Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây
Mở đầu trang 11 Toán 10 Tập 2:
Hỏi hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường bao xa để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích lớn nhất?
Lời giải:
Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:
Gọi x (mét, x > 0) là khoảng cách từ điểm cọc P và Q đến bờ tường.
Tấm lưới dài 20 m và được rào chắn ba mặt áp lên bờ tường như Hình 6.8, do đó ta có:
x + x + PQ = 20.
Suy ra: PQ = 20 – x – x = 20 – 2x (m).
Vì PQ > 0 (độ dài dương) nên 20 – 2x > 0 ⇔ 2x < 20 ⇔ x < 10.
Do đó ta có điều kiện của x là 0 < x < 10.
Mảnh đất được rào chắn có dạng hình chữ nhật với hai kích thước là x (m) và 20 – 2x (m) với 0 < x < 10.
Khi đó diện tích của mảnh đất là S(x) = x . (20 – 2x) = – 2x2 + 20x.
Theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm giá trị của x để S(x) có giá trị lớn nhất.
Ta có: S(x) = – 2(x2 – 10x) = – 2(x2 – 2 . 5 . x + 25) + 50 = – 2(x – 5)2 + 50 ≤ 50 với mọi số thực x.
Dấu “=” xảy ra khi x – 5 = 0 ⇔ x = 5 (thỏa mãn điều kiện 0 < x < 10).
Do đó giá trị lớn nhất của S(x) là 50 tại x = 5.
Vậy hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường 5 m để mảnh đất được rào chắn của bác Việt có diện tích lớn nhất.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai hay, chi tiết khác:
HĐ1 trang 11 Toán 10 Tập 2:
a) Độ dài cạnh PQ của mảnh đất.
b) Diện tích S(x) của mảnh đất được rào chắn.
Lời giải:
a) Tấm lưới có chiều dài 20 m, khoảng cách từ điểm cắm cọc tới bờ tường là x (m), ta đóng 2 cọc P và Q, mỗi cọc đều cách tường x (m).
Tấm lưới rào chắn 3 mặt áp bên bờ tường như Hình 6.8 nên x + x + PQ = 20.
Do đó độ dài cạnh PQ của mảnh đất là:
20 – x – x = 20 – 2x (m).
b) Mảnh đất được rào chắn là một hình chữ nhật có hai kích thước là x (m) và 20 – 2x (m).
Do đó diện tích S(x) của mảnh đất được rào chắn là:
S(x) = x . (20 – 2x) = – 2x2 + 20x.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai hay, chi tiết khác:
Câu hỏi trang 12 Toán 10 Tập 2:
A. y = x4 + 3x2 + 2.
B.
y
=
1
x
2
.
C. y = – 3x2+ 1.
D.
y
=
3
1
x
2
+
3
1
x
−
1
.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức y = ax2+ bx + x với a, b, c là các hằng số và a ≠ 0.
Vậy trong các hàm số đã cho thì hàm số y = – 3x2 + 1 là hàm số bậc hai với các hệ số a = – 3, b = 0 và c = 1.
Chú ý: Hàm số
y
=
3
1
x
2
+
3
1
x
−
1
không phải là hàm số bậc hai, mà đây là hàm số có thể đưa về dạng bậc hai nếu ta đặt
t
=
1
x
.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai hay, chi tiết khác:
Luyện tập 1 trang 12 Toán 10 Tập 2:
a) Hàm số đã cho có phải là hàm số bậc hai không? Nếu có, hãy xác định các hệ số a, b, c của nó.
b) Thay dấu “?” bằng các số thích hợp để hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số đã cho.
|
x |
– 2 |
– 1 |
0 |
1 |
|
y |
? |
? |
? |
? |
Lời giải:
a) Ta có: y = (x – 1)(2 – 3x) = 2x – 3x2 – 2 + 3x = – 3x2 + 5x – 2.
Suy ra y = – 3x2 + 5x – 2, đây là hàm số bậc hai với các hệ số a = – 3, b = 5, c = – 2.
b) Với x = – 2 thì y = – 3 . (– 2)2 + 5 . (– 2) – 2 = – 24.
Với x = – 1 thì y = – 3 . (– 1)2 + 5 . (– 1) – 2 = – 10.
Với x = 0 thì y = – 3 . 02 + 5 . 0 – 2 = – 2.
Với x = 1 thì y = – 3 . 12 + 5 . 1 – 2 = 0.
