Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây
Mở đầu trang 84 Toán 10 Tập 1:
Điểm trung bình môn học kì của An và Bình đều là 8,0 nhưng rõ ràng Bình “học đều” hơn An. Có thể dùng những số đặc trưng nào để đo mức độ “học đều”?
Lời giải:
Bài học này sẽ giới thiệu một vài số đặc trưng như (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn và phương sai).
Ở đây ta sẽ sử dụng độ lệch chuẩn để so sánh
Điểm trung bình môn học kì I của An là:
X
1
¯
=
8
,
0
Điểm trung bình môn học kì I của Bình là
X
2
¯
=
8
,
0
Vì s2 < s1 nên độ phân tán của số liệu 2 nhỏ hơn độ phân tán của số liệu 1 hay bạn Bình học đều hơn bạn An.
HĐ1 trang 84 Toán 10 Tập 1:
Leicester City: 41 81 44 47 52.
Everton: 47 47 61 49 54.
Cổ động viên cho rằng, Everton thi đấu ổn hơn Leicester City. Em có đồng ý với nhận định này không? Vì sao?
Lời giải:
Em đồng ý với nhận định này vì:
Ở mùa giải thứ nhất, thứ ba, thứ tư và thứ năm điểm số của Everton cao hơn của Leicester.
Chỉ ở mùa giải thứ hai điểm số của Leicester City cao hơn của Everton.
Về trực quan, thành tích của Everton ổn định hơn Leicester City.
Luyện tập 1 trang 85 Toán 10 Tập 1:
163 159 172 167 165 168 170 161.
Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu này.
Lời giải:
Chiều cao cao nhất và thấp nhất tương ứng là 172 cm và 159 cm. Do đó khoảng biến thiên là R = 172 – 159 = 13 cm.
Vậy khoảng biến thiên R = 13cm.
HĐ2 trang 85 Toán 10 Tập 1:
Hà Nội: 23 25 28 28 32 33 35.
Điện Biên: 16 24 26 26 26 27 28.
a) Tính khoảng biến thiên của mỗi mẫu số liệu và so sánh.
b) Em có nhận xét gì về sự ảnh hưởng của giá trị 16 đến khoảng biến thiên của mẫu số liệu về nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Điện Biên?
c) Tính các tứ phân vị và hiệu Q3 – Q1 cho mỗi mẫu số liệu. Có thể dùng hiệu này để đo độ phân tán của mẫu số liệu không?
Lời giải:
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu nhiệt độ cao nhất mỗi ngày trong tuần ở Hà Nội là:
Nhiệt độ cao nhất và thấp nhất ở Hà Nội tương ứng là 35 và 23. Khi đó khoảng biến thiên là: R1 = 35 – 23 = 12.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu nhiệt độ cao nhất mỗi ngày trong tuần ở Điện Biên là:
Nhiệt độ cao nhất và thấp nhất ở Điện Biên tương ứng là 28 và 16. Khi đó khoảng biến thiên là: R1 = 28 – 16 = 12.
Vậy R1 = R2.
b) Giá trị 16 là giá trị bất thường trong dãy số liệu nên khiến khoảng biến thiên của mẫu số liệu về nhiệt độ cao nhất trong ngày của Điện Biên bị ảnh hưởng.
c)
– Đối với mẫu số liệu nhiệt độ cao nhất trong ngày ở Hà Nội:
Vì n = 7 là số lẻ nên số trung vị là số chính giữa là Q2 = 28.
Ta tìm Q1 là trung vị của nửa số liệu bên trái Q2:
23; 25; 28.
Và tìm được Q1 = 25.
Ta tìm Q3 là trung vị của nửa số liệu bên phải Q2:
32; 33; 35.
Và tìm được Q3 = 33.
Tứ phân vị cho mẫu số liệu này là Q1 = 25; Q2 = 28, Q3 = 33.
Suy ra ΔQ = Q3 – Q1 = 33 – 25 = 8.
– Đối với mẫu số liệu nhiệt độ cao nhất trong ngày ở Điện Biên:
Vì n = 7 là số lẻ nên số trung vị là số chính giữa là Q2 = 26.
