Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây
Mở đầu trang 33 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Sau bài học này ta sẽ trả lời được:
Để tính tỉ số lượng giác của một góc tù ta sẽ sử dụng công thức lượng giác để chuyển tỉ số lượng giác của góc tù về tỉ số lượng giác của góc nhọn tương ứng.
HĐ1 trang 34 Toán 10 Tập 1:
α = 90°;
α < 90°;
α > 90°;
b) Khi 0° < α < 90°, nêu mối quan hệ giữa cosα, sinα với hoành độ và tung độ của điểm M.
Lời giải:
a)
Nếu α = 90° thì điểm M có tọa độ M(0;1).
Nếu α < 90° thì điểm M(x0;y0) nằm trên cung tròn
A
C
⏜
(không tính điểm C) thỏa mãn 0 ≤ x0 ≤ 1, 0 ≤ y0 ≤ 1.
Nếu α > 90° thì điểm M(x0;y0) nằm trên cung tròn
B
C
⏜
(không tính điểm C) thỏa mãn -1 ≤ x0 ≤ 0, 0 ≤ y0 ≤ 1.
b)
Khi 0° < α < 90° điểm M nằm ở vị trí như hình vẽ.
Kẻ MH ⊥ Ox, MK ⊥ Oy
Xét tam giác vuông MHO, có:
sin
α
=
M
H
O
M
mà OM = 1 nên sinα = MH
Mà MH = |y0| = y0
⇒ sinα = y0
Ta lại có:
cos
α
=
O
H
O
M
mà OM = 1 nên cosα = OH
Mà OH = |x0| = x0
cosα = x0
Vậy hoành độ của điểm M bằng giá trị cosα và tung độ của điểm M bằng giá trị sinα.
Luyện tập 1 trang 35 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
x
O
M
^
=
120
0
. Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông của M lên các trục Ox, Oy.
Vì
x
O
M
^
=
120
0
nên
N
O
M
^
=
180
°
−
120
°
=
60
°
Xét tam giác vuông MON, có:
ON = OMcos60
°
=
1
2
;
OP = MN = OMsin60
°
=
3
2
Mặt khác điểm M nằm bên trái trục tung nên có tọa độ là
−
1
2
;
3
2
.
Theo định nghĩa, ta có:
sin
120
0
=
3
2
;
c
o
s
120
0
=
−
1
2
;
tan
120
0
=
sin
120
0
c
o
s
120
0
=
−
3
;
c
o
t
120
0
=
c
o
s
120
0
sin
120
0
=
−
1
3
.
HĐ2 trang 36 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Hai điểm M và M’ đối xứng với nhau qua trục Oy.
Ta có:
x
O
M
^
=
α
⇒
sin
α
=
y
0
,
c
o
s
α
=
x
0
Ta lại có:
x
O
M
‘
^
=
180
0
−
α
⇒
sin
180
0
−
α
=
y
0
,
c
o
s
180
0
−
α
=
−
x
0
⇒
sin
α
=
sin
180
0
−
α
=
y
0
,
c
o
s
α
=
−
c
o
s
180
0
−
α
.
Luyện tập 2 trang 36 Toán 10 Tập 1:
x
O
M
^
=
α
,
x
O
N
^
=
90
0
−
α
. Chứng minh rằng ΔMOP = ΔNOQ. Từ đó nêu mối quan hệ giữa cosα và sin(90° – α)
Lời giải:
Ta có:
x
O
N
^
+
Q
O
N
^
=
90
0
Mà
x
O
N
^
=
90
0
−
α
⇒
Q
O
N
^
=
α
⇒
Q
O
N
^
=
P
O
M
^
=
α
Xét ΔMOP và ΔNOQ, có:
M
P
O
^
=
N
Q
O
^
=
90
0
OM = ON = 1
P
O
M
^
=
Q
O
N
^
(cmt)
⇒
Δ
M
O
P
=
Δ
N
O
Q
(cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ OP = OQ (hai cạnh tương ứng)
Ta có: OP = cosα, OQ = sin(90° – α)
⇒ sin(90° – α) = cosα.
Vận dụng trang 37 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Giả sử chiếc đu quay quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
Quy ước 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ Oxy ứng với 75 m trên thực tế.
Ta có đường tròn đơn vị như hình vẽ với A là vị trí thấp nhất của cabin, M là vị trí của cabin sau 20 phút quay và các điểm P, Q là hình chiếu của điểm M lên các trục tọa độ Ox, Oy.
Vì đi cả vòng quay mất 30 phút nên sau 20 phút, cabin đi quãng đường bằng
2
3
vòng.
Từ đó suy ra
x
O
M
^
=
2
3
.360
°
−
90
°
=
150
°
.
Do đó M có tung độ bằng sin150° =
1
2
.
Suy ra OQ =
1
2
, mà 1 đơn vị trong mặt phẳng tọa độ bằng 75 m trên thực tế nên độ dài đoạn thẳng OQ ứng với
75.
1
2
=
37
,
5
m trên thực tế.
Do đó, độ cao của cabin sau 20 phút quay là: 37,5 + 90 = 127,5 (m).
Vậy sau 20 phút quay người ngồi trong cabin ở độ cao 127,5 m.
Bài 3.1 trang 37 Toán 10 Tập 1: Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:
a) (2sin300 + cos1350 – 3tan1500).(cos1800 – cot600);
b) sin2900 + cos21200 + cos200 – tan2600 + cot21350;
c) cos600.sin300 + cos2300.
Chú ý:
sin
2
α
=
sin
α
2
,
c
o
s
2
α
=
c
o
s
α
2
,
tan
2
α
=
tan
α
2
,
cot
2
α
=
cot
α
2
.
Lời giải:
a) (2sin30° + cos135° – 3tan150°).(cos180° – cot60°)
= (2sin30° – cos45° + 3tan30°).(– 1 – tan30°)
=
2.
1
2
−
2
2
+
3.
3
3
−
1
−
3
3
=
1
−
1
2
+
3
−
1
−
3
3
=
2
−
1
+
6
2
.
−
1
−
3
3
=
−
1
+
3
2
+
6
−
1
6
b) sin290° + cos2120° + cos20° – tan260° + cot2135°
= (sin90°)2 + (cos120°)2 + (cos0°)2 – (tan60°)2 + (cot135°)2
= (sin90°)2 + (cos60°)2 + (cos0°)2 – (tan60°)2 + (cot45°)2
=
1
2
+
1
2
2
+
1
2
−
3
2
+
1
2
=
1
+
1
4
+
1
−
3
+
1
=
1
4
c) cos60°.sin30° + cos230°
= cos60°.sin30° + (cos30°)2
=
1
2
.
1
2
+
3
2
2
=
1
4
+
3
4
=
4
4
=
1
Bài 3.2 trang 37 Toán 10 Tập 1: Đơn giản các biểu thức sau:
a) sin1000 + sin800 + cos160 + cos 1640;
b) 2sin(1800 – α)cotα – cos(1800 – α).tanα.cos(1800 – α) với 00 < α < 900.
Lời giải:
a) sin100° + sin80° + cos16° + cos 164°
= sin(180° – 80°) + sin80° + cos(180° – 164°) + cos164°
= sin80° + sin80° – cos164° + cos164°
= 2sin80°.
b) Với
0
°
<
α
<
90
°
, ta có:
2
sin
180
°
−
α
.
cot
α
−
c
os
180
°
−
α
.
tan
α
.
c
ot
180
°
−
α
=
2
sin
α
.
cot
α
−
−
c
os
α
.
tan
α
.
−
c
ot
α
=
2
sin
α
.
cot
α
−
c
os
α
.
tan
α
.
c
ot
α
=
2
sin
α
.
cos
α
sin
α
−
c
os
α
.
sin
α
c
o
s
α
.
cos
α
sin
α
=
2
cos
α
−
c
os
α
=
cos
α
Bài 3.3 trang 37 Toán 10 Tập 1: Chứng minh các hệ thức sau:
a) sin2α + cos2α = 1;
b)
1
+
tan
2
α
=
1
cos
2
α
α
≠
90
0
;
c)
1
+
cot
2
α
=
1
sin
2
α
0
0
<
α
<
180
0
.
Lời giải:
a)
Lấy điểm M trên nửa đường tròn đường tròn đơn vị sao cho
x
O
M
^
=
α
. Từ M kẻ MH ⊥ Ox và MK ⊥ Oy. Khi đó:
OH = |cosα| , OK = |sinα| = sinα.
Xét tam giác OHK vuông tại O, ta có:
OH2 + OK2 = HK2 (định lí Pythagore)
Mà HK = OM = 1 (tứ giác OHMK là hình chữ nhật)
Do đó, OH2 + OK2 = 1
Suy ra |cosα|2 + (sinα)2 = 1 hay sin2α + cos2α = 1 (đpcm).
b) Ta có:
1
+
tan
2
α
=
1
+
sin
α
cos
α
2
=
1
+
sin
2
α
cos
2
α
=
cos
2
α
+
sin
2
α
cos
2
α
=
1
cos
2
α
α
≠
90
0
;
c) Ta có:
1
+
cot
2
α
=
1
+
c
o
s
α
sin
α
2
=
1
+
c
o
s
2
α
sin
2
α
=
cos
2
α
+
sin
2
α
sin
2
α
=
1
sin
2
α
0
0
<
α
<
180
0
;
Bài 3.4 trang 37 Toán 10 Tập 1: Cho góc α ( 00 < α < 1800) thỏa mãn tanα = 3.
Tính giá trị của biểu thức:
P
=
2
sin
α
−
3
c
o
s
α
3
sin
α
+
2
c
o
s
α
.
Lời giải:
Do 0° < α < 180° và tanα = 3 (xác định) nên cosα ≠ 0.
Chia cả tử và mẫu của biểu thức P cho cosα ta được:
P
=
2.
sin
α
c
o
s
α
−
3
3.
sin
α
c
o
s
α
+
2
=
2
tan
α
−
3
3
tan
α
+
2
=
2.3
−
3
3.3
+
2
=
3
11
.
Vậy với α (0° < α < 180°) thỏa mãn tanα = 3 thì
P
=
3
11