Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây
HĐ1 trang 48 Toán 10 Tập 2:
a) Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?
b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí F1, F2 có thay đổi không? Vì sao?
Lời giải:
a) Đường vừa nhận được có liên hệ với Hình 7.17b, hai hình này có dạng gần giống nhau.
b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ đầu bút tới các vị trí F1, F2 không thay đổi vì nó luôn bằng độ dài của sợi dây.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Câu hỏi trang 49 Toán 10 Tập 2:
Lời giải:
Xét tam giác MF1F2, theo bất đẳng thức tam giác ta có: MF1 + MF2 > F1F2.
Mà MF1 + MF2 = 2a, F1F2 = 2c nên 2a > 2c.
Suy ra: a > c.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Luyện tập 1 trang 49 Toán 10 Tập 2:
Lời giải:
Vị trí ban đầu của bi và vị trí của lỗ thu là 2 tiêu điểm của hình elip, gọi hai tiêu điểm này lần lượt là F1 và F2. Bi lăn từ F1 đến một vị trí M trên hình elip rồi đi đến F2.
Do đó, quãng đường bi đi được là: MF1 + MF2.
Theo tính chất hình elip thì MF1 + MF2 = 2a không đổi.
Vậy độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu không phụ thuộc vào đường đi của bi.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
HĐ2 trang 49 Toán 10 Tập 2:
a) Nêu tọa độ của các tiêu điểm F1, F2.
b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi
x
+
c
2
+
y
2
+
x
−
c
2
+
y
2
=
2
a
. (1)
Chú ý. Người ta có thể biến đổi (1) về dạng
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
, với
b
=
a
2
−
c
2
.
Lời giải:
a) Vì F1F2 = 2c, mà O là trung điểm của F1F2.
Do đó ta có: F1O = F2O = 2c : 2 = c.
Quan sát hình ta thấy, điểm F1 thuộc trục Ox, nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng F1O nên tọa độ F1(– c; 0).
Điểm F2 thuộc trục Ox, nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng F2O nên tọa độ F2(c; 0).
Vậy tọa độ các tiêu điểm: F1(– c; 0) và F2(c; 0).
b) +) Giả sử M(x; y) thuộc elip (E) ta cần chứng minh:
x
+
c
2
+
y
2
+
x
−
c
2
+
y
2
=
2
a
Thật vậy, M thuộc elip (E) nên: MF1 + MF2 = 2a.
Lại có: MF1 =
x
−
−
c
2
+
y
−
0
2
=
x
+
c
2
+
y
2
;
MF2 =
x
−
c
2
+
y
−
0
2
=
x
−
c
2
+
y
2
.
⇒ MF1 + MF2 =
x
+
c
2
+
y
2
+
x
−
c
2
+
y
2
=
2
a
.
Vậy
x
+
c
2
+
y
2
+
x
−
c
2
+
y
2
=
2
a
.
+) Giả sử
x
+
c
2
+
y
2
+
x
−
c
2
+
y
2
=
2
a
, ta cần chứng minh M thuộc elip (E).
Thật vậy:
x
+
c
2
+
y
2
+
x
−
c
2
+
y
2
=
2
a
nên: MF1 + MF2 = 2a.
Vậy M thuộc elip (E).
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Luyện tập 1 trang 50 Toán 10 Tập 2:
x
2
100
+
y
2
64
=
1
. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip.
Lời giải:
Ta có: a2 = 100, b2 = 64. Do đó c =
a
2
−
b
2
=
100
−
64
=
36
=
6
.
Vậy elip có hai tiêu điểm là F1(– 6; 0); F2(6; 0) và tiêu cự là F1F2 = 2c = 2 . 6 = 12.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Vận dụng 1 trang 50 Toán 10 Tập 2:
x
2
16
+
y
2
4
=
1
.
Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ của bản vẽ thiết kế ứng với 30 cm trên thực tế. Tính chiều cao h của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của đế ô thoáng 75 cm.
Lời giải:
Ta có 30 cm trên thực tế ứng với 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.
Nên 75 cm trên thực tế ứng với 75 : 30 = 2,5 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.
Gọi điểm M trên elip thỏa mãn có hoành độ là 2,5, suy ra tọa độ M(2,5; y)
Mà M thuộc (E) nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình (E), do đó:
2,5
2
16
+
y
2
4
=
1
⇒
y
2
=
39
16
⇒
y
=
39
4
≈
1,56
Khi đó chiều cao của ô thoáng là: h ≈ 1,56 . 30 = 46,8 cm.
Vậy chiều cao của ô thoáng khoảng 46,8 cm.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
HĐ3 trang 50 Toán 10 Tập 2:
a) Tìm mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F1, F2.
b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh có liên quan đến bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MF1 – MF2 = 686 (m) hay không?
