Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây
Mở đầu trang 46 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Sau khi học xong bài học này ta sẽ trả lời được là đối với các đại lượng gồm hướng và độ lớn như vận tốc thì ta sẽ sử dụng vecto để biến diễn chúng.
HĐ1 trang 47 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Ta có hình vẽ sau:
Vì góc giữa hướng đông và hướng nam là bằng 900 nên
A
H
B
^
=
90
0
Xét ∆AHB vuông ở H, ta có:
AB2 = AH2 + BH2 (định lí Py – ta – go)
AB2 = 102 + 102 = 100 + 100 = 200
⇔
A
B
=
10
2
k
m
∆AHB vuông tại H, có AH = BH = 10 km nên ∆AHB cân tại H
⇒
H
A
B
^
=
45
0
Tia Ax là hướng nam nên
Ax
⊥
A
H
⇒
H
A
x
^
=
90
0
⇒
H
A
x
^
=
90
0
−
H
A
B
^
=
45
0
.
Nếu từ đảo A, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo B, thì phải đi theo hướng đông nam và đi quãng đường dài
10
2
km.
Luyện tập 1 trang 47 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Vì tam giác ABC là tam giác đều nên ta có:
AB = AC = BC = a.
Do đó các vectơ có độ dài bằng a và có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tam giác ABC là:
A
B
→
;
A
C
→
;
B
C
→
;
B
A
→
;
C
A
→
;
C
B
→
.
Vậy các vectơ thỏa mãn điều kiện đầu bài là:
A
B
→
;
A
C
→
;
B
C
→
;
B
A
→
;
C
A
→
;
C
B
→
.
HĐ2 trang 47 Toán 10 Tập 1:
a) Các làn đường song song với nhau.
b) Các xe chạy theo cùng một hướng.
c) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau.
Lời giải:
Quan sát hình vẽ, ta có nhận xét sau:
Các làn đường chạy song song với nhau. Do đó phát biểu a) đúng.
Có ba xe hướng từ trên xuống dưới, còn hai xe hướng từ dưới lên trên. Do đó phát biểu b) sai.
Hai xe bất kì hoặc chạy cùng hướng hoặc chạy ngược hướng nhau. Do đó phát biểu c) đúng.
HĐ3 trang 48 Toán 10 Tập 1:
a
→
và
A
B
→
được gọi là cùng hướng, còn hai vecto
a
→
và
x
→
được gọi là ngược hướng. Hãy chỉ ra các vecto cùng hướng với vecto
a
→
và các vecto ngược hướng với vecto
a
→
.
Lời giải:
Theo quan sát hai vecto
a
→
và
A
B
→
ta thấy hai vecto cùng hướng thỏa mãn điều kiện cùng phương (giá song song) và cùng hướng lên trên.
Do đó các vecto cùng hướng với vecto
a
→
là
A
B
→
và
y
→
.
Theo quan sát hai vecto
a
→
và
x
→
ta thấy hai vecto ngược hướng thỏa mãn điều kiện cùng phương (giá song song) và vecto
a
→
hướng lên trên còn vecto
x
→
lại hướng xuống dưới.
Do đó các vecto ngược hướng với vecto
a
→
là
x
→
và
z
→
.
Luyện tập 2 trang 49 Toán 10 Tập 1:
A
D
→
và
B
C
→
,
A
B
→
và
C
D
→
,
A
C
→
và
B
D
→
. Có các cặp vecto nào trong các cặp vecto trên bằng nhau hay không?
Lời giải:
+) Cặp vecto
A
D
→
và
B
C
→
:
– Có độ dài bằng nhau (tính chất hình thang cân)
– Nhưng không cùng phương với nhau.
+) Cặp vecto
A
B
→
và
C
D
→
:
– Có độ dài khác nhau
– Có giá song song với nhau nên cùng phương với nhau.
– Hai vecto này ngược hướng nhau.
+) Cặp vecto
A
C
→
và
B
D
→
:
– Có độ dài bằng nhau (tính chất hình bình hành)
– Không cùng phương với nhau
Luyện tập 3 trang 49 Toán 10 Tập 1:
a)
A
B
→
và
A
M
→
ngược hướng .
b)
M
A
→
và
M
B
→
cùng phương .
c)
A
B
→
và
A
M
→
cùng hướng .
d)
M
A
→
và
M
B
→
ngược hướng .
Lời giải:
Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì
M
A
→
và
M
B
→
ngược hướng.
Nếu hai vecto
M
A
→
và
M
B
→
ngược hướng
Thì hai vecto
M
A
→
và
M
B
→
cùng phương
⇒MA // MB (vô lí) hoặc MA trùng MB.
⇒ A, M, B thẳng hàng
Mà hai vecto
M
A
→
và
M
B
→
ngược hướng nên điểm M nằm giữa điểm A và điểm B.
Điềm M nằm giữa hai điểm A và B khi và chỉ khi
M
A
→
và
M
B
→
ngược hướng.
Vậy điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt A và B là
M
A
→
và
M
B
→
ngược hướng.
Chọn d)
Vận dụng trang 50 Toán 10 Tập 1:
a) Hãy thể hiện trên hình vẽ, vecto vận tốc
v
→
của dòng nước và các vecto vận tốc thực tế
v
a
→
,
v
b
→
của ca nô A, B.
b) Trong các vecto
v
→
,
v
a
→
,
v
b
→
, những vecto nào cùng phương và những cặp vecto nào ngược hướng?
Lời giải:
a) Ta có hình vẽ sau:
b) Các cặp vecto cùng phương là:
v
a
→
và
v
b
→
;
v
a
→
và
v
→
;
v
→
và
v
b
→
.
Các cặp vecto ngược hướng là:
v
a
→
và
v
b
→
;
v
→
và
V
b
→
.
Bài 4.1 trang 50 Toán 10 Tập 1:
a
→
,
b
→
,
c
→
đều khác
0
→
. Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a)
a
→
,
b
→
,
c
→
đều cùng hướng với
0
→
;
b) Nếu
b
→
không cùng hướng với
a
→
thì
b
→
ngược hướng với
a
→
;
c) Nếu
a
→
và
b
→
đều cùng phương với
c
→
thì
a
→
và
b
→
cùng phương;
d) Nếu
a
→
và
b
→
đều cùng hướng với
c
→
thì
a
→
và
b
→
cùng hướng.
Lời giải:
Mọi vecto đều cùng phương cùng hướng với vecto
0
→
. Do đó a) đúng.
Nếu
b
→
không cùng hướng với thì hoặc
a
→
ngược
b
→
hướng với
a
→
hoặc
b
→
không cùng phương với
a
→
. Do đó b) sai.
Nếu
a
→
và
b
→
đều cùng phương với
c
→
thì
a
→
và
b
→
có giá song song hoặc trùng
c
→
:
Suy ra
a
→
và
b
→
có giá song song hoặc trùng nhau. Do đó
a
→
và
b
→
cùng phương. Suy ra c) đúng.
Nếu
a
→
và
b
→
đều cùng hướng với
c
→
:
Theo quan sát hình vẽ, ta thấy
a
→
và
b
→
cùng hướng với nhau. Do đó d) đúng
Bài 4.2 trang 50 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vecto cùng phương. Các vecto ngược hướng và các cặp vecto bằng nhau.
Lời giải:
Quan sát hình vẽ, ta có:
a
→
,
b
→
,
c
→
có giá song song với nhau,
a
→
,
d
→
,
c
→
có cùng độ dài (cạnh huyền của các tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 2 và 4).
Các vecto cùng phương:
a
→
,
b
→
,
c
→
Các cặp vecto ngược hướng:
a
→
và
b
→
;
b
→
và
c
→
.
Cặp vecto
a
→
và
c
→
cùng hướng và có độ dài bằng nhau.
Bài 4.3 trang 50 Toán 10 Tập 1:
B
C
→
=
A
D
→
.
Lời giải:
+) Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành:
Ta có: ABCD là hình bình hành
⇒ AD // BC (tính chất hình bình hành)
⇒
A
D
→
và
B
C
→
cùng phương
⇒
A
D
→
và
B
C
→
cùng hướng.
Mà AD = BC (tính chất hình bình hành)
⇒
A
D
→
=
B
C
→
Bài 4.4 trang 50 Toán 10 Tập 1:
0
→
, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O}. Hãy chia tập S thành các nhóm sao cho hai vecto thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.
Lời giải:
Các vecto khác
0
→
, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O} là:
A
B
→
,
A
O
→
,
A
C
→
,
A
D
→
,
B
A
→
,
B
O
→
,
B
C
→
,
B
D
→
,
C
A
→
,
C
O
→
,
C
B
→
,
C
D
→
,
D
A
→
,
D
O
→
,
D
B
→
,
D
C
→
,
O
A
→
,
O
C
→
,
O
B
→
,
O
D
→
Khi đó:
Hai vecto bằng nhau trong tập hợp S là:
A
B
→
=
D
C
→
;
A
D
→
=
B
C
→
;
B
A
→
=
C
D
→
;
D
A
→
=
C
B
→
;
O
A
→
=
C
O
→
;
A
O
→
=
O
C
→
;
D
O
→
=
O
B
→
;
D
O
→
=
O
B
→
;
Khi đó tập S được chia thành các nhóm là:
Nhóm 1:
A
B
→
,
D
C
→
;
Nhóm 2:
A
D
→
,
B
C
→
;
Nhóm 3:
B
A
→
,
C
D
→
;
Nhóm 4:
D
A
→
,
C
B
→
;
Nhóm 5:
O
A
→
,
C
O
→
;
Nhóm 6:
A
O
→
,
O
C
→
;
Nhóm 7:
O
D
→
,
B
O
→
;
Nhóm 8:
D
O
→
,
O
B
→
.
Bài 4.5 trang 50 Toán 10 Tập 1:
O
A
→
,
M
N
→
với A(1;2), M(0;-1), N(3;5)
a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vecto trên.
b) Một vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vecto
v
→
=
O
A
→
. Hỏi vật thể đó có đi qua N hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới N?
Lời giải:
a) Quan sát hình vẽ, ta có: hai vecto
O
A
→
và
M
N
→
là hai vecto cùng hướng.
b) Xét ΔOAH vuông tại H, có: OA2 = OH2 + AH2 = 22 + 12 = 5
⇒
O
H
=
5
Xét ΔMNK vuông tại K, có: MN2 = KM2 + KN2 = 62 + 32 = 45
⇒
M
N
=
3
5
⇒
M
N
=
3
O
H
Do
O
A
→
và
M
N
→
là hai vecto cùng hướng nên vật thể khởi hành chuyển động thẳng đều với vận tốc được biểu diễn bởi
v
→
=
O
A
→
nên vật thể đó đi qua điểm N và sau 3 giờ thì vật sẽ tới N.