
u
→
,
v
→
2
=
u
→
2
.
v
→
2
.
c
os
2
u
→
,
v
→
Để
u
→
.
v
→
2
=
u
→
2
.
v
→
2
thì
c
os
2
u
→
,
v
→
=
1
⇔
c
os
u
→
,
v
→
=
1
c
os
u
→
,
v
→
=
−
1
⇔
u
→
,
v
→
=
0
0
u
→
,
v
→
=
180
0
Vậy khi góc giữa hai vecto
u
→
,
v
→
là 00 hoặc 1800 thì
u
→
.
v
→
2
=
u
→
2
.
v
→
2
.
Luyện tập 2 trang 67 Toán 10 Tập 1:
A
B
→
.
A
C
→
theo a, b, c.
Lời giải:
Ta có:
A
B
→
.
A
C
→
=
A
B
.
A
C
.
c
os
A
B
→
.
A
C
→
=
A
B
.
A
C
.
cos
B
A
C
=
b
c
.
c
osBAC
Theo định lí cos, ta có:
cosBAC=
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
A
B
→
.
A
C
→
=
b
c
.
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
=
b
2
+
c
2
−
a
2
2
.
Vậy
A
B
→
.
A
C
→
=
b
2
+
c
2
−
a
2
2
.
HĐ2 trang 68 Toán 10 Tập 1:
u
→
=
x
;
y
và
v
→
=
k
x
;
k
y
.
Hãy kiểm tra công thức
u
→
.
v
→
=
k
x
2
+
y
2
theo từng trường hợp sau:
a)
u
→
=
0
→
;
b)
u
→
≠
0
→
và
k
≥
0
;
c)
u
→
≠
0
→
và k < 0.
Lời giải:
a) Ta có:
u
→
=
0
→
⇒
x
=
0
y
=
0
Mà
0
→
vuông góc với mọi vecto nên ta có:
u
→
.
v
→
=
0
Ta lại có:
k
x
2
+
y
2
=
k
0
2
+
0
2
=
0
⇒
u
→
.
v
→
=
k
x
2
+
y
2
Vậy với
u
→
=
0
→
công thức đã cho đúng.
b) Vì k ≥ 0 nên hai vecto
u
→
,
v
→
cùng hướng
⇒
u
→
,
v
→
=
0
0
Ta có:
u
→
.
v
→
=
u
→
v
→
c
o
s
u
→
,
v
→
=
x
2
+
y
2
.
k
x
2
+
k
y
2
.cos
u
→
,
v
→
=
k
x
2
+
y
2
.
c
os
0
0
=
k
x
2
+
y
2
.
Vậy với
u
→
≠
0
→
và
k
≥
0
công thức đã cho đúng.
c) Vì k < 0 nên hai vecto
u
→
,
v
→
ngược hướng
⇒
u
→
,
v
→
=
180
0
Ta có:
u
→
.
v
→
=
u
→
v
→
c
o
s
u
→
,
v
→
=
x
2
+
y
2
.
k
x
2
+
k
y
2
.cos
u
→
,
v
→
=
k
x
2
+
y
2
.
c
os18
0
0
=
−
k
x
2
+
y
2
−
1
=
k
x
2
+
y
2
.
Vậy với
u
→
≠
0
→
và k < 0 công thức đã cho đúng.
HĐ3 trang 68 Toán 10 Tập 1:
u
→
x
;
y
và
v
→
x
‘
;
y
‘
.
a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho
O
A
→
=
u
→
,
O
B
→
=
v
→
.
b) Tính AB2, OA2, OB2 theo tọa độ của A và B.
c) Tính
O
A
→
.
O
B
→
theo tọa độ của A, B.
Lời giải:
a) Vì
u
→
x
;
y
và
O
A
→
=
u
→
nên A(x;y)
Vì
v
→
x
‘
;
y
‘
và
O
B
→
=
v
→
nên B(x’;y’)
b) Ta có:
A
B
→
x
‘
−
x
;
y
‘
−
y
⇒
A
B
=
x
‘
−
x
2
+
y
‘
−
y
2
⇔
A
B
2
=
x
‘
−
x
2
+
y
‘
−
y
2
.
O
A
→
=
x
;
y
⇒
O
A
=
x
2
+
y
2
⇔
O
A
2
=
x
2
+
y
2
.
O
B
→
=
x
‘
;
y
‘
⇒
O
B
=
x
‘
2
+
y
‘
2
⇔
O
B
2
=
x
‘
2
+
y
‘
2
.
c) Theo định lí Cô sin, ta có:
O
A
→
.
O
B
→
=
O
A
2
+
O
B
2
−
A
B
2
2
=
x
2
+
y
2
+
x
‘
2
+
y
‘
2
−
x
‘
−
x
2
−
y
‘
−
y
2
2
=
2
x
x
‘
+
2
y
y
‘
2
=
x
x
‘
+
y
y
‘
Luyện tập 3 trang 68 Toán 10 Tập 1:
u
→
0
;
−
5
,
v
→
3
;
1
Lời giải:
Tích vô hướng của hai vecto
u
→
.
v
→
=
0.
3
−
5.1
=
−
5.
Ta lại có:
u
→
.
v
→
=
u
→
.
v
→
.
c
o
s
u
→
.
v
→
⇒
c
o
s
u
→
.
v
→
=
u
→
.
v
→
u
→
.
v
→
=
−
5
5.2
=
−
1
2
⇒
u
→
.
v
→
=
120
0
.
Vậy
u
→
.
v
→
=
−
5
và góc giữa hai vecto
u
→
,
v
→
bằng 1200.
HĐ4 trang 68 Toán 10 Tập 1:
u
→
x
1
;
y
1
,
v
→
x
2
;
y
2
,
w
→
x
3
;
y
3
.
a) Tính
u
→
v
→
+
w
→
,
u
→
.
v
→
+
u
→
.
w
→
theo tọa độ các vecto
u
→
,
v
→
,
w
→
.
b) So sánh
u
→
v
→
+
w
→
và
u
→
.
v
→
+
u
→
.
w
→
.
c) So sánh
u
→
.
v
→
và
v
→
.
u
→
.
Lời giải:
a) Ta có:
v
→
+
w
→
=
x
2
+
x
3
;
y
2
+
y
3
⇒
u
→
v
→
+
w
→
=
x
1
.
x
2
+
x
3
+
y
1
y
2
+
y
3
=
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
y
1
.
y
2
+
y
1
.
y
3
(1)
Ta có:
u
→
.
v
→
=
x
1
.
x
2
+
y
1
.
y
2
,
u
→
.
w
→
=
x
1
.
x
3
+
y
1
.
y
3
⇒
u
→
.
v
→
+
u
→
.
w
→
=
x
1
.
x
2
+
y
1
.
y
2
+
x
1
.
x
3
+
y
1
.
y
3
(2)
b) Từ (1) và (2) suy ra:
u
→
v
→
+
w
→
=
u
→
.
v
→
+
u
→
.
w
→
.
c) Ta có:
u
→
.
v
→
=
x
1
.
x
2
+
y
1
.
y
2
;
v
→
.
u
→
=
x
2
.
x
1
+
y
2
.
y
1
=
x
1
.
x
2
+
y
1
.
y
2
.
⇒
u
→
.
v
→
=
v
→
.
u
→
.
Luyện tập 4 trang 70 Toán 10 Tập 1:
a) Chứng minh rằng
A
H
→
.
B
C
→
=
0
→
và
B
H
→
.
C
A
→
=
0
→
.
b) Tìm tọa độ của H.
c) Giải tam giác ABC.
Lời giải:
a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC
⇒
A
H
→
.
B
C
→
=
0
và BH ⊥ AC
⇒
B
H
→
.
A
C
→
=
0
b) Gọi tọa độ điểm H(x;y), ta có:
A
H
→
x
+
1
;
y
−
2
,
B
H
→
x
−
8
;
y
+
1
,
B
C
→
0
;
9
,
A
C
→
9
;
6
⇒
A
H
→
.
B
C
→
=
x
+
1
.0
+
y
−
2
.9
=
0
⇔
y
−
2
=
0
⇔
y
=
2.
⇒
B
H
→
.
A
C
→
=
x
−
8
.9
+
y
+
1
.6
=
9
x
+
6
y
−
66
=
0
Thay y = 2 vào biểu thức 9x + 6y – 66 = 0 ta được:
9x + 6.2 – 66 = 0
⇔ 9x = 54
⇔ x = 6
⇒ H(6; 2)
Vậy H(6;2).
c) Ta có:
A
B
→
=
9
;
−
3
⇒
A
B
=
9
2
+
−
3
2
=
3
10
.
A
C
→
9
;
6
⇒
A
C
=
9
2
+
6
2
=
3
13
.
B
C
→
0
;
9
⇒
B
C
=
0
2
+
9
2
=
9.
Ta lại có:
A
B
→
.
A
C
→
=
A
B
.
A
C
.
c
o
s
B
A
C
^
⇔
9.9
+
−
3
.6
=
3
10
.3
13
.
c
o
s
B
A
C
^
⇔
63
=
9
130
.
c
o
s
B
A
C
^
⇔
c
o
s
B
A
C
^
=
7
130
⇔
B
A
C
^
≈
52
,
13
0
.
Ta có:
B
A
→
=
−
9
;
3
B
A
→
.
B
C
→
=
B
A
.
B
C
.
c
o
s
A
B
C
^
⇔
−
9
.0
+
3.9
=
3
10
.9.
c
o
s
A
B
C
^
⇔
27
=
27
10
.
c
o
s
A
B
C
^
⇔
c
o
s
A
B
C
^
=
1
10
⇔
A
B
C
^
≈
71
,
57
0
.
⇒
A
C
B
^
≈
180
0
−
71
,
57
0
−
52
,
13
0
≈
56
,
3
0
.
Vậy
A
B
=
3
10
,
A
C
=
3
13
,
B
C
=
9
,
B
A
C
^
≈
52
,
13
0
,
A
B
C
^
≈
71
,
57
0
,
A
C
B
^
≈
56
,
3
0
.
Vận dụng trang 70 Toán 10 Tập 1:
F
→
không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng đều từ A đến B. Lực
F
→
được phân tích thành hai lực thành phần
F
1
→
và
F
2
→
F
→
=
F
1
→
+
F
2
→
a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực
F
→
(đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực
F
1
→
và
F
2
→
.
b) Giả sử các lực thành phần
F
1
→
và
F
2
→
tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực
F
→
và lực
F
1
→
.
Lời giải:
a) Một lực
F
→
tác động lên một vật làm vật dịch chuyển tính tiến theo một vecto độ rời
s
→
.
Ta có: công sinh bởi lực
F
→
là
A
F
→
=
F
→
.
s
→
=
F
.
s
.
c
os
F
→
,
s
→
=
F
.
s
.
c
os
F
→
,
F
1
→
Mặt khác
F
.
c
os
F
→
,
F
1
→
=
F
1
⇒
A
F
→
=
F
1
.
s
Công sinh bởi lực
F
1
→
là:
A
F
1
→
=
F
1
→
.
s
→
=
F
1
.
s
.
c
os
F
1
→
,
s
→
=
F
1
.
s
.
c
os0
0
=
F
1
.
s
Công sinh bởi lực
F
2
→
là:
A
F
2
→
=
F
2
→
.
s
→
=
F
2
.
s
.
c
os
F
2
→
,
s
→
=
F
2
.
s
.
c
os90
0
=
0
⇒
A
F
1
→
+
A
F
2
→
=
F
1
.
s
Do đó
A
F
→
=
A
F
1
→
+
A
F
2
→
.
b) Ta có:
A
F
→
=
F
→
.
s
→
=
F
.
s
.
c
os
F
→
,
s
→
=
F
.
s
.
c
os
F
→
,
F
1
→
Mặt khác
F
.
c
os
F
→
,
F
1
→
=
F
1
⇒
A
F
→
=
F
1
.
s
Ta lại có:
A
F
1
→
=
F
1
→
.
s
→
=
F
1
.
s
.
c
os
F
1
→
,
s
→
=
F
1
.
s
.
c
os0
0
=
F
1
.
s
⇒
A
F
→
=
A
F
1
→
.
Bài 4.21 trang 70 Toán 10 Tập 1:
a
→
và
b
→
trong mỗi trường hợp sau:
a)
a
→
−
3
;
1
,
b
→
2
;
6
;
b)
a
→
3
;
1
,
b
→
2
;
4
;
c)
a
→
−
2
;
1
,
b
→
2
;
−
2
;
Lời giải:
a) Ta có:
a
→
.
b
→
=
−
3
.2
+
1.6
=
0
⇒
a
→
,
b
→
=
90
0
.
b) Ta có:
a
→
.
b
→
=
3.2
+
1.4
=
10
a
→
=
3
2
+
1
2
=
10
,
b
→
=
2
2
+
4
2
=
2
5
a
→
.
b
→
=
a
→
.
b
→
.
c
os
a
→
,
b
→
⇒
c
os
a
→
,
b
→
=
a
→
.
b
→
a
→
.
b
→
=
10
10
.2
5
=
1
2
⇒
a
→
,
b
→
=
45
0
.
c) Ta có:
a
→
.
b
→
=
−
2
.2
+
1.
−
2
=
−
3
2
a
→
=
−
2
2
+
1
2
=
3
,
b
→
=
2
2
+
−
2
2
=
6
a
→
.
b
→
=
a
→
.
b
→
.
c
os
a
→
,
b
→
⇒
c
os
a
→
,
b
→
=
a
→
.
b
→
a
→
.
b
→
=
−
3
2
3
.
6
=
−
1
⇒
a
→
,
b
→
=
180
0
.
Bài 4.22 trang 70 Toán 10 Tập 1:
u
→
,
v
→
để:
a)
u
→
.
v
→
=
u
→
.
v
→
;
b)
u
→
.
v
→
=
−
u
→
.
v
→
;
Lời giải:
a) Ta có:
u
→
.
v
→
=
u
→
.
v
→
.
cos
u
→
,
v
→
Để
u
→
.
v
→
=
u
→
.
v
→
thì
cos
u
→
,
v
→
=
1
⇔
u
→
,
v
→
=
0
0
Suy ra
u
→
,
v
→
là hai vecto cùng hướng.
b) Ta có:
u
→
.
v
→
=
u
→
.
v
→
.
cos
u
→
,
v
→
Để
u
→
.
v
→
=
−
u
→
.
v
→
thì
cos
u
→
,
v
→
=
−
1
⇔
u
→
,
v
→
=
180
0
Suy ra
u
→
,
v
→
là hai vecto ngược hướng.
Bài 4.23 trang 70 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2), B(-4;3). Gọi M(t;0) là một điểm thuộc trục hoành.
a) Tính
A
M
→
.
B
M
→
theo t.
b) Tính t để
A
M
B
^
=
90
0
.
Lời giải:
a) Ta có:
A
M
→
t
−
1
;
−
2
,
B
M
→
t
+
4
;
−
3
.
⇒
A
M
→
.
B
M
→
=
t
−
1
t
+
4
+
−
2
.
−
3
=
t
2
+
3
t
+
2.
b) Để
A
M
B
^
=
90
0
thì
A
M
→
.
B
M
→
=
0
⇔
t
2
+
3
t
+
2
=
0
⇔
t
=
−
1
t
=
−
2
Vậy với t = -1 hoặc t = – 2 thì
A
M
B
^
=
90
0
.
Bài 4.24 trang 70 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4;1), B(2;4), C(2;-2).
a) Giải tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
Lời giải:
a) Ta có:
A
B
→
6
;
3
⇒
A
B
=
6
2
+
3
2
=
3
5
;
A
C
→
6
;
−
3
⇒
A
C
=
6
2
+
−
3
2
=
3
5
;
B
C
→
0
;
−
6
⇒
B
C
=
0
2
+
−
6
2
=
6
;
Theo định lí cosin, ta có:
cos
A
=
A
B
2
+
A
C
2
−
B
C
2
2.
A
B
.
A
C
=
3
5
⇒
A
^
≈
53
,
13
0
;
Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A
⇒
B
^
=
C
^
=
180
0
−
A
^
2
≈
63
,
44
0
.
Vậy
A
B
=
A
C
=
3
5
,
B
C
=
6
,
A
^
=
53
,
13
0
,
B
^
=
C
^
=
63
,
44
0
.
b) Gọi trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x;y)
Khi đó, ta có:
A
H
→
x
+
4
;
y
−
1
;
B
C
→
0
;
−
6
;
B
H
→
x
−
2
;
y
−
4
;
A
C
→
6
;
−
3
Vì AH ⊥ BC ⇒
A
H
→
.
B
C
→
= 0 ⇔ (x + 4).0 + (y – 1).(–6) = 0 ⇔ y = 1
Vì BH ⊥ AC ⇒
B
H
→
.
A
C
→
= 0 ⇔ (x – 2).6 + (y – 4).(–3) = 0
⇔ (x – 2).2 + (y – 4).(–1) = 0
⇔ 2x – y = 0
Mà y = 1 ⇒ 2x – 1 = 0
⇔
x
=
1
2
.
Bài 4.25 trang 70 Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:
S
A
B
C
=
1
2
A
B
→
2
.
A
C
→
2
−
A
B
→
.
A
C
→
2
.
Lời giải:
Ta có:
Bài 4.26 trang 70 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:
MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.
Lời giải:
Ta có:
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
=
0
→
(tính chất trọng tâm tam giác)
⇒
M
G
→
.
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
=
M
G
→
.
0
→
=
0
⇒
M
A
2
+
M
B
2
+
M
C
2
=
3
M
G
→
2
+
G
A
→
2
+
G
B
→
2
+
G
C
→
2
.