Lời giải:
a) Giả sử nơi phát ra tín hiệu âm thanh là tại vị trí điểm M.
Khi đó MF1 là khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F1 và MF2 là khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F2.
Gọi t1 là thời gian âm thanh phát từ M đến F1, t2 là thời gian âm thanh phát từ M đến F2.
Thiết bị tại F2 nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại F1 là 2 giây nên t1 – t2 = 2.
Vận tốc âm thanh là 343 m/s.
Khi đó ta có: MF1 = 343.t1; MF2 = 343.t2.
Suy ra: MF1 – MF2 = 343.t1 – 343.t2 = 343.(t1 – t2) = 343 . 2 = 686 (m).
Vậy mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F1, F2 là MF1 – MF2 = 686 (m).
b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh chính là việc giải quyết bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MF1 – MF2 = 686 (m).
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Câu hỏi trang 50 Toán 10 Tập 2:
Lời giải:
Xét tam giác MF1F2, áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: |MF1 – MF2| < F1F2.
Mà |MF1 – MF2| = 2a, F1F2 = 2c. Nên 2a < 2a.
Suy ra: a < c.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Luyện tập 3 trang 51 Toán 10 Tập 2:
Lời giải:
Do ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD.
Vì M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD nên AM = BM =
1
2
AB và CN = DN =
1
2
CD.
Do đó ta có: BM = CN = AM = DN (*).
Khi đó BM // = ND nên BMDN là hình bình hành, suy ra BN = MD (1).
Tương tự AN = CM (2).
Hơn nữa ta chứng minh được BMNC là hình chữ nhật nên hai đường chéo BN và MC bằng nhau hay BN = MC (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra: BN = CM = AN = DM (**).
Từ (*) và (**) ta có: |BN – BM| = |CN – CM| = |AN – AM| = |DN – DM| < MN (bất đẳng thức tam giác).
Vậy A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
HĐ4 trang 51 Toán 10 Tập 2:
x
+
c
2
+
y
2
−
x
−
c
2
+
y
2
=
2
a
. (3)
Lời giải:
+) Vì F1F2 = 2c, mà O là trung điểm của F1F2.
Do đó ta có: F1O = F2O = 2c : 2 = c.
Quan sát hình ta thấy, điểm F1 thuộc trục Ox, nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng F1O nên tọa độ F1(– c; 0).
Điểm F2 thuộc trục Ox, nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng F2O nên tọa độ F2(c; 0).
Vậy tọa độ các tiêu điểm: F1(– c; 0) và F2(c; 0).
+) Giả sử M(x; y) thuộc hypebol (H) ta cần chứng minh:
x
+
c
2
+
y
2
−
x
−
c
2
+
y
2
=
2
a
.
Thật vậy, M thuộc hypebol (H) nên: |MF1 – MF2|= 2a.
Lại có: MF1 =
x
−
−
c
2
+
y
−
0
2
=
x
+
c
2
+
y
2
;
MF2 =
x
−
c
2
+
y
−
0
2
=
x
−
c
2
+
y
2
.
⇒ |MF1 – MF2| =
x
+
c
2
+
y
2
−
x
−
c
2
+
y
2
=
2
a
.
Vậy
x
+
c
2
+
y
2
+
x
−
c
2
+
y
2
=
2
a
.
+) Giả sử
x
+
c
2
+
y
2
−
x
−
c
2
+
y
2
=
2
a
, ta cần chứng minh M thuộc hypebol (H).
Thật vậy:
x
+
c
2
+
y
2
−
x
−
c
2
+
y
2
=
2
a
nên: |MF1 – MF2|= 2a.
Vậy M thuộc hypebol (H).
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Luyện tập 4 trang 52 Toán 10 Tập 2:
x
2
144
−
y
2
25
=
1
. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của (H).
Lời giải:
Ta có: a2 = 144, b2 = 25, nên c =
a
2
+
b
2
=
144
+
25
=
169
=
13
.
Vậy hypebol có hai tiêu điểm là F1(– 13; 0), F2(13; 0) và có tiêu cự 2c = 2 . 13 = 26.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
HĐ5 trang 52 Toán 10 Tập 2:
1
4
x2. Xét F(0; 1) và đường thẳng Δ: y + 1 = 0. Với điểm M(x; y) bất kì, chứng minh rằng MF = d(M, Δ) ⇔ M(x; y) thuộc (P).
Lời giải:
Ta có:
M
F
=
x
2
+
y
−
1
2
.
d(M, ∆) =
y
+
1
0
2
+
1
2
=
y
+
1
.
+) Giả sử MF = d(M, ∆), ta cần chứng minh M(x; y) thuộc (P).
Thật vậy, MF = d(M, ∆)
Bình phương cả hai vế của phương trình trên ta được:
x2 + (y – 1)2 = (y + 1)2
⇔ x2 – 4y = 0 ⇔ y =
1
4
x2.
Vậy M thuộc (P).
+) Giả sử M(x; y) thuộc (P), ta cần chứng minh MF = d(M, Δ).
M(x; y) thuộc (P) nên y =
1
4
x2 hay x2 = 4y, thay vào biểu thức tính MF ta có:
MF =
x
2
+
y
−
1
2
=
4
y
+
y
−
1
2
=
4
y
+
y
2
−
2
y
+
1
=
y
2
+
2
y
+
1
=
y
+
1
2
=
y
+
1
=d(M, ∆).
Vậy MF = d(M, Δ).
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
HĐ6 trang 52 Toán 10 Tập 2:
a) Nêu tọa độ của F và phương trình của ∆.
b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi
x
−
p
2
2
+
y
2
=
x
+
p
2
.
Lời giải:
a)
+) Khoảng cách từ F đến ∆, chính là FH và chính bằng tham số tiêu của (P) nên HF = p.
Lại có O là trung điểm của HF nên HO = OF =
1
2
H
F
=
p
2
.
Điểm F thuộc trục Ox và nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng OF nên tọa độ của F là F
p
2
;
0
.
Điểm H thuộc trục Ox và nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng OH nên tọa độ của H là H
–
p
2
;
0
.
+) Đường thẳng ∆ đi qua điểm H
–
p
2
;
0
và vuông góc với trục Ox, do đó phương trình của ∆ là x =
–
P
2
hay ∆:
x
+
p
2
=
0
.
b) Ta có: MF =
x
−
p
2
2
+
y
2
.
d(M, ∆) =
x
+
p
2
1
2
+
0
=
x
+
p
2
.
+) Giả sử M thuộc (P), ta cần chứng minh
x
−
p
2
2
+
y
2
=
x
+
p
2
.
Thật vậy, vì M thuộc (P) nên MF = d(M, ∆).
⇔
x
−
p
2
2
+
y
2
=
x
+
p
2
.
+) Giả sử
x
−
p
2
2
+
y
2
=
x
+
p
2
, ta cần chứng minh M thuộc (P).
Thật vậy, vì
x
−
p
2
2
+
y
2
=
x
+
p
2
nên MF = d(M, ∆).
Vậy M thuộc (P).
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Vận dụng 2 trang 53 Toán 10 Tập 2:
Lời giải:
Coi đường thẳng là bờ biển của vùng đất liền là đường chuẩn, đảo là hình tròn với tâm là vị trí tiêu điểm F. Thì đường ranh giới là tập hợp các điểm cách đều đất liền và đảo là đường hình parabol. Vì thỏa mãn tính chất đường parabol, các điểm M nằm trên đường ranh giới cách đều đường chuẩn và tiêu điểm F.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Vận dụng 3 trang 56 Toán 10 Tập 2:
x
2
400
+
y
2
76
=
1
(theo đơn vị cm). Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.
Lời giải:
Khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là tiêu cự của elip.
Ta có: a2 = 400, b2 = 76, nên c =
a
2
−
b
2
=
400
−
76
=
324
=
18
, do đó tiêu cự là 2c = 2 . 18 = 36.
Vậy khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là 36 cm.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 7.19 trang 56 Toán 10 Tập 2:
x
2
36
+
y
2
9
=
1
. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.
Lời giải:
Ta có: a2 = 36, b2 = 9, nên c =
a
2
−
b
2
=
36
−
9
=
27
=
3
3
.
Do đó elip có các tiêu điểm là F1
−
3
3
;
0
, F2
3
3
;
0
và tiêu cự 2c = 2 .
3
3
=
6
3
.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 7.20 trang 56 Toán 10 Tập 2: Cho hypebol có phương trình: . Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.
Lời giải:
Ta có: a2 = 7, b2 = 9, nên c =
a
2
+
b
2
=
7
+
9
=
16
=
4
.
Do đó hypebol có các tiêu điểm là F1(– 4; 0), F2(4; 0)và tiêu cự 2c = 2 . 4 = 8.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 7.21 trang 56 Toán 10 Tập 2: Cho parabol có phương trình: y2 = 8x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.
Lời giải:
Ta có: 2p = 8 nên p = 8 : 2 = 4.
Suy ra
p
2
=
4
2
=
2
.
Vậy parabol có tiêu điểm F(2; 0) và đường chuẩn ∆: x = – 2.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 7.22 trang 56 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(5; 0) và có một tiêu điểm là F2(3; 0).