Ta tìm Q1 là trung vị của nửa số liệu bên trái Q2:
16; 24; 26.
Và tìm được Q1 = 24.
Ta tìm Q3 là trung vị của nửa số liệu bên phải Q2:
26; 27; 28.
Và tìm được Q3 = 27.
Tứ phân vị cho mẫu số liệu này là Q1 = 24; Q2 = 26, Q3 = 27.
Suy ra ΔQ = Q3 – Q1 = 27 – 24 = 3.
Có thể dùng số liệu này để đo độ phân tán của số liệu.
Luyện tập 2 trang 86 Toán 10 Tập 1:
12 7 10 9 12 9 10 11 10 14.
Hãy tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.
Lời giải:
Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 7; 9; 9; 10; 10; 10; 11; 12; 12; 14.
Mẫu số liệu gồm 10 giá trị nên trung vị bằng trung bình cộng hai giá trị chính giữa: Q2 = (10 + 10):2 = 10.
Nửa số liệu bên trái là 7; 9; 9; 10; 10 gồm 5 giá trị nên tứ phân vị thứ nhất là Q1 = 9.
Nửa số liệu bên phải là 10; 11; 12; 12; 14 gồm 5 giá trị nên tứ phân vị thứ ba là Q3 = 12.
Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là:
∆Q = Q3 – Q1 = 12 – 9 = 3.
Luyện tập 3 trang 87 Toán 10 Tập 1:
0,398 0,399 0,408 0,410 0,406 0,405 0,402.
(Theo Bài tập Vật lí 10, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2018)
Hãy tìm phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này. Qua các đại lượng này, em có nhận xét gì về độ chính xác của phép đo trên?
Lời giải:
Số trung bình của mẫu số liệu là:
Ta có bảng sau:
|
Giá trị |
Độ lệch |
Bình phương độ lệch |
|
0,398 |
0,398 – 0,404 = – 0,006 |
0,000036 |
|
0,399 |
0,399 – 0,404 = – 0,005 |
0,000025 |
|
0,408 |
0,408 – 0,404 = 0,004 |
0,000016 |
|
0,410 |
0,410 – 0,404 = 0,006 |
0,000036 |
|
0,406 |
0,406 – 0,404 = 0,002 |
0,00004 |
|
0,405 |
0,405 – 0,404 = 0,001 |
0,000001 |
|
0,402 |
0,402 – 0,404 = – 0,002 |
0,00004 |
|
Tổng |
0,000122 |
|
Số liệu gồm 7 giá trị nên n = 7. Do đó phương sai là:
s
2
=
0
,
000122
7
=
0
,
000017.
Độ lệch chuẩn là:
s
=
0
,
000017
≈
0
,
0042.
Đối với số liệu này phương sai và độ lệch chuẩn nhỏ nên độ phân tán của số liệu thấp. Do đó các giá trị của mẫu số liệu tập trung quanh giá trị trung bình.
Luyện tập 4 trang 87 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Ta cố Q1 = 56 và Q3 = 84. Do đó, khoảng tứ phân vị là:
ΔQ = 84 – 56 = 28.
Biểu đồ hộp cho mẫu số liệu này là:
Ta có: Q1 – 1,5.ΔQ = 56 – 1,5.28 = 14 và : Q3 + 1,5.ΔQ = 84 + 1,5.28 = 126 nên trong hai số liệu 10 và 100 thì giá trị được xem là bất thường là 10 (nhỏ hơn 14).
Bài 5.11 trang 88 Toán 10 Tập 1: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
(1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.
(2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất , bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.
(3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.
(4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.
(5) Các số đo độ phân tán đều không âm.
Lời giải:
Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ phân tán nhỏ nên độ lệch chuẩn càng nhỏ. Do đó (1) sai.
Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất , bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại. Do đó (2) đúng.
Khoảng tứ phân vị là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất. Do đó (3) sai.
Về bản chất, khoảng tứ phân vị là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp. Do đó (4) sai.
Các số đo độ phân tán gồm:
Khoảng biến thiên là hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên không âm.
Khoảng tứ phân vị là hiệu của tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất mà dãy số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm nên không âm.
