Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây
HĐ1 trang 31 Toán 10 Tập 2:
n
→
≠
0
→
và điểm A. Tìm tập hợp những điểm M sao cho
A
M
→
vuông góc với
n
→
.
Lời giải:
Ta có:
A
M
→
⊥
n
→
nên đường thẳng AM vuông góc với giá của vectơ
n
→
.
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với giá của vectơ
n
→
.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:
HĐ2 trang 31 Toán 10 Tập 2:
n
→
(
a
;
b
)
. Chứng minh rằng điểm M(x; y) thuộc ∆ khi và chỉ khi
a(x – x0) + b(y – y0) = 0. (1)
Lời giải:
Ta có:
A
M
→
=
x
−
x
0
;
y
−
y
0
.
Vì điểm M(x; y) thuộc ∆ ⇔
n
→
⊥
A
M
→
⇔
n
→
.
A
M
→
=
0
⇔ a.(x – x0) + b(y – y0) = 0.
Vậy điểm M(x; y) thuộc ∆ khi và chỉ khi a(x – x0) + b(y – y0) = 0.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:
Luyện tập 1 trang 32 Toán 10 Tập 2:
Lời giải:
Ta có:
B
C
→
=
6
−
2
;
1
−
3
=
4
;
−
2
.
Gọi đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là đường thẳng ∆, do đó ∆ ⊥ BC.
Suy ra đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 1; 5) và nhận vectơ
B
C
→
làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 4(x + 1) – 2(y – 5) = 0 hay 2x – y + 7 = 0.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:
Luyện tập 2 trang 32 Toán 10 Tập 2:
Lời giải:
Ta có: y = 3x + 4 ⇔ 3x – y + 4 = 0.
Do đó đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: 3x – y + 4 = 0.
Vậy một vectơ pháp tuyến của ∆ là
n
→
3
;
−
1
.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:
HĐ3 trang 32 Toán 10 Tập 2:
v
→
và đi qua A thì nó di chuyển trên đường nào?
Lời giải:
Quan sát Hình 7.2a ta thấy giá của vectơ song song với đường thẳng ∆2 nên vật thể chuyển động với vận tốc bằng
v
→
và đi qua A thì nó di chuyển trên đường ∆2.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:
Luyện tập 3 trang 33 Toán 10 Tập 2:
Lời giải:
Đường thẳng ∆: 2x – y + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là
n
→
2
;
−
1
.
Do đó một vectơ chỉ phương của ∆ là
u
→
1
;
2
.
Ngoài ra ta có thể chọn một vectơ chỉ phương khác của ∆ là
v
→
−
1
;
−
2
.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:
HĐ4 trang 33 Toán 10 Tập 2:
v
→
3
;
4
.
a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?
b) Chứng minh rằng, tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là (2 + 3t; 1 + 4t).
Lời giải:
a) Vật thể chuyển động trên đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) và nhận vectơ vận tốc
v
→
3
;
4
làm vectơ chỉ phương.
b) Gọi M(2 + 3t; 1 + 4t).
Có:
A
M
→
=
2
+
3
t
−
2
;
1
+
4
t
−
1
=
3
t
;
4
t
=
t
3
;
4
=
t
v
→
.
Do đó vectơ
A
M
→
và vectơ
v
→
là hai vectơ cùng phương hay AM song song hoặc trùng với giá của
v
→
.
Khi đó điểm M thuộc đường thẳng chuyển động của vật thể, tức là đường thẳng đi qua điểm A và nhận vectơ vận tốc
v
→
làm vectơ chỉ phương.
Vậy tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là (2 + 3t; 1 + 4t).
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:
Luyện tập 4 trang 33 Toán 10 Tập 2:
Lời giải:
Đường thẳng d: 3x – 4y – 1 = 0 nhận
n
→
d
3
;
−
4
làm vectơ pháp tuyến nên đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là
u
→
d
4
;
3
.
Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d nên đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là
u
→
Δ
=
u
→
d
=
4
;
3
.
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(– 1; 2) và có vectơ chỉ phương là
u
→
Δ
3
;
4
nên phương trình tham số của ∆ là
x
=
−
1
+
3
t
y
=
2
+
4
t
.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:
Luyện tập 5 trang 33 Toán 10 Tập 2:
Lời giải:
Ta có:
A
B
→
=
x
2
−
x
1
;
y
2
−
y
1
.
Đường thẳng AB đi qua điểm A(x1; y1) và có vectơ chỉ phương
A
B
→
, do đó có phương trình tham số là
x
=
x
1
+
x
2
−
x
1
t
y
=
y
1
+
y
2
−
y
1
t
.
Gọi vectơ
n
→
là vectơ vuông góc với
A
B
→
. Khi đó vectơ
n
→
có tọa độ là
n
→
=
−
y
2
−
y
1
;
x
2
−
x
1
=
y
1
−
y
2
;
x
2
−
x
1
.
Đường thẳng AB đi qua điểm A(x1; y1) và có vectơ pháp tuyến
n
→
, do đó có phương trình tổng quát là: (y1 – y2)(x – x1) + (x2 – x1)(y – y1) = 0 hay (y1 – y2)x + (x2 – x1)y + x1y2 – x2y1 = 0.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:
Vận dụng trang 34 Toán 10 Tập 2:
Nước đóng băng ở 0 °C, 32 °F;
Nước sôi ở 100 °C, 212 °F.
Trong quy đổi đó, nếu a °C tương ứng với b °F thì trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212).
Hỏi 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C?
Lời giải:
Ta lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 32) và B(100; 212).
Ta có:
A
B
→
=
100
−
0
;
212
−
32
=
100
;
180
.
Chọn
u
→
=
1
20
A
B
→
=
5
;
9
là một vectơ chỉ phương của AB thì đường thẳng AB có một vectơ pháp tuyến là
n
→
9
;
−
5
.
Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng AB là
9(x – 0) – 5(y – 32) = 0 hay 9x – 5y + 160 = 0.
Để tìm 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C nghĩa là ta tìm hoành độ của các điểm thuộc đường thẳng AB có tung độ lần lượt là 0 và 100.
Tại 0 °F, nghĩa là y = 0 thì 9x – 5 . 0 + 160 = 0 ⇔ 9x = – 160 ⇔ x =
−
160
9
.
Tại 100 °F, nghĩa là y = 100 thì 9x – 5 . 100 + 160 = 0 ⇔ 9x = 340 ⇔ x =
340
9
.
Vậy 0 °F tương ứng với
−
160
9
°C và 100 °F tương ứng với
340
9
°C.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:
Bài 7.1 trang 34 Toán 10 Tập 2:
n
→
=
2
;
1
,
v
→
=
3
;
2
,
A
1
;
3
,
B
−
2
;
1
.
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆1 đi qua A và có vectơ pháp tuyến
n
→
.
b) Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆2 đi qua B và có vectơ chỉ phương
v
→
.
c) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB.
Lời giải:
a) Đường thẳng ∆1 đi qua A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến
n
→
=
2
;
1
, do đó phương trình tổng quát của ∆1 là: 2(x – 1) + 1(y – 3) = 0 hay 2x + y – 5 = 0.
b) Đường thẳng ∆2 đi qua B(– 2; 1) và có vectơ chỉ phương
v
→
=
3
;
2
, do đó phương trình tham số của ∆2 là
x
=
−
2
+
3
t
y
=
1
+
2
t
.
c) Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 3) và nhận
A
B
→
=
−
2
−
1
;
1
−
3
=
−
3
;
−
2
làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng AB là
x
=
1
−
3
t
y
=
3
−
2
t
.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:
Bài 7.2 trang 34 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình đường thẳng tổng quát của các trục tọa độ.
Lời giải:
Các vectơ đơn vị của trục Ox và Oy lần lượt là
i
→
1
;
0
và
j
→
0
;
1
. Mỗi vectơ đơn vị chính là 1 vectơ chỉ phương của mỗi trục.
Hai trục tọa độ vuông góc với nhau nên vectơ
j
→
0
;
1
chỉ phương của trục này là vectơ pháp tuyến của trục kia.
Trục Ox đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của Ox là: 0(x – 0) + 1(y – 0) = 0 hay y = 0.
Trục Oy đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ
i
→
1
;
0
làm vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của Oy là: 1(x – 0) + 0(y – 0) = 0 hay x = 0.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:
Bài 7.3 trang 34 Toán 10 Tập 2:
x
=
1
+
2
t
y
=
3
+
5
t
và ∆2: 2x + 3y – 5 = 0.
a) Lập phương trình tổng quát của ∆1.
b) lập phương trình tham số của ∆2.
Lời giải:
a) Đường thẳng ∆1 có phương trình tham số là
x
=
1
+
2
t
y
=
3
+
5
t
, do đó đường thẳng ∆1 đi qua điểm A(1; 3) và có một vectơ chỉ phương là
u
→
1
=
2
;
5
.
Suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆1 là
n
→
1
=
5
;
−
2
.
Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆1 là 5(x – 1) – 2(y – 3) = 0 hay 5x – 2y + 1 = 0.
b) Đường thẳng ∆2 có phương trình tổng quát là 2x + 3y – 5 = 0 nên ∆2 có một vectơ pháp tuyến là
n
→
2
=
2
;
3
.
Suy ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆2 là
u
→
2
=
3
;
−
2
.
Ta lấy điểm B(1; 1) thuộc ∆2 (do 2 . 1 + 3 . 1 – 5 = 0).
Khi đó đường thẳng ∆2 đi qua điểm B(1; 1) và nhận
u
→
2
=
3
;
−
2
làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của ∆2 là
x
=
1
+
3
t
y
=
1
−
2
t
.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:
Bài 7.4 trang 34 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(– 2; – 1).
a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A.
b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.
Lời giải:
a) Ta có:
B
C
→
=
−
2
−
3
;
−
1
−
0
=
−
5
;
−
1
.
Gọi đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là đường thẳng ∆, do đó ∆ ⊥ BC.
Suy ra đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và nhận vectơ
B
C
→
làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là – 5(x – 1) – 1(y – 2) = 0 hay 5x + y – 7 = 0.
b) Gọi M là trung điểm của AC, khi đó tọa độ của điểm M là
x
M
=
x
A
+
x
C
2
=
1
+
−
2
2
=
−
1
2
y
M
=
y
A
+
y
C
2
=
2
+
−
1
2
=
1
2
Hay M
−
1
2
;
1
2
Đường trung tuyến kẻ từ B chính là đường thẳng BM.
Ta có:
B
M
→
=
−
1
2
−
3
;
1
2
−
0
=
−
7
2
;
1
2
.
Chọn
u
→
=
2
B
M
→
=
−
7
;
1
.
Đường trung tuyến BM đi qua B(3; 0) và có một vectơ chỉ phương
u
→
=
−
7
;
1
, do đó phương trình tham số của đường thẳng BM là
x
=
3
−
7
t
y
=
t
.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:
Bài 7.5 trang 34 Toán 10 Tập 2: (Phương trình đoạn chắn của đường thẳng)
Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 (H.7.3) có phương trình là
x
a
+
y
b
=
1
.
Lời giải:
Ta có:
A
B
→
=
0
−
a
;
b
−
0
=
−
a
;
b
.
Suy ra đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là
A
B
→
=
−
a
;
b
nên nó có một vectơ pháp tuyến là
n
→
=
b
;
a
.
Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng AB đi qua điểm A và nhận
n
→
làm vectơ pháp tuyến là: b(x – a) + a(y – 0) = 0 hay bx + ay – ab = 0 (1).
Do ab ≠ 0 nên ta chia cả hai vế của (1) cho ab, ta được:
b
x
a
b
+
a
y
a
b
−
a
b
a
b
=
0
a
b
⇔
x
a
+
y
b
−
1
=
0
⇔
x
a
+
y
b
=
1
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 có phương trình là
x
a
+
y
b
=
1
.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác:
Bài 7.6 trang 34 Toán 10 Tập 2: Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21,2° Bắc, kinh độ 105,8° Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 16,1° Bắc, kinh độ 108,2° Đông. Một máy bay, bay từ sân bay Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí đó có vĩ độ x° Bắc, kinh độ y° Đông được tính theo công thức
x
=
21,2
−
153
40
t
y
=
105,8
+
9
5
t
a) Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?
b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17° Bắc) chưa?
Lời giải:
a) Tại sân bay Nội Bài, máy bay bắt đầu bay ứng với thời gian t = 0.
Tọa độ của sân bay Đà Nẵng thỏa mãn hệ
x
=
21,2
−
153
40
t
y
=
105,8
+
9
5
t
.
Do đó, thời gian máy bay bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng là nghiệm t của hệ
16,1
=
21,2
−
153
40
t
1
108,2
=
105,8
+
9
5
t
2
.
Từ (1) suy ra t =
4
3
.
Từ (2) suy ra t =
4
3
.
Do đó t =
4
3
là nghiệm của hệ trên.
Vậy chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất
4
3
giờ.
b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, nghĩa là t = 1, thay vào hệ
x
=
21,2
−
153
40
t
y
=
105,8
+
9
5
t
ta được:
x
=
21,2
−
153
40
.1
y
=
105,8
+
9
5
.1
⇔
x
=
17,375
y
=
107,6
.
Do đó tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đang ở vị trí có 17,375° Bắc và có kinh độ 107,6° Đông.
Vậy tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17° Bắc).
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác: