Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây
Mở đầu trang 38 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Sau bài này ta sẽ trả lời được:
Theo các bước sau, ta có thể xác định được khoảng cách từ vị trí A trên bờ hồ Hoàn Kiếm đến Tháp Rùa.
Bước 1. Trên bờ, đặt một cọc tiêu tại vị trí A và một cọc tiêu tại vị trí B nào đó. Đo khoảng cách AB.
Bước 2. Đứng tại A, ngắm Tháp Rùa và một cọc tiêu tại ví trí B nào đó để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.
Bước 3. Đứng tại B, ngắm Tháp Rùa và một cọc tiêu tại ví trí A để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.
Bước 4. Gọi C là vị trí của Tháp Rùa. Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh AC.
HĐ1 trang 38 Toán 10 Tập 1:
a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1km trên thực tế ứng với 1cm trên bản vẽ).
b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilômét (số đo gần đúng).
c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì có thể dùng Định lí Pythagore (Pi – ta – go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?
Lời giải:
a) Xác định các hướng bắc (B), nam (N), đông (Đ), tây (T) như trên hình vẽ.
Giả sử điểm O trên hình là vị trí cảng Vân Phong hay chính là vị trí tàu bắt đầu xuất phát.
Vận tốc của tàu biển là 20 km/h. Do đó:
Trong 1 giờ, tàu di chuyển từ điểm xuất phát O theo hướng đông đi đến A với quãng đường OA là S1 = 20 . 1 = 20 (km) tương ứng với 20 cm trên sơ đồ.
Trong 0,5 giờ tiếp theo, tàu di chuyển từ A theo hướng đông nam (hướng tạo với hướng đông một góc 45° về phía nam) đến B với quãng đường AB là S2 = 20 . 0,5 = 10 (km) tương ứng với 10 cm trên sơ đồ.
Vậy ta vẽ được sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát như hình vẽ trên.
b) Trên sơ đồ, ta đo được khoảng cách từ cảng đến tàu là đoạn OB dài khoảng 28 cm.
Do đó, khoảng cách từ cảng đến tàu thực tế khoảng 28 km.
c)
Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì sơ đồ đường đi của tàu như sau:
Trong 2 giờ, tàu di chuyển từ điểm xuất phát O theo hướng đông đi đến A với quãng đường OA là 20 . 2 = 40 (km) tương ứng với 40 cm trên sơ đồ.
Sau đó tàu di chuyển từ A theo hướng nam tới vị trí điểm B. Ta có thể tính được quãng đường AB khi biết thời gian di chuyển.
Ta có: AB ⊥ OA nên tam giác OAB vuông tại A.
Khi đó áp dụng định lí Pythagore ta có thể tính được chính xác OB với OB =
O
A
2
+
A
B
2
=
1600
+
A
B
2
, do đó ta có thể xác định được chính xác khoảng cách từ điểm B nơi tàu đến tới cảng Vân Phong.
HĐ2 trang 38 Toán 10 Tập 1:
a) Tính a2 theo BD2 và CD2.
b) Tính a2 theo b, c và DA.
c) Tính DA theo c và cosA.
d) Chứng minh a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.
Lời giải:
a) Xét ΔBDC vuông tại D, có:
BC2 = BD2 + DC2 (Định lí Pythagore)
Hay a2 = BD2 + DC2
b) Xét ΔBDA vuông tại D, có:
BA2 = BD2 + DA2 (Định lí Pythagore)
Hay BD2 = c2 – DA2
Ta lại có: DC = DA + AC = DA + b
Khi đó: a2 = c2 – DA2 + (DA + b)2 = c2 – DA2 + DA2 + 2.DA.b + b2 = c2 + b2 + 2.DA.b.
Vậy a2 = BD2 + DC2 = c2 + b2 + 2.DA.b (1)
c) Xét ΔBDA vuông tại D, có:
DA = AB.cosα = c.cosα.
Lại có:
B
A
C
^
+
B
A
D
^
=
180
°
(hai góc kề bù)
Hay
B
A
C
^
+
α
=
180
°
⇒
α
=
180
°
−
B
A
C
^
.
Suy ra cosα =
c
o
s
180
°
−
B
A
C
^
= – cos
B
A
C
^
= – cosA.
Do đó, DA = – c.cosA.
d) Thay DA = – c.cosA vào biểu thức (1), ta được:
a2 = c2 + b2 – 2bc.cosA
Vậy a2 = b2 + c2 – 2bc cosA. (đpcm)
Câu hỏi trang 38 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA (định lí cos)
= AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos900
= AB2 + AC2 (định lí Py – ta – go)
Định lý Pythagore có là một trường hợp đặc biệt của định lý côsin.
Khám phá trang 39 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Từ định lý cosin, ta có công thức tính cosA, cosB, cosC theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC là:
cos
A
=
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
;
cos
B
=
a
2
+
c
2
−
b
2
2
a
c
;
cos
C
=
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
.
Luyện tập 1 trang 39 Toán 10 Tập 1:
A
^
=
45
°
. Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.
Lời giải:
Xét tam giác ABC:
Theo định lí côsin, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos A
BC2 = 52 + 82 – 2.5.8.cos45°
BC2 =
89
−
40
2
BC ≈ 5,7 cm.
Ta có:
cos
C
=
B
C
2
+
A
C
2
−
A
B
2
2.
B
C
.
A
C
=
5
,
7
2
+
8
2
−
5
2
2.5
,
7.8
≈
0
,
7839
⇒
C
≈
38
°
23
‘
cosB
=
A
B
2
+
B
C
2
−
A
C
2
2.
A
B
.
B
C
=
5
2
+
5
,
7
2
−
8
2
2.5.5
,
7
≈
−
0
,
1153
⇒
B
≈
96
°
37
‘
Trải nghiệm trang 39 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Tiến hành đo các cạnh của tam giác và góc A, ta được:
AB = 7cm, AC = 4cm, BC = 7,37cm và
A
^
=
79
°
.
Khi đó, ta có:
A
B
2
+
A
C
2
−
B
C
2
2.
A
B
.
A
C
=
7
2
+
4
2
−
7
,
37
2
2.7.4
≈ 0,19.
cosA = cos790 ≈ 0,19.
Do đó
cos
A
=
A
B
2
+
A
C
2
−
B
C
2
2.
A
B
.
A
C
.
Vì vậy Định lý côsin là đúng.
Vận dụng 1 trang 39 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Vị trí O là vị trí là vị trí cảng Vân Phong.
Sau khi đi 1 giờ theo hướng đông với vận tốc 20km/h thì tàu đi đến vị trí A, quãng đường OA là: 20.1 = 20 (km)
Đi tiếp 0,5 giờ còn lại theo hướng đông nam cũng với vận tốc 20km/h thì tàu đến vị trí B, quãng đường AB là: 20.0,5 = 10 (km)
Vì hướng đông và hướng đông nam tạo với nhau một góc 450 nên
O
A
B
^
=
135
°
.
Xét ΔABC, có:
Theo Định lí Côsin, ta có:
OB2 = OA2 + AB2 – 2.OA.AB.cosA
= 202 + 102 – 2.20.10.cos1350
= 500 + 200√2
OB ≈ 27,98 km
Vậy sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng vân phong 27,98 km.
HĐ3 trang 39 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Hình 3.10a):
Xét ΔBCM vuông tại C, có:
sin
B
M
C
^
=
B
C
B
M
=
a
2
R
Mà
B
M
C
^
+
A
^
=
180
°
(tứ giác ABMC nối tiếp đường tròn (O)).
⇒
A
^
=
180
°
−
B
M
C
^
⇒
sin
A
=
sin
180
°
−
B
M
C
^
=
sin
B
M
C
^
=
a
2
R
⇒
R
=
a
2
sin
A
.
Hình 3.10b):
Xét ΔBCM vuông tại C, có:
sin
B
M
C
^
=
B
C
B
M
=
a
2
R
Mà
B
M
C
^
+
A
^
=
1
2
s
đ
B
A
C
⏜
+
1
2
s
đ
B
M
C
⏜
=
1
2
.360
0
=
180
0
⇒
B
M
C
^
=
180
0
−
A
^
⇒
sin
A
=
sin
180
0
−
B
M
C
^
=
sin
B
M
C
^
=
a
2
R
⇒
R
=
a
2
sin
A
.
Luyện tập 2 trang 40 Toán 10 Tập 1:
B
^
=
80
0
. Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài các cạnh còn lại của tam giác.
Lời giải:
Xét ΔABC, có:
Theo định lý sin, ta có:
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
=
2
R
⇒
a
sin
A
=
8
sin
80
°
=
5
sin
C
=
2
R
⇒
2
R
=
8
sin
80
°
≈
8
,
12
⇔
R
≈
4
,
06
Ta có:
5
sin
C
=
8
sin
80
°
≈
8
,
12
⇒
sin
C
≈
5
8
,
12
≈
0
,
62
⇒
C
^
≈
38
°
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác, ta có:
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
°
Do đó,
A
^
=
180
°
−
B
^
−
C
^
≈
180
°
−
80
°
−
38
°
≈
62
°
Lại có:
a
sin
62
°
≈
8
,
12
⇔
a
≈
7
,
17.
Vậy R ≈ 4,06; a ≈ 7,17;
C
^
≈
38
°
,
A
^
≈
62
°
Luyện tập 3 trang 40 Toán 10 Tập 1:
A
^
=
87
0
.
Lời giải:
Xét ΔABC, có:
Theo định lý Cos, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA
= 322 + 452 – 2.32.45.cos870 ≈ 2898,27
BC ≈ 53,84
Theo định lí Sin, ta có:
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
=
2
R
⇒
53
,
84
sin
87
0
=
32
sin
B
=
45
sin
C
⇒
53
,
84
sin
87
0
=
32
sin
B
⇒
sin
B
=
0
,
59
⇔
B
^
=
36
,
4
0
⇒
C
^
=
56
,
6
0
Vậy
B
^
=
36
,
4
0
,
C
^
=
56
,
6
0
và BC = 53,84.
Vận dụng 2 trang 40 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Bước 1: Tại khu vực quan sát, đặt một cọc tiêu cố định tại vị trí A. Kí hiệu hai đỉnh núi lần lượt là điểm B và điểm C.
Đứng tại A, ngắm điểm B và điểm C để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó (góc BAC).
Bước 2: Đo khoảng cách từ vị trí ngắm đến từng đỉnh núi, tức là tính AB, AC.
* Tính AB bằng cách:
+ Đứng tại A, ngắm đỉnh núi B để xác định góc ngắm so với mặt đất, kí hiệu là góc α.
+ Theo hướng ngắm, đặt tiếp cọc tiêu tại D gần đỉnh núi hơn và đo đoạn AD. Xác định góc ngắm tại điểm D, kí hiệu là góc β.
Ta có hình vẽ:
Ta có:
A
D
B
^
=
180
°
−
β
;
D
B
A
^
=
β
−
α
.
Áp dụng định lí sin vào ∆ABD, ta được:
A
B
sin
A
D
B
^
=
D
A
sin
D
B
A
^
⇒
A
B
=
sin
A
D
B
^
.
D
A
sin
D
B
A
^
⇒
A
B
=
sin
(
180
°
−
β
)
.
D
A
sin
(
β
−
α
)
* Tương tự ngắm và đo để xác định AC.
Ta có:
A
E
C
^
=
180
o
−
δ
;
E
C
A
^
=
δ
−
γ
Áp dụng định lí sin vào ∆ACE, ta được:
A
C
sin
A
E
C
^
=
A
E
sin
A
C
E
^
⇒
A
C
=
sin
A
E
C
^
.
A
E
sin
A
C
E
^
⇒
A
C
=
sin
(
180
o
−
δ
)
.
A
E
sin
(
δ
−
γ
)
.
Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai đỉnh núi, bằng cách áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh BC.
Ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosBAC.
Với AB, AC, góc BAC đã biết ở các bước trên, thay vào ta tính được BC chính là khoảng cách giữa hai đỉnh núi.
HĐ4 trang 41 Toán 10 Tập 1:
a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác IBC, ICA, IAB.
b) Tính diện tích tam giác ABC theo r, a, b, c.
Lời giải:
a) Ta có diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích tam giác IAB, IAC, IBC: S∆ABC = S∆IBC + S∆ICA + S∆IAB
b) Ta có:
S
Δ
I
B
C
=
1
2
a
.
r
S
Δ
I
C
A
=
1
2
b
.
r
S
Δ
I
A
B
=
1
2
c
r
⇒
S
Δ
A
B
C
=
S
Δ
I
B
C
+
S
Δ
I
C
A
+
S
Δ
I
A
B
=
1
2
a
.
r
+
1
2
b
.
r
+
1
2
c
.
r
=
a
+
b
+
c
.
r
2
.
Vậy
S
Δ
A
B
C
=
a
+
b
+
c
.
r
2
.
HĐ5 trang 41 Toán 10 Tập 1:
a) Biểu thị BD theo AB và sin A.
b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A.
Lời giải:
a)
TH1: Đường cao BD nằm trong tam giác ABC
Xét ΔABD vuông tại D, có:
BD = sinA.AB
TH2: Đường cao BD nằm ngoài tam giác ABC
Xét ΔABD vuông tại D, có:
B
D
=
sin
B
A
D
^
.
A
B
Mà
B
A
D
^
+
B
A
C
^
=
180
0
⇒
sin
B
A
C
^
=
sin
180
0
−
B
A
D
^
=
sin
B
A
D
^
⇒
B
D
=
sin
B
A
C
^
.
A
B
=
sin
A
.
A
B
Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có BD = sinA.AB.
b) TH1. Đường cao BD nằm trong tam giác ABC:
S
Δ
A
B
C
=
1
2
A
C
.
B
D
=
1
2
A
C
.
A
B
.
sin
A
=
1
2
.
b
.
c
sin
A
.
TH2. Đường cao BD nằm ngoài tam giác ABC:
S
Δ
A
B
C
=
1
2
A
C
.
B
D
=
1
2
A
C
.
A
B
.
sin
A
=
1
2
.
b
.
c
sin
A
.
Vậy cả hai trường hợp
S
Δ
A
B
C
=
1
2
.
b
.
c
sin
A
.
Luyện tập 4 trang 41 Toán 10 Tập 1:
B
^
=
30
0
,
C
^
=
45
0
.
Lời giải:
Xét ΔABC, có:
Theo định lí sin, ta có:
A
C
sin
B
=
A
B
sin
C
⇔
2
sin
30
0
=
A
B
sin
45
0
⇔
A
B
=
2.
sin
45
0
sin
30
0
=
2
2
.
Ta có:
A
^
=
180
0
−
B
^
−
C
^
= 1800 – 300 – 450 = 1050
Diện tích tam giác ABC là:
S
Δ
A
B
C
=
1
2
.
A
B
.
A
C
.
sin
A
=
1
2
.2
2
.2.
sin
105
0
=
1
+
3
(đvdt)
Vậy diện tích tam giác ABC là
1
+
3
đvdt.
Thảo luận trang 41 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
sinA và S được tính theo độ dài cạnh của tam giác ABC như sau:
Ta có:
cos
A
=
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
(định lí côsin)
Ta lại có: cos2A + sin2A = 1
⇔ sin2A = 1 – cos2A
⇔
sin
2
A
=
1
−
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
2
=>
⇔
sin
A
=
4
b
2
c
2
−
b
2
+
c
2
−
a
2
2
4
b
2
c
2
Khi đó diện tích tam giác ABC là:
S
Δ
A
B
C
=
1
2
.
A
B
.
A
C
.
sin
A
=
1
2
.
b
.
c
.
4
b
2
c
2
−
b
2
+
c
2
−
a
2
2
4
b
2
c
2
=
1
4
2
b
c
−
b
2
−
c
2
+
a
2
2
b
c
+
b
2
+
c
2
−
a
2
=
1
4
a
2
−
b
−
c
2
b
+
c
2
−
a
2
=
1
4
a
−
b
+
c
a
+
b
−
c
b
+
c
−
a
b
+
c
+
a
Vận dụng 3 trang 42 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Nửa chu vi của tam giác ABE là:
p
1
=
476
+
256
+
401
2
=
1133
2
Diện tích tam giác ABE là:
S
1
=
p
1
p
1
−
476
p
1
−
256
p
1
−
401
S
1
=
1133
2
1133
2
−
476
1133
2
−
256
1133
2
−
401
≈
51327
,
97
m
2
Nửa chu vi của tam giác DBE là:
p
2
=
476
+
538
+
217
2
=
1231
2
Diện tích tam giác DBE là:
Nửa chu vi của tam giác BDC là:
p
3
=
538
+
575
+
441
2
=
777
Diện tích tam giác BDC là:
S
3
=
p
3
p
3
−
538
p
3
−
575
p
3
−
441
S
3
=
777
777
−
538
777
−
575
777
−
441
≈
112267
,
69
m
2
Do diện tích ngũ giác ABCDE bằng diện tích của tam giác ABE, diện tích tam giác DBE và diện tích tam giác DBC nên ta có:
SABCDE = SABE + SDBE + SDBC ≈ 51 327,97 + 51 495,13 + 112267,69 ≈ 215090,79 m2
Vậy diện tích của công viên Hòa Bình khoảng là 215090,79 m2.
Bài 3.5 trang 42 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c = 8. Tính cosA, S, r.
Lời giải:
Xét ΔABC, có:
cos
A
=
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
=
5
2
+
8
2
−
6
2
2.5.8
= 0,6625 (định lí cos)
⇒
A
^
=
48
,
51
0
⇒ sinA ≈ 0,749
Diện tích tam giác ABC là:
S
A
B
C
=
1
2
.
b
.
c
.
sin
A
=
1
2
.5.8.0
,
749
= 14,98 (đvdt).
Nửa chu vi của tam giác ABC là:
p
=
5
+
8
+
6
2
=
19
2
Ta có: S = pr
⇒
r
=
S
p
=
14
,
98
19
2
≈
1
,
58.
Vậy cosA = 0,6625, S = 14,98 đvdt, r = 1,58.
Bài 3.6 trang 42 Toán 10 Tập 1:
A
^
=
45
0
,
B
^
=
70
0
. Tính R, b, c.
Lời giải:
Xét ΔABC, có:
a
sin
A
=
b
sin
B
⇔
b
=
a
.
sin
B
sin
A
=
10
sin
70
0
sin
45
0
≈
13
,
29
(định lí sin)
Ta lại có:
a
sin
A
=
2
R
⇔
R
=
a
2
sin
A
=
10
2
sin
45
0
=
5
2
.
Ta có:
C
^
=
180
0
−
A
^
−
B
^
=
180
0
−
45
0
−
70
0
=
65
0
a
sin
A
=
c
sin
C
⇔
c
=
a
.
sin
C
sin
A
=
10
sin
65
0
sin
45
0
≈
12
,
82.
Vậy
R
=
5
2
, b = 13,29, c = 12,82.
Bài 3.7 trang 42 Toán 10 Tập 1:
A
^
=
15
0
,
B
^
=
130
0
,
c
=
6.
Lời giải:
Xét ΔABC, có:
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
°
.
C
^
=
180
°
−
B
^
−
A
^
=
180
°
−
130
°
−
15
°
=
35
°
Theo định lí sin ta có:
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
⇔
a
sin
15
°
=
b
sin
130
°
=
6
sin
35
°
≈
10
,
46
.
Và
b
sin
130
°
=
10
,
46
⇔
b
=
10
,
46
sin
130
°
≈
8
,
01.
Diện tích của tam giác ABC là: S =
1
2
a
c
sin
B
≈
1
2
.2
,
71.6.
sin
130
°
≈
6
,
23
(đvdt).
Vậy a ≈ 2,71, b ≈ 8,01,
C
^
=
35
°
, S ≈ 6,23 đvdt.
Bài 3.8 trang 42 Toán 10 Tập 1: Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S70°E với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.
a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
Lời giải:
Ta có sơ đồ di chuyển của tàu như sau:
a) Tàu cá xuất phát từ A đi theo hướng S700E với vận tốc 70km/h trong 90 phút = 1,5 giờ thì tàu cá đi được đến B (vị trí tàu bị hỏng), quãng đường AB là: 70.1,5 = 105 (km).
Từ vị trí B tàu cá trôi tự do với vận tốc 8km/h theo hướng nam sau 2h thì neo đậu vào đảo C, khi đó quãng đường BC là: 8.2 = 16km.
Khoảng cách từ cảng A đến nơi tàu neo đậu chính là đoạn AC.
Do tàu đi theo hướng S700E nên phương AB hợp với phương nam Ax một góc 700 nên
x
A
B
^
=
70
0
.
Mà phương BC song song với phương nam Ax nên
C
B
y
^
=
x
A
B
^
=
70
0
(hai góc đồng vị)
⇒
A
B
C
^
=
110
0
(Kề bù
C
B
y
^
)
Xét ΔABC, có:
AC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosB (định lí côsin)
= 1052 + 162 – 2.105.16.cos1100
≈ 12 430,19
⇒ AC ≈ 111,49 km.
Vậy khoảng cách từ cảng A đến đảo nơi tàu neo đậu khoảng 111,49 km.
b) Xét ΔABC, có:
Vậy hướng từ cảng A đến đảo nơi tàu neo đậu là S62,250E.
Bài 3.9 trang 43 Toán 10 Tập 1: Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng – ten cao 5m, Từ một vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng – ten, với các góc tương ứng là 500 và 400 so với phương nằm ngang (H.3.18).
a) Tính các góc của tam giác ABC.
b) Tính chiều cao của tòa nhà.
Lời giải:
Ta có hình vẽ sau:
a) Ta có:
B
A
C
^
=
50
0
−
40
0
=
10
0
Xét ΔABH, vuông tại H, có:
C
B
A
^
+
B
A
H
^
=
90
0
(hai góc phụ nhau)
⇒
C
B
A
^
=
90
0
−
B
A
H
^
= 900 – 500 = 400
Xét ΔABC, có:
A
C
B
^
=
180
0
−
B
A
C
^
−
C
B
A
^
= 1800 – 100 – 400 = 1300.
b) Xét ΔABC, có:
A
B
sin
B
C
A
^
=
B
C
sin
B
A
C
^
⇔
A
B
sin
130
0
=
5
sin
10
0
⇔
A
B
≈
22
,
06
m
Xét ΔABH, có:
B
H
=
A
B
.
sin
B
A
H
^
≈
22
,
06.
sin
50
°
≈
16
,
9
m
Suy ra CH = BH – BC ≈ 16,9 – 5 = 11,9 (m)
Do đó chiều cao của tòa nhà là: 11,9 + 7 = 18,9 (m).
Vậy chiều cao của tòa nhà xấp xỉ bằng 18,9 m.
Bài 3.10 trang 43 Toán 10 Tập 1: Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình ta có thể ngắm được Đảo yến. Hãy đề xuất cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).
Lời giải:
Bước 1. Trên bờ, đặt một cọc ở vị trí A, một cọc ở vị trí B, một cọc ở vị trí C. Đo khoảng cách AB, AC.
Bước 2. Đứng tại A ngắm điểm B và điểm E để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó là góc
B
A
E
^
. Đứng tại B ngắm điểm E và điểm A để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó là góc
E
B
A
^
.
Bước 3. Dựa vào định lí sin trong tam giác ABE ta tính được cạnh AE.
Bước 4. Đứng tại A ngắm điểm C và điểm D để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó là góc
D
A
C
^
. Đứng tại C ngắm điểm D và điểm A để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó là góc
D
C
A
^
.
Bước 5. Dựa vào định lí sin trong tam giác ADC tính được AD.
Bước 6. Xét tam giác ADE, sử dụng định lí cos để tính cạnh DE.
Vậy độ dài DE chính là chiều rộng của đảo.
Bài 3.11 trang 43 Toán 10 Tập 1: Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ.
Lời giải:
Ta có hình vẽ sau:
Xét ΔABC, có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2AB.BC.cosB (định lí cos)
= 82 + 62 – 2.8.6.cos1050
≈ 124,85
⇒ AC ≈ 11,17 km.
Xét ΔADC, có:
AD2 = AC2 + DC2 – 2AC.DC.cosACD (định lí cos)
= 11,172 + 122 – 2.11,17.12.cos91,230
≈ 274,52
⇒ AD ≈ 16,57 km.
Độ dài đoạn đường cũ là: AB + BC + CD = 8 + 6 + 12 = 26 km.
Độ dài đường cũ hơn độ dài đoạn đường mới: 26 – 16,57 = 9,43 km.
Vậy độ dài đường mới giảm 9,43 km so với đoạn đường cũ.