Phương sai và độ lệch chuẩn đều không âm.
Do đó (5) đúng.
Bài 5.12 trang 88 Toán 10 Tập 1: Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hãi mẫu số liệu A, B như sau:
Không tính toán, hãy cho biết:
a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?
b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?
Lời giải:
a)
Mẫu số liệu thứ nhất và mẫu số liệu thứ hai có giá trị lớn nhất là 9 và giá trị nhỏ nhất là 3. Do đó hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên.
Mẫu số liệu thứ nhất có xu hướng trung tâm là giá trị 6.
Mẫu số liệu thứ hai các giá trị tập trung nhiều xung quanh ba giá trị 5, 6, 7 nên số trung bình sẽ khoảng 6.
Do đó hai mẫu số liệu có cùng giá trị trung bình.
b)
Mẫu số liệu thứ nhất các giá trị rải đều từ 3 đến 9 nên độ phân tán nhỏ. Còn mẫu số liệu thứ hai có độ phân tán lớn hơn nên phương sai của mẫu số liệu thứ hai lớn hơn.
Bài 5.13 trang 88 Toán 10 Tập 1: Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:
a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
Lời giải:
a) Gọi các giá trị dương của mẫu số liệu ban đầu theo thứ tự từ bé đến lớn là: a; b; c; d; e; f; g; h; i; k.
Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:
X
¯
=
a
+
b
+
c
+
d
+
e
+
f
+
g
+
h
+
i
+
k
10
Phương sai:
Độ lệch chuẩn:
Giá trị lớn nhất là k, giá trị nhỏ nhất là a. Khi đó khoảng biến thiên: R = k – a.
Vì n = 10 nên trung vị là trung bình cộng hai giá trị chính giữa:
Q
2
=
e
+
f
2
Nửa mẫu số liệu bên trái có tứ phân vị thứ nhất là
Q
1
=
b
+
c
2
Nửa mẫu số liệu bên phải có tứ phân vị thứ ba là
Q
3
=
h
+
i
2
.
Khi đó khoảng tứ phân vị là:
Δ
Q
=
Q
3
−
Q
1
=
h
+
i
2
−
b
+
c
2
.
Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 ta được dãy số liệu mới theo thứ tự từ bé đến lớn là: 2a; 2b; 2c; 2d; 2e; 2f; 2g; 2h; 2i; 2k.
Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:
Phương sai:
Độ lệch chuẩn:
Giá trị lớn nhất là k, giá trị nhỏ nhất là a. Khi đó khoảng biến thiên: R’ = 2k – 2a = 2R.
Ta có: tứ phân vị thứ nhất là
Q
‘
1
=
2
b
+
2
c
2
=
b
+
c
=
2
Q
1
và tứ phân vị thứ ba là
Q
‘
3
=
2
h
+
2
i
2
=
h
+
i
=
2
Q
3
. Khi đó khoảng tứ phân vị là:
Δ
Q
‘
=
Q
‘
3
−
Q
‘
1
=
2
Q
3
−
2
Q
1
=
2
Δ
Q
.
Vậy các khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị của dãy số liệu mới bằng hai lần các khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị ban đầu.
b)
Các giá trị dương của mẫu số liệu khi cộng thêm mẫu số liệu với 2 ta được: a + 2; b + 2; c + 2; d + 2; e + 2; f + 2; g + 2; h + 2; i + 2; k + 2.
Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:
Phương sai:
Độ lệch chuẩn:
Giá trị lớn nhất là k, giá trị nhỏ nhất là a. Khi đó khoảng biến thiên: R’ = 2 + k – (2 + a) = k – a = R.
Ta có: tứ phân vị thứ nhất là
Q
‘
1
=
2
+
b
+
2
+
c
2
=
b
+
c
+
2
=
Q
1
+
2
và tứ phân vị thứ ba là
Q
‘
3
=
2
+
h
+
2
+
i
2
=
h
+
i
+
2
=
Q
3
+
2
.
Khi đó khoảng tứ phân vị là:
Δ
Q
‘
=
Q
‘
3
−
Q
‘
1
=
Q
3
+
2
−
Q
1
+
2
=
Q
3
−
Q
1
=
Δ
Q
.
Vậy các khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị của dãy số liệu mới bằng các khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị ban đầu.
Bài 5.14 trang 88 Toán 10 Tập 1: Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được:
Giá trị nhỏ nhất bằng 2,5; Q1 = 36; Q2 = 60; Q3 = 100; giá trị lớn nhất bằng 205.
a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là bao nhiêu?
b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này?
c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.
Lời giải:
a) Vì số các giá trị của số liệu n = 51 là số lẻ nên trung vị của số liệu là giá trị thứ 26.
Nửa bên trái số trung vị gồm 25 số liệu là số lẻ nên tứ phân vị thứ nhất là giá trị thứ 13 có giá trị là 36.
Do đó có 38 thành phố có thuế thuốc lá hơn 36.
Suy ra tỉ lệ các thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là:
38
51
=
74
,
51
%
.
Vậy tỉ lệ các thành phố có thuế thuốc là lớn hơn 36 là: 74,51%.
b)
Tứ phân vị thứ nhất là giá trị thứ 13, tứ phân vị thứ ba là giá trị thứ 39.
Giữa hai giá trị là các giá trị thứ 13 đến giá trị thứ 39. Do đó có tất cả (39 – 13):1 + 1 = 27.
Mà
27
51
=
53
%
.
Vậy giữa hai giá trị Q1 = 36 và Q3 = 100 có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.
d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu này là: ∆Q = Q3 – Q1 = 100 – 36 = 64
Bài 5.15 trang 88 Toán 10 Tập 1: Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg):
2,977 3,155 3,920 3,412 4,236
2,593 3,270 3,813 4,042 3,387.
Hãy tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.
Lời giải:
Sắp xếp các giá trị của số liệu trên theo thứ tự từ bé đến lớn là:
2,593; 2,977; 3,155; 3,270; 3,387; 3,412; 3,813; 3,920; 4,042; 4,236. .
Ta có giá trị lớn nhất là 4,236 kg và giá trị nhỏ nhất là 2,593 kg.
Khi đó khoảng biến thiên là: R = 4,236 – 2,593 = 1,643.
Vì n = 10 là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa: Q2 = (3,387 + 3,412):2 = 3,3995.
Nửa số liệu bên trái gồm 5 số liệu là một số lẻ nên tứ phân vị thứ nhất là: Q1 = 3,155.
Nửa số liệu bên phải gồm 5 số liệu là một số lẻ nên tứ phân vị thứ ba là: Q3 = 3,920.
Khoảng tứ phân vị là:
∆Q = Q3 – Q1 = 3,920 – 3,155 = 0,765.
Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:
Vậy khoảng biến thiên R = 1,643, khoảng tứ phân vị ∆Q = 0,765; độ lệch chuẩn s ≈ 0,49.
Bài 5.16 trang 88 Toán 10 Tập 1: Tỉ lệ thất nghiệp ở một quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau:
7,8 3,2 7,7 8,7 8,6 8,4 7,2 3,6
5,0 4,4 6,7 7,0 4,5 6,0 5,4.
Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.
Lời giải:
Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
3,2; 3,6; 4,4; 4,5; 5,0; 5,4; 6,0; 6,7; 7,0; 7,2; 7,7; 7,8; 8,4; 8,6; 8,7.
Vì n = 15 là số lẻ nên số trung vị là giá trị chính giữa Q2 = 6,7.
Nửa số liệu bên trái có 7 số liệu nên có tứ phân vị thứ nhất là Q1 = 4,5.
Nửa số liệu bên phải có 7 số liệu nên có tứ phân vị thứ hai là Q3 = 7,8.
Khoảng tứ phân vị là: ∆Q = Q3 – Q1 = 7,8 – 4,5 = 3,3.
Ta có: Q1 – 1,5ΔQ = 4,5 – 4,95 = -0,45 và Q3 + 1,5ΔQ = 7,8 + 4,95 = 12,75 nên trong mẫu số liệu đã cho không có giá trị nào bất thường.
Vậy mẫu số liệu đã cho không có giá trị nào bất thường.