Lời giải:
Elip (E) có dạng:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
với a > b > 0.
+) Vì elip đi qua điểm A(5; 0) nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình elip, khi đó ta có:
5
2
a
2
+
0
2
b
2
=
1
⇔
5
2
a
2
=
1
⇔
a
2
=
5
2
.
Suy ra: a = 5 (do a > 0).
+) Elip này có một tiêu điểm F2(3; 0), nên c = 3 hay
a
2
−
b
2
=
3
.
Thay a2 = 25 vào ta được:
25
−
b
2
=
3
⇒
25
−
b
2
=
9
⇔
b
2
=
16
.
Suy ra b = 4 (do b > 0).
Vậy phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(5; 0) và có một tiêu điểm là F2(3; 0) là
x
2
25
+
y
2
16
=
1
.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 7.23 trang 56 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2; 4).
Lời giải:
Gọi dạng của phương trình chính tắc của parabol cần lập là: y2 = 2px (với p > 0).
Vì parabol đi qua điểm M(2; 4), nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình parabol hay x = 2 và y = 4, khi đó ta có: 42 = 2p . 2 ⇔ p = 4 (thỏa mãn).
Suy ra 2p = 2 . 4 = 8.
Vậy phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2; 4) là y2 = 8x.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 7.24 trang 56 Toán 10 Tập 2: Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thủy thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thủy thuộc đường hybebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A, B nằm trên trục Ox, tia Ox trùng với tia OB, O là trung điểm của AB.
Ta có: AB = 300 nên AO = OB = AB : 2 = 300 : 2 = 150.
Khi đó ta xác định được tọa độ hai điểm A, B là: A(– 150; 0) và B(150; 0).
Gọi vị trí tàu thủy là điểm M nằm trên hypebol có 2 tiêu điểm là A và B.
Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s nên ta có:
|MA – MB| = 0,0005 . 292 000 = 146 (km).
Gọi phương trình chính tắc của hypebol cần lập có dạng:
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
với a, b > 0.
Vì |MA – MB| = 146 = 2a ⇔ a = 73 (thỏa mãn).
Suy ra a2 = 732 = 5329.
Do hypebol có hai tiêu điểm là: A(– 150; 0) và B(150; 0) nên c = 150.
Ta có:
a
2
+
b
2
=
c
⇔
73
2
+
b
2
=
150
⇒
73
2
+
b
2
=
150
2
⇔
b
2
=
17171
Suy ra b =
17171
(do b > 0).
Vậy tàu thủy thuộc đường hypebol có hai tiêu điểm là A(– 150; 0), B (150; 0), có tiêu cự 2c = 2 . 150 = 200 và có phương trình chính tắc là:
x
2
5329
−
y
2
17171
=
1
.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác:
Bài 7.25 trang 56 Toán 10 Tập 2: Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là A, điểm cuối là B, khoảng cách AB = 400 m. Đỉnh parabol (P) của khúc của cách đường thẳng AB một khoảng 20 m và cách đều A, B (H.7.34).
a) Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 m trên thực tế.
b) Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 km trên thực tế.
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho đỉnh của parabol trùng với gốc tọa độ O(0; 0) (như hình vẽ).
Gọi H là hình chiếu của O lên AB, khi đó ta chứng minh được H là trung điểm của AB nên HA = HB =
1
2
AB.
Khoảng cách từ khúc cua đến đường thẳng AB là OH.
a) Khoảng cách AB = 400 m.
Ta có: HA = HB = 400 : 2 = 200 (m).
OH = 20 m.
Nếu 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 m trên thực tế thì tọa độ các điểm là: A(20; – 200) và B(20; 200).
Gọi phương trình parabol (P) có dạng y2 = 2px (với p > 0).
Khi đó A, B đều thuộc (P).
Thay tọa độ điểm B vào phương trình parabol (P) ta có: 2002 = 2p . 20 ⇔ 2p = 2000.
Vậy parabol (P) có phương trình là: y2 = 2000x.
b) Đổi: 400 m = 0,4 km; 20 m = 0,02 km.
Khi đó HA = HB = 0,4 : 2 = 0,2 (km).
OH = 0,02 km.
Nếu 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 km trên thực tế thì tọa độ các điểm là: A(0,02; – 0,2) và B(0,02; 0,2)
Gọi phương trình parabol (P) có dạng y2 = 2p’x (với p’ > 0).
Khi đó A, B đều thuộc (P).
Thay tọa độ điểm B vào phương trình parabol (P) ta có: 0,22 = 2p’ . 0,02 ⇔ 2p’ = 2.
Vậy parabol (P) có phương trình là: y2 = 2x.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay, chi tiết khác: