Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây

HĐ1 trang 31 Toán 10 Tập 2:



n








0





và điểm A. Tìm tập hợp những điểm M sao cho 




A


M






vuông góc với



n





Lời giải:

Ta có:




A


M









n





nên đường thẳng AM vuông góc với giá của vectơ



n





.

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với giá của vectơ



n





Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:

HĐ2 trang 31 Toán 10 Tập 2:



n





(

a

;

 

b

)

. Chứng minh rằng điểm M(x; y) thuộc ∆ khi và chỉ khi 

a(x – x0) + b(y – y0) = 0.  (1)

Lời giải:

Ta có:




A


M






=



x






x


0



;


y






y


0




.

Vì điểm M(x; y) thuộc ∆ ⇔ 



n









A


M










n





.



A


M






=

0

⇔ a.(x – x0) + b(y – y0) = 0. 

Vậy điểm M(x; y) thuộc ∆ khi và chỉ khi a(x – x0) + b(y – y0) = 0.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 32 Toán 10 Tập 2:

Lời giải:

Ta có:




B


C






=



6





2


;


1





3



=



4


;





2



.

Gọi đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là đường thẳng ∆, do đó ∆ ⊥ BC. 

Suy ra đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 1; 5) và nhận vectơ




B


C






làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 4(x + 1) – 2(y – 5) = 0 hay 2x – y + 7 = 0. 

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 32 Toán 10 Tập 2:

Lời giải:

Ta có: y = 3x + 4 ⇔ 3x – y + 4 = 0. 

Do đó đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: 3x – y + 4 = 0. 

Vậy một vectơ pháp tuyến của ∆ là



n







3


;





1



Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:

HĐ3 trang 32 Toán 10 Tập 2:



v





và đi qua A thì nó di chuyển trên đường nào?  

Lời giải:

Quan sát Hình 7.2a ta thấy giá của vectơ song song với đường thẳng ∆2 nên vật thể chuyển động với vận tốc bằng 



v





và đi qua A thì nó di chuyển trên đường ∆2

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:

Luyện tập 3 trang 33 Toán 10 Tập 2:

Lời giải:

Đường thẳng ∆: 2x – y + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là



n







2


;





1



Do đó một vectơ chỉ phương của ∆ là



u







1


;


2



Ngoài ra ta có thể chọn một vectơ chỉ phương khác của ∆ là



v










1


;





2



Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:

HĐ4 trang 33 Toán 10 Tập 2:



v







3


;


4



a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?

b) Chứng minh rằng, tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là (2 + 3t; 1 + 4t). 

Lời giải:

a) Vật thể chuyển động trên đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) và nhận vectơ vận tốc



v







3


;


4



làm vectơ chỉ phương. 

b) Gọi M(2 + 3t; 1 + 4t). 

Có:




A


M






=



2


+


3


t





2


;


1


+


4


t





1



=



3


t


;


4


t



=

t



3


;


4



=

t


v





Do đó vectơ 




A


M






và vectơ 



v





là hai vectơ cùng phương hay AM song song hoặc trùng với giá của



v





.

Khi đó điểm M thuộc đường thẳng chuyển động của vật thể, tức là đường thẳng đi qua điểm A và nhận vectơ vận tốc



v





làm vectơ chỉ phương.

Vậy tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là (2 + 3t; 1 + 4t). 

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:

Luyện tập 4 trang 33 Toán 10 Tập 2:

Lời giải:

Đường thẳng d: 3x – 4y – 1 = 0 nhận 




n






d




3


;





4



làm vectơ pháp tuyến nên đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là




u






d




4


;


3



Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d nên đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là




u






Δ


=



u






d


=



4


;


3



Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(– 1; 2) và có vectơ chỉ phương là 




u






Δ




3


;


4



nên phương trình tham số của ∆ là






x


=





1


+


3


t






y


=


2


+


4


t





Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:

Luyện tập 5 trang 33 Toán 10 Tập 2:

Lời giải:

Ta có:




A


B






=




x


2







x


1



;



y


2







y


1




Đường thẳng AB đi qua điểm A(x1; y1) và có vectơ chỉ phương




A


B






, do đó có phương trình tham số là






x


=



x


1



+





x


2







x


1





t






y


=



y


1



+





y


2







y


1





t





Gọi vectơ 



n





là vectơ vuông góc với




A


B






. Khi đó vectơ



n





có tọa độ là



n





=









y


2







y


1





;



x


2







x


1




 

=




y


1







y


2



;



x


2







x


1




Đường thẳng AB đi qua điểm A(x1; y1) và có vectơ pháp tuyến



n





, do đó có phương trình tổng quát là: (y1 – y2)(x – x1) + (x2 – x1)(y – y1) = 0 hay (y1 – y2)x + (x2 – x1)y + x1y2 – x2y1 = 0. 

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:

Vận dụng trang 34 Toán 10 Tập 2:

Nước đóng băng ở 0 °C, 32 °F; 

Nước sôi ở 100 °C, 212 °F. 

Trong quy đổi đó, nếu a °C tương ứng với b °F thì trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212). 

Hỏi 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C?

Lời giải:

Ta lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 32) và B(100; 212). 

Ta có:




A


B






=



100





0


;


212





32



=



100


;


180



.

Chọn 



u





=


1


20




A


B






=



5


;





9



là một vectơ chỉ phương của AB thì đường thẳng AB có một vectơ pháp tuyến là



n







9


;





5



Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng AB là 

9(x – 0) – 5(y – 32) = 0 hay 9x – 5y + 160 = 0. 

Để tìm 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C nghĩa là ta tìm hoành độ của các điểm thuộc đường thẳng AB có tung độ lần lượt là 0 và 100. 

Tại 0 °F, nghĩa là y = 0 thì 9x – 5 . 0 + 160 = 0 ⇔ 9x = – 160 ⇔ x =





160


9


.

Tại 100 °F, nghĩa là y = 100 thì 9x – 5 . 100 + 160 = 0 ⇔ 9x = 340 ⇔ x =



340


9


Vậy 0 °F tương ứng với





160


9


°C và 100 °F tương ứng với



340


9


°C. 

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:

Bài 7.1 trang 34 Toán 10 Tập 2:



n





=



2


;





1



,




v





=



3


;





2



,



A



1


;





3



,



B






2


;





1



a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆1 đi qua A và có vectơ pháp tuyến



n





b) Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆2 đi qua B và có vectơ chỉ phương



v





c) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB. 

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆1 đi qua A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến



n





=



2


;


1



, do đó phương trình tổng quát của ∆1 là: 2(x – 1) + 1(y – 3) = 0 hay 2x + y – 5 = 0. 

b) Đường thẳng ∆2 đi qua B(– 2; 1) và có vectơ chỉ phương



v





=



3


;


  


2



, do đó phương trình tham số của ∆2






x


=





2


+


3


t






y


=


1


+


2


t





c) Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 3) và nhận




A


B






=






2





1


;


1





3



=






3


;





2



làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng AB là






x


=


1





3


t






y


=


3





2


t





Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:

Bài 7.2 trang 34 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình đường thẳng tổng quát của các trục tọa độ. 

Lời giải:

Các vectơ đơn vị của trục Ox và Oy lần lượt là



i







1


;


  


0





j







0


;


  


1



. Mỗi vectơ đơn vị chính là 1 vectơ chỉ phương của mỗi trục.

Hai trục tọa độ vuông góc với nhau nên vectơ



j







0


;


  


1



chỉ phương của trục này là vectơ pháp tuyến của trục kia. 

Trục Ox đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của Ox là: 0(x – 0) + 1(y – 0) = 0 hay y = 0. 

Trục Oy đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ



i







1


;


  


0



làm vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của Oy là: 1(x – 0) + 0(y – 0) = 0 hay x = 0. 

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:

Bài 7.3 trang 34 Toán 10 Tập 2:






x


=


1


+


2


t






y


=


3


+


5


t





và ∆2: 2x + 3y – 5 = 0. 

a) Lập phương trình tổng quát của ∆1

b) lập phương trình tham số của ∆2

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆1 có phương trình tham số là






x


=


1


+


2


t






y


=


3


+


5


t





, do đó đường thẳng ∆­1 đi qua điểm A(1; 3) và có một vectơ chỉ phương là 




u






1


=



2


;


5



Suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆1




n






1


=



5


;








2



Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆1 là 5(x – 1) – 2(y – 3) = 0 hay 5x – 2y + 1 = 0. 

b) Đường thẳng ∆2 có phương trình tổng quát là 2x + 3y – 5 = 0 nên ∆2 có một vectơ pháp tuyến là




n






2


=



2


;


  


3



Suy ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆2




u






2


=



3


;








2



Ta lấy điểm B(1; 1) thuộc ∆2 (do 2 . 1 + 3 . 1 – 5 = 0). 

Khi đó đường thẳng ∆2 đi qua điểm B(1; 1) và nhận 




u






2


=



3


;








2



làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của ∆2






x


=


1


+


3


t






y


=


1





2


t





Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:

Bài 7.4 trang 34 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(– 2; – 1). 

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A. 

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B. 

Lời giải:

a) Ta có:




B


C






=






2





3


;





1





0



=






5


;





1



.

Gọi đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là đường thẳng ∆, do đó ∆ ⊥ BC. 

Suy ra đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và nhận vectơ 




B


C






làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là – 5(x – 1) – 1(y – 2) = 0 hay 5x + y – 7 = 0. 

b) Gọi M là trung điểm của AC, khi đó tọa độ của điểm M là 







x


M



=





x


A



+



x


C




2



=




1


+







2





2



=







1



2








y


M



=





y


A



+



y


C




2



=




2


+







1





2



=



1


2






Hay M








1


2



;



1


2




Đường trung tuyến kẻ từ B chính là đường thẳng BM. 

Ta có:




B


M






=







1


2






3


;



1


2






0



=







7


2



;



1


2




Chọn



u





=

2



B


M






=






7


;


  


1



Đường trung tuyến BM đi qua B(3; 0) và có một vectơ chỉ phương



u





=






7


;


  


1



, do đó phương trình tham số của đường thẳng BM là 






x


=


3





7


t






y


=


t





Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:

Bài 7.5 trang 34 Toán 10 Tập 2: (Phương trình đoạn chắn của đường thẳng) 

Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 (H.7.3) có phương trình là



x


a


+


y


b


=

1

Lời giải:

Ta có:




A


B






=



0





a


;


b





0



=






a


;





b



Suy ra đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là 




A


B






=






a


;


b



nên nó có một vectơ pháp tuyến là



n





=



b


;





a



Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng AB đi qua điểm A và nhận 



n





làm vectơ pháp tuyến là: b(x – a) + a(y – 0) = 0 hay bx + ay – ab = 0   (1). 

Do ab ≠ 0 nên ta chia cả hai vế của (1) cho ab, ta được: 




b


x




a


b



+



a


y




a


b







a


b




a


b



=


0



a


b







x


a


+


y


b




1

=

0





x


a


+


y


b


=

1

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 có phương trình là



x


a


+


y


b


=

1

.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:

Bài 7.6 trang 34 Toán 10 Tập 2: Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21,2° Bắc, kinh độ 105,8° Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 16,1° Bắc, kinh độ 108,2° Đông. Một máy bay, bay từ sân bay Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí đó có vĩ độ x° Bắc, kinh độ y° Đông được tính theo công thức

 






x


=


21,2






153


40



t






y


=


105,8


+



9


5



t





a) Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?

b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17° Bắc) chưa? 

Lời giải:

a) Tại sân bay Nội Bài, máy bay bắt đầu bay ứng với thời gian t = 0. 

Tọa độ của sân bay Đà Nẵng thỏa mãn hệ






x


=


21,2






153


40



t






y


=


105,8


+



9


5



t





Do đó, thời gian máy bay bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng là nghiệm t của hệ






16,1


=


21,2






153


40



t


         



1







108,2


=


105,8


+



9


5



t


       



2






.

Từ (1) suy ra t =



4


3


Từ (2) suy ra t =



4


3


Do đó t =



4


3


là nghiệm của hệ trên. 

Vậy chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất



4


3


giờ. 

b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, nghĩa là t = 1, thay vào hệ 






x


=


21,2






153


40



t






y


=


105,8


+



9


5



t





ta được:






x


=


21,2






153


40



.1






y


=


105,8


+



9


5



.1











x


=


17,375






y


=


107,6





Do đó tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đang ở vị trí có 17,375° Bắc và có kinh độ 107,6° Đông. 

Vậy tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17° Bắc).

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:

 

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình 5 / 5. Số lượt đánh giá: 1124

Chưa có ai đánh giá! Hãy là người đầu tiên đánh giá bài này.

--Chọn Bài--

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!

Tải xuống