Vậy ta có bảng sau:
|
x |
– 2 |
– 1 |
0 |
1 |
|
y |
– 24 |
– 10 |
– 2 |
0 |
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai hay, chi tiết khác:
Vận dụng 1 trang 12 Toán 10 Tập 2:
a) Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi rơi thì viên bi chạm đất?
b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số h.
Lời giải:
a) Viên bi rơi chạm đất thì h = 0.
Khi đó: 19,6 – 4,9t2= 0 ⇔ 4,9t2= 19,6 ⇔ t2 = 4 ⇔ t = 2 hoặc t = – 2.
Vì t ≥ 0 nên ta chọn t = 2.
Vậy sau 2 giây kể từ khi rơi thì viên bi chạm đất.
b) Ta có: h = 19,6 – 4,9t2
Đây là hàm số bậc hai với biến t, mà t ≥ 0.
Do đó, tập xác định của hàm số h này là D = [0; + ∞).
Vì t2 ≥ 0 với mọi t nên – 4,9t2 ≤ 0 với mọi t.
Suy ra – 4,9t2+ 19,6 ≤ 0 + 19,6 hay 19,6 – 4,9t2 ≤ 19,6 với mọi t.
Do đó: h ≤ 19,6 với mọi t.
Mặt khác, h ≥ 0.
Khi đó: 0 ≤ h ≤ 19,6 với mọi t.
Vậy tập giá trị của hàm số h là [0; 19,6].
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai hay, chi tiết khác:
HĐ2 trang 12 Toán 10 Tập 2:
a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn tọa độ các điểm trong bảng giá trị của hàm số lập được ở Ví dụ 1. Nối các điểm đã vẽ lại ta được dạng đồ thị hàm số y = – 2x2 + 20x trên khoảng (0; 10) như trong Hình 6.10. Dạng đồ thị của hàm số y = – 2x2 + 20x có giống với đồ thị của hàm só y = – 2x2 hay không?
b) Quan sát dạng đồ thị của hàm số y = – 2x2 + 20x trong Hình 6.10, tìm tọa độ điểm cao nhất của đồ thị.
c) Thực hiện phép biến đổi
y = – 2x2 + 20x = – 2(x2 – 10x) = – 2(x2 – 2 . 5 . x + 25) + 50 = – 2(x – 5)2 + 50.
Hãy cho biết giá trị lớn nhất của diện tích mảnh đất được rào chắn. Từ đó suy ra lời giải của bài toán ở phần mở đầu.
Lời giải:
a) Ta biểu diễn các điểm có tọa độ (0; 0), (2; 32), (4; 48), (5; 50), (6; 48), (8; 32), (10; 0) lên mặt phẳng tọa độ và nối lại, ta được dạng của đồ thị hàm số y = – 2x2 + 20x trên khoảng (0; 10).
Dạng của đồ thị hàm số y = – 2x2 + 20x giống với dạng của đồ thị hàm số y = – 2x2.
b) Quan sát đồ thị ta thấy tọa độ điểm cao nhất của đồ thị hàm số y = – 2x2 + 20x là điểm (5; 50).
c) Vì (x – 5)2 ≥ 0 với mọi số thực x
Suy ra – 2(x – 5)2 ≤ 0 với mọi số thực x
Do đó: – 2(x – 5)2 + 50 ≤ 0 + 50 = 50 với mọi số thực x.
Khi đó: y ≤ 50. Vậy giá trị lớn nhất của y là 50 hay diện tích lớn nhất của mảnh đất được rào chắn là 50 m2.
Lời giải bài toán mở đầu:
Gọi x (mét, x > 0) là khoảng cách từ điểm cọc P và Q đến bờ tường.
Tấm lưới dài 20 m và được rào chắn ba mặt áp lên bờ tường như Hình 6.8, do đó ta có:
x + x + PQ = 20.
Suy ra: PQ = 20 – x – x = 20 – 2x (m).
Vì PQ > 0 (độ dài dương) nên 20 – 2x > 0 ⇔ 2x < 20 ⇔ x < 10.
Do đó ta có điều kiện của x là 0 < x < 10.
Mảnh đất được rào chắn có dạng hình chữ nhật với hai kích thước là x (m) và 20 – 2x (m) với 0 < x < 10.
Khi đó diện tích của mảnh đất là S(x) = x . (20 – 2x) = – 2x2 + 20x.
Theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm giá trị của x để S(x) có giá trị lớn nhất.
Ta có: S(x) = – 2(x2 – 10x) = – 2(x2 – 2 . 5 . x + 25) + 50 = – 2(x – 5)2 + 50 ≤ 50 với mọi số thực x.
Dấu “=” xảy ra khi x – 5 = 0 ⇔ x = 5 (thỏa mãn điều kiện 0 < x < 10).
Do đó giá trị lớn nhất của S(x) là 50 tại x = 5.
Vậy hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường 5 m để mảnh đất được rào chắn của bác Việt có diện tích lớn nhất.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai hay, chi tiết khác:
HĐ3 trang 13 Toán 10 Tập 2:
Từ các đồ thị hàm số trên, hãy nêu nội dung thay vào ô có dấu “?” trong bảng sau cho thích hợp.
Lời giải:
Quan sát đồ thị hàm số y = – 2x2 – 3x + 1 ta thấy:
+ Hệ số a của hàm số là a = – 2;
+ Bề lõm của đồ thị quay xuống;
+ Đồ thị có điểm cao nhất và điểm này có tọa độ
−
3
4
;
17
8
;
+ Trục đối xứng
x
=
−
3
4
.
Vậy ta hoàn thành bảng như sau:
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai hay, chi tiết khác:
Luyện tập 2 trang 15 Toán 10 Tập 2:
Lời giải:
Ta có: a = 3 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.
Parabol y = 3x2 – 10x + 7 có:
+ Tọa độ đỉnh I
5
3
;
−
4
3
;
+ Trục đối xứng
x
=
5
3
;
+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 7).
+ Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình 3x2 – 10x + 7 = 0, tức là x =
7
3
và x = 1;
+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng
x
=
5
3
là B
10
3
;
7
.
Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.
Quan sát đồ thị, ta thấy:
+ Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng
−
∞
;
5
3
nên hàm số nghịch biến trên khoảng
−
∞
;
5
3
.
+ Đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng
5
3
;
+
∞
nên hàm số đồng biến trên khoảng
5
3
;
+
∞
.
+ Điểm thấp nhất của đồ thị là đỉnh I
5
3
;
−
4
3
, vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là
y
=
−
4
3
, khi
x
=
5
3
.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai hay, chi tiết khác:
Vận dụng 2 trang 15 Toán 10 Tập 2:
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho một chân trụ tháp đặt tại gốc tọa độ, chân còn lại đặt trên tia Ox. Khi đó trụ tháp là một phần của đồ thị hàm số dạng y = ax2 + bx.
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Một chân trụ cột tháp đặt tại gốc tọa độ nên điểm này có tọa độ (0; 0).
Khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng 27 m, và chân trụ còn lại đặt trên tia Ox, do đó điểm đặt chân trụ cột thứ 2 có tọa độ (27; 0).
Chiều cao của trụ tháp tính từ điểm trên mặt đất cách chân trụ tháp 2,26 m là 20 m, điều đó có nghĩa là điểm có tọa độ (2,26; 20) thuộc parabol như trên.
Do đó trụ tháp là một phần đồ thị của hàm số có dạng y = ax2 + bx với a, b là các hằng số, a ≠ 0, đồ thị này đi qua các điểm (0; 0), (27; 0), (2,26; 20) như hình vẽ.
Vì đồ thị hàm số y = ax2 + bx đi qua điểm có tọa độ (27; 0) nên ta có: 0 = a . 272 + b . 27
⇔ 729a + 27b = 0 ⇔ b =
−
729
a
27
=
−
27
a
(1).
Lại có đồ thị hàm số y = ax2 + bx đi qua điểm có tọa độ (2,26; 20) nên ta có:
20 = a . 2,262 + b . 2,26 (2).
Thay (1) vào (2) ta được: 2,262 . a + (– 27a) . 2,26 = 20
⇔ – 55,9124a = 20
⇔ a ≈ – 0,358 (t/m)
Suy ra: b = – 27a ≈ (– 27) . (– 0,358) = 9,666.
Do đó ta có hàm số: y = – 0,358x2 + 9,666x.
Tọa độ đỉnh:
x
=
−
b
2
a
≈
−
9,666
2.
−
0,358
=
13,5
y
≈
65,16
Suy ra đỉnh I(13,5; 65,16).
Vậy độ cao của đỉnh trụ tháp cầu so với mặt đất khoảng 65,16 m.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai hay, chi tiết khác:
Bài 6.7 trang 16 Toán 10 Tập 2: Vẽ các đường parabol sau:
a) y = x2 – 3x + 2;
b) y = – 2x2 + 2x + 3;
c) y = x2 + 2x + 1;
d) y = – x2 + x – 1.
Lời giải:
a) y = x2 – 3x + 2
Ta có: a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.
Parabol y = x2 – 3x + 2 có:
+ Tọa độ đỉnh I
3
2
;
−
1
4
;
+ Trục đối xứng
x
=
3
2
;
+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 2).
+ Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình x2 – 3x + 2 = 0, tức là x = 2 và x = 1;
+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng
x
=
3
2
là B(3; 2).
Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.
b) y = – 2x2 + 2x + 3
Ta có: a = – 2 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.
Parabol y = – 2x2 + 2x + 3 có:
+ Tọa độ đỉnh I
1
2
;
7
2
;
+ Trục đối xứng
x
=
1
2
;
+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 3).
+ Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình – 2x2 + 2x + 3 = 0, tức là x =
1
+
7
2
và x =
1
–
7
2
;
+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng
x
=
1
2
là B(1; 3).
Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.
c) y = x2 + 2x + 1
Ta có: a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.
Parabol y = x2 + 2x + 1 có:
+ Tọa độ đỉnh I(– 1; 0)
+ Trục đối xứng x = – 1;
+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; 1).
+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng x = – 1 là B(– 2; 1).
+ Lấy điểm C(1; 4) thuộc parabol, điểm đối xứng với C qua trục đối xứng x = – 1 là D(– 3; 4).
Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.
d) y = – x2 + x – 1
Ta có: a = – 1 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.
Parabol y = – x2 + x – 1 có:
+ Tọa độ đỉnh I
1
2
;
−
3
4
;
+ Trục đối xứng
x
=
1
2
;
+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0; – 1).
+ Điểm đối xứng với điểm A qua trục đối xứng
x
=
1
2
là B(1; – 1).
+ Lấy điểm C(2; – 3) thuộc parabol, điểm đối xứng
x
=
1
2
với trục đối xứng là D(– 1; – 3).
Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai hay, chi tiết khác:
Bài 6.8 trang 16 Toán 10 Tập 2: Từ các parabol đã vẽ ở Bài tập 6.7, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của mỗi hàm số bậc hai tương ứng.
Lời giải:
Quan sát các đồ thị ta thấy:
a) Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng
−
∞
;
3
2
nên hàm số y = x2 – 3x + 2 nghịch biến trên khoảng
−
∞
;
3
2
.
Đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng
3
2
;
+
∞
nên hàm số y = x2 – 3x + 2 đồng biến trên khoảng
3
2
;
+
∞
.
b) Đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng
−
∞
;
1
2
nên hàm số y = – 2x2 + 2x + 3 đồng biến trên khoảng
−
∞
;
1
2
.
Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng
1
2
;
+
∞
nên hàm số y = – 2x2 + 2x + 3 nghịch biến trên khoảng
1
2
;
+
∞
.
c) Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng (– ∞; – 1) nên hàm số y = x2 + 2x + 1 nghịch biến trên khoảng (– ∞; – 1).
Đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng (– 1; +∞) nên hàm số y = x2 + 2x + 1 đồng biến trên khoảng (– 1; +∞).
d) Đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng
−
∞
;
1
2
nên hàm số y = – x2 + x – 1 đồng biến trên khoảng
−
∞
;
1
2
.
Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên khoảng
1
2
;
+
∞
nên hàm số y = – x2 + x – 1 nghịch biến trên khoảng
1
2
;
+
∞
.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai hay, chi tiết khác:
Bài 6.9 trang 16 Toán 10 Tập 2: Xác định parabol y = ax2 + bx + 1, trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua hai điểm A(1; 0) và B(2; 4);
b) Đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng x = 1;
c) Có đỉnh I(1; 2);
d) Đi qua điểm C(– 1; 1) và có tung độ đỉnh bằng – 0,25.
Lời giải:
Điều kiện: a ≠ 0.
a) Parabol y = ax2 + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax2 + bx + 1, do đó: 0 = a . 12 + b . 1 + 1
⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b (1a).
Parabol y = ax2 + bx + 1 đi qua điểm B(2; 4) nên ta có tọa độ điểm B thỏa mãn hàm số y = ax2 + bx + 1, do đó: 4 = a . 22 + b . 2 + 1
⇔ 4a + 2b = 3 (2a).
Thay (1a) vào (2a) ta được: 4 . (– 1 – b) + 2b = 3 ⇔ – 2b = 7 ⇔ b =
−
7
2
.
Suy ra: a = – 1
−
−
7
2
=
5
2
.
Vậy ta có parabol:
y
=
5
2
x
2
−
7
2
x
+
1
.
b) Parabol y = ax2 + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax2 + bx + 1, do đó: 0 = a . 12 + b . 1 + 1
⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b (1b).
Parabol y = ax2 + bx + 1 có trục đối xứng x = 1 nên
−
b
2
a
=
1
⇔
2
a
=
−
b
(2b).
Thay (1b) vào (2b) ta có: 2 . (– 1 – b) = – b ⇔ b = – 2.
Suy ra: a = – 1 – (– 2) = 1.
Vậy ta có parabol: y = x2 – 2x + 1.
c) Parabol y = ax2 + bx + 1 có đỉnh I(1; 2).
Do đó:
−
b
2
a
=
1
⇔
2
a
=
−
b
và 2 = a . 12 + b . 1 + 1 ⇔ a + b = 1 ⇔ a = 1 – b.
Suy ra: 2 . (1 – b) = – b ⇔ b = 2.
Khi đó: a = 1 – 2 = – 1.
Vậy ta có parabol: y = – x2 + 2x + 1.
d) Parabol y = ax2 + bx + 1 đi qua điểm C(– 1; 1) nên ta có tọa độ điểm C thỏa mãn hàm số y = ax2 + bx + 1, do đó: 1 = a . (– 1)2 + b . (– 1) + 1
⇔ a – b = 0 ⇔ a = b.
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = a2 – 4 . a . 1 = a2 – 4a.
Tung độ đỉnh bằng – 0,25 nên
−
Δ
4
a
=
−
0,25
⇔
a
2
−
4
a
4
a
=
0,25
⇔
a
a
−
4
4
a
=
1
4
(do a ≠ 0)
⇔ a – 4 = 1 ⇔ a = 5.
Do đó: a = b = 5.
Vậy ta có parabol: y = 5x2 + 5x + 1.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai hay, chi tiết khác:
Bài 6.10 trang 16 Toán 10 Tập 2: Xác định parabol y = ax2 + bx + c, biết rằng parabol đó đi qua điểm A(8; 0) và có đỉnh là I(6; – 12).
Gợi ý: Phương trình parabol có thể viết dưới dạng y = a(x – h)2 + k, trong đó I(h; k) là tọa độ đỉnh của parabol.
Lời giải:
Điều kiện: a ≠ 0.
Vì parabol có đỉnh là I(6; – 12) nên phương trình parabol có dạng: y = a(x – 6)2 – 12.
Mặt khác, parabol đi qua điểm A(8; 0) nên ta có: 0 = a(8 – 6)2 – 12
⇔ a . 4 – 12 = 0 ⇔ a = 3 (t/m).
Vậy phương trình parabol là y = 3(x – 6)2 – 12 hay y = 3x2 – 36x + 96.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai hay, chi tiết khác:
Bài 6.11 trang 16 Toán 10 Tập 2: Gọi (P) là đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c. Hãy xác định dấu của hệ số a và biệt thức ∆, trong mỗi trường hợp sau:
a) (P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành;
b) (P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành;
c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành;
d) (P) tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.
Lời giải:
a) Vì (P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên:
+ Bề lõm của đồ thị phải quay lên trên, do đó hệ số a > 0.
+ Giá trị của hàm số y > 0 nên biệt thức ∆ > 0 (vì ∆ là giá trị của y tại hoành độ của đỉnh).
b) Vì (P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên:
+ Bề lõm của đồ thị phải quay xuống dưới, do đó hệ số a < 0.
+ Giá trị của hàm số y < 0 nên biệt thức ∆ < 0 (vì ∆ là giá trị của y tại hoành độ của đỉnh).
c) Vì (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt nên phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt, do đó biệt thức ∆ > 0.
(P) có đỉnh nằm phía dưới trục hoành và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên bề lõm của đồ thị phải quay lên trên, do đó hệ số a > 0.
d) (P) tiếp xúc với trục hoành nên nên phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép, do đó biệt thức ∆ = 0.
(P) nằm phía trên trục hoành nên bề lõm của đồ thị phải quay lên trên, do đó hệ số a > 0.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai hay, chi tiết khác:
Bài 6.12 trang 16 Toán 10 Tập 2: Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.
An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là 12 m.
Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.
Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé!
Lời giải:
Cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng là một parabol, giả sử parabol này có phương trình là y = ax2 + bx + c với a ≠ 0.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ với Oy là trục đối xứng của cổng parabol:
Khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 8 m.
O là trung điểm của AB nên AO = OB = 4 m.
Lấy điểm C cách A một khoảng 0,5 m, vì chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m nên CD = 2,93 m.
Ta có: CO = AO – AC = 4 – 0,5 = 3,5 m.
Do đó ta có tọa độ các điểm là: A(– 4; 0), B(4; 0), C(– 3,5; 0), D(– 3,5; 2,93).
Ta thấy parabol đi qua các điểm A, B, D nên phương trình y = ax2 + bx + c thỏa mãn tọa độ các điểm A, B, D, do đó ta có:
0 = a . (– 4)2 + b . (– 4) + c ⇔ 16a – 4b + c = 0 (1)
0 = a . 42 + b . 4 + c ⇔ 16a + 4b + c = 0 (2)
2,93 = a . (– 3,5)2 + b . (– 3,5) + c = 0 ⇔ 12,25a – 3,5b + c = 2,93 (3)
Lấy (2) trừ (1) theo vế ta được: 8b = 0 ⇔ b = 0 thay vào (1) và (3) ta có hệ:
16
a
+
c
=
0
12,25
a
+
c
=
2,93
⇔
a
=
−
293
375
c
=
4688
375
Do đó phương trình parabol:
y
=
−
293
375
x
2
+
4688
375
.
Tọa độ đỉnh I
0
;
4688
375
.
Chiều cao của cổng parabol chính là tung độ đỉnh I và bằng
4688
375
≈
12,5
m.
Vậy kết quả của bạn An tính ra là không chính xác.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai hay, chi tiết khác:
Bài 6.13 trang 16 Toán 10 Tập 2: Bác Hùng dùng 40 m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.
a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật được rào theo chiều rộng x (mét) của nó.
b) Tính kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.
Lời giải:
a) Bác Hùng dùng lưới để rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng x (mét) như sau:
Vì tấm lưới dài 40 m, hay chính là chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật ABCD là 40 m.
Suy ra nửa chu vi của mảnh vườn là 40 : 2 = 20 m.
Do đó chiều dài của mảnh vườn rào được theo chiều rộng x (mét) là: 20 – x (m).
Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng x (mét) là:
S(x) = x . (20 – x) = – x2 + 20x (m2).
b) Để tìm diện tích lớn nhất của mảnh vườn hình chữ nhật bác Hùng có thể rào được, ta tính giá trị lớn nhất của hàm số S(x), đây là hàm số bậc hai.
Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số bậc hai S(x) = – x2+ 20x là I(10; 100).
Do đó giá trị lớn nhất của hàm số S(x) là S =100 tại x = 10.
Suy ra chiều dài khi chiều rộng x = 10 m là 20 – 10 = 10 (m).
Vậy để mảnh vườn rào được có diện tích lớn nhất thì bác Hùng nên rào lưới thép gai thành hình vuông có độ dài cạnh là 10 m.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai hay, chi tiết khác:
Bài 6.14 trang 16 Toán 10 Tập 2:
y
=
−
3
1000
x
2
+
x
, trong đó x (mét) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc O, y (mét) là độ cao của vậy so với mặt đất (H.6.15).
a) Tìm độ cao lớn nhất của vật trong quá trình bay.
b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O. Khoảng cách này gọi là tầm xa của quỹ đạo.
Lời giải:
a) Độ cao lớn nhất của vật trong quá trình bay chính là tung độ đỉnh của parabol có phương trình
y
=
−
3
1000
x
2
+
x
.
Ta có tọa độ đỉnh là I
500
3
;
250
3
.
Vậy độ cao lớn nhất của vật trong quá trình bay là
250
3
≈
83,33
mét.
b) Khi vật chạm đất, tức là y = 0 hay
−
3
1000
x
2
+
x
=
0
⇔
x
−
3
1000
x
+
1
=
0
⇔
x
=
0
x
=
1000
3
Ta loại trường hợp x = 0 vì đây là vị trí điểm gốc tọa độ O.
Vậy khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O hay tầm xa của quỹ đạo là mét.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai hay, chi tiết khác: