Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây
Mở đầu trang 51 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Sau bài học này ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:
Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d1, d2 (H.4.17). Giả sử tàu xuất phát từ
A
∈
d
1
và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α. Gọi
v
r
→
và
v
n
→
lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi M, N là các điểm sao cho
v
r
→
=
A
M
→
,
v
n
→
=
M
N
→
.
Khi đó tàu chuyển động với vecto vận tốc thực tế là
v
→
=
v
r
→
+
v
n
→
=
A
M
→
+
M
N
→
=
A
N
→
.
Gọi B, C tương ứng là giao điểm của AN, AM với d2. Tàu chuyển động thẳng từ A đến B với vận tốc thực tế là
A
N
→
, do đó thời gian cần thiết để tàu sang được bờ d2 là
A
B
A
N
=
A
C
A
M
. Mặt khác,
A
M
=
v
r
→
không đổi nên
A
C
A
M
nhỏ nhất ⇔ AC nhỏ nhất
⇔ AC ⊥ d2 ⇔ AM ⊥ d2
Vậy để tàu sang được bờ bên kia nhanh nhất, ta giữ bánh lái để tàu luôn vuông góc với bờ.
HĐ1 trang 51 Toán 10 Tập 1:
a
→
,
b
→
cho trước, lấy một điểm A và vẽ các vecto
A
B
→
=
a
→
,
B
C
→
=
b
→
.
Lấy một điểm A’ khác A cũng vẽ các vecto
A
‘
B
‘
→
=
a
→
,
B
‘
C
‘
→
=
b
→
.
Hỏi hai vecto
A
C
→
,
A
‘
C
‘
→
có mối quan hệ gì?
Lời giải:
Ta có:
A
B
→
=
a
→
⇒
A
B
→
cùng hướng với
a
→
và độ dài
A
B
→
bằng độ dài
a
→
.
Ta lại có:
A
‘
B
‘
→
=
a
→
⇒
A
‘
B
‘
→
cùng hướng với
a
→
và độ dài
A
‘
B
‘
→
bằng độ dài
a
→
.
⇒
A
B
→
cùng hướng với
A
‘
B
‘
→
và độ dài
A
B
→
bằng độ dài
A
‘
B
‘
→
.
⇒
A
B
→
=
A
‘
B
‘
→
⇔
ABB’A’ là hình bình hành
⇔
AA
‘
→
=
B
B
‘
→
(1)
Ta có:
B
C
→
=
b
→
⇒
B
C
→
cùng hướng với
b
→
và độ dài
B
C
→
bằng độ dài
b
→
.
Ta lại có:
B
‘
C
‘
→
=
b
→
⇒
B
‘
C
‘
→
cùng hướng với
b
→
và độ dài
⇒
B
‘
C
‘
→
bằng độ dài
b
→
.
⇒
B
C
→
cùng hướng với
B
‘
C
‘
→
và độ dài
B
C
→
bằng độ dài
B
‘
C
‘
→
.
⇒
B
C
→
=
B
‘
C
‘
→
⇔
BB’C’C là hình bình hành
⇔
C
C
‘
→
=
B
B
‘
→
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
AA
‘
→
=
C
C
‘
→
⇔
AA’C’C là hình bình hành
⇒
A
C
→
=
A
‘
C
‘
→
.
Vậy
A
C
→
=
A
‘
C
‘
→
.
HĐ2 trang 51 Toán 10 Tập 1:
A
B
→
+
A
D
→
và
A
C
→
.
Lời giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:
A
D
→
=
B
C
→
⇒
A
B
→
+
A
D
→
=
A
B
→
+
B
C
→
=
A
C
→
Vậy
A
B
→
+
A
D
→
=
A
C
→
.
HĐ3 trang 52 Toán 10 Tập 1:
a
→
+
b
→
và vecto
b
→
+
a
→
.
b) Trong Hình 4,14b, hãy chỉ ra các vecto
a
→
+
b
→
+
c
→
và vecto
a
→
+
b
→
+
c
→
.
Lời giải:
Trong Hình 4.14a:
Ta có:
a
→
+
b
→
=
A
B
→
+
B
C
→
=
A
C
→
b
→
+
a
→
=
A
D
→
+
D
C
→
=
A
C
→
⇒
a
→
+
b
→
=
b
→
+
a
→
.
Trong Hình 4.14b:
Ta có:
a
→
+
b
→
+
c
→
=
A
C
→
+
C
D
→
=
A
D
→
a
→
+
b
→
+
c
→
=
A
B
→
+
B
D
→
=
A
D
→
⇒
a
→
+
b
→
+
c
→
=
a
→
+
b
→
+
c
→
.
Luyện tập 1 trang 52 Toán 10 Tập 1:
B
A
D
^
=
120
0
. Tính độ dài của các vecto
C
B
→
+
C
D
→
,
D
B
→
+
C
D
→
+
B
A
→
Lời giải:
Vì ABCD là hình thoi nên AC là tia phân giác
B
A
C
^
⇒
B
A
C
^
=
C
A
D
^
=
B
A
D
^
2
=
120
0
2
=
60
0
Xét ΔABC có AB = BC và
B
A
C
^
=
60
0
⇒ ΔABC đều
⇒ AC = AB = BC = 1
Ta có:
C
B
→
+
C
D
→
=
C
A
→
(quy tắc hình bình hành)
⇒
C
B
→
+
C
D
→
=
C
A
→
=
C
A
=
1
D
B
→
+
C
D
→
+
B
A
→
=
C
D
→
+
D
B
→
+
B
A
→
=
C
B
→
+
B
A
→
=
C
A
→
(quy tắc ba điểm).
⇒
D
B
→
+
C
D
→
+
B
A
→
=
C
A
→
=
C
A
=
1
HĐ4 trang 52 Toán 10 Tập 1:
Lời giải:
Nếu chỉ có hai lực tác dụng vào cùng một vật mà vật vẫn đứng yên thì hai lực đó là hai lực cân bằng.
Ví dụ: Hai đội kéo co cùng kéo sợi dây. Nếu hai đội mạnh ngang nhau thì họ sẽ tác dụng lên dây hai lực cân bằng. Sợi dây chịu tác dụng của hai lực cân bằng thì sẽ đứng yên.
Hai vecto
u
→
và
v
→
biểu diễn cho hai vecto cân bằng thì hai vecto này có chung gốc, ngược hướng và có độ lớn (hay độ dài) bằng nhau.
Luyện tập 2 trang 53 Toán 10 Tập 1:
O
A
→
+
O
B
→
+
O
C
→
+
O
D
→
=
0
→
.
Lời giải:
Gọi P và Q lần lượt là điểm đối xứng với O qua M và N.
Khi đó AOBP, DOCQ là các hình bình hành
⇒
O
A
→
+
O
B
→
=
O
P
→
=
2
O
M
→
(quy tắc hình bình hành)
⇒
O
D
→
+
O
C
→
=
O
Q
→
=
2
O
N
→
(quy tắc hình bình hành)
⇒
O
A
→
+
O
B
→
+
O
C
→
+
O
D
→
=
2
O
M
→
+
2
O
N
→
=
2
O
M
→
+
O
N
→
Mà hai vecto
O
M
→
và
O
N
→
có cùng độ dài và ngược hướng nên chúng là hai vecto đối nhau, do đó
O
M
→
+
O
N
→
=
0
→
⇒
O
A
→
+
O
B
→
+
O
C
→
+
O
D
→
=
0
→
.
Vận dụng trang 54 Toán 10 Tập 1:
Chú ý: Ta coi khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực
P
→
(có độ lớn
P
→
=
22148
N
, có phương vuông góc với phương nằm ngang và hướng xuống dưới), phản lực
W
→
(có độ lớn
W
→
=
P
→
c
o
s
30
0
phương vuông góc với mặt dốc và hướng lên trên) và lực kéo
F
→
(theo phương dốc, hướng từ chân dốc lên đỉnh dốc).
Lời giải:
Xét ΔOBC vuông tại O, có:
OC = sin30.BC = |P|sin300.
Ta có khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực
P
→
, phản lực
W
→
và lực kéo
F
→
. Đề kéo được khẩu pháo đi lên ta cần lực
F
→
thỏa mãn điều kiện:
F
→
>
W
→
+
P
→
Mặt khác
W
→
+
P
→
=
O
C
→
⇔
W
→
+
P
→
=
O
C
→
=
P
sin
30
0
=
22148.
sin
30
0
=
11074
N
⇒
F
→
>
11074
N
Ta có: 11 074 : 100 = 110,74
Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu số người để kéo pháo là 111 người.
Vậy ta cần một lực kéo lớn hơn 11 074N để kéo khẩu pháo đi lên và nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu 111 người để kéo pháo lên.
Bài 4.6 trang 54 Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:
a)
A
B
→
+
B
C
→
+
C
D
→
+
D
A
→
=
0
→
;
b)
A
C
→
−
A
D
→
=
B
C
→
−
B
D
→
;
Lời giải:
a) Ta có:
A
B
→
+
B
C
→
+
C
D
→
+
D
A
→
=
A
B
→
+
B
C
→
+
C
D
→
+
D
A
→
=
A
C
→
+
C
A
→
=
A
A
→
=
0
→
b) Ta có:
A
C
→
−
A
D
→
=
D
C
→
(quy tắc hiệu)
B
C
→
−
B
D
→
=
D
C
→
(quy tắc hiệu)
⇒
A
C
→
−
A
D
→
=
B
C
→
−
B
D
→
.
Bài 4.7 trang 54 Toán 10 Tập 1:
B
M
→
=
A
B
→
+
A
D
→
. Tìm mối quan hệ giữa hai vecto
C
D
→
và
C
M
→
.
Lời giải:
Ta có:
A
B
→
+
A
D
→
=
A
C
→
(quy tắc hình bình hành)
Ta cần tìm điểm M thỏa mãn
A
C
→
=
B
M
→
⇔ ACMB là hình bình hành
⇒
C
M
→
=
A
B
→
Mà
D
C
→
=
A
B
→
⇒
C
M
→
=
D
C
→
hay
C
M
→
=
−
C
D
→
Suy ra
C
D
→
và
C
M
→
là hai vecto đối nhau.
Bài 4.8 trang 54 Toán 10 Tập 1:
A
B
→
−
A
C
→
,
A
B
→
+
A
C
→
.
Lời giải:
Ta có:
A
B
→
−
A
C
→
=
C
B
→
(quy tắc hiệu)
⇒
A
B
→
−
A
C
→
=
C
B
→
=
a
Ta lại có:
A
B
→
+
A
C
→
=
A
D
→
(với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành)
Gọi M là giao điểm của AD và BC
⇒ M là trung điểm của BC và AD (tính chất hình bình hành)
Xét ΔABC, có:
AB2 = AM2 + BM2 (định lí Py – ta – go)
⇒ AM2 = AB2 – BM2
=
A
B
2
−
B
C
2
2
=
a
2
−
a
2
2
=
3
a
2
4
⇒
A
M
=
a
3
2
⇒
A
D
=
2
A
M
=
2.
a
3
2
=
a
3
⇒
A
B
→
+
A
C
→
=
A
D
→
=
a
3
Vậy
A
B
→
−
A
C
→
=
a
,
A
B
→
+
A
C
→
=
a
3
.
Bài 4.9 trang 54 Toán 10 Tập 1:
F
1
→
,
F
2
→
cùng tác động lên một vật, cho
F
1
→
=
3
N
,
F
2
→
=
2
N
.
Tính độ lớn của hợp lực
F
1
→
+
F
2
→
.
Lời giải:
Ta có hình vẽ sau:
Trong đó ABCD là hình bình hành
⇒
A
D
C
^
=
60
0
Ta có:
F
1
→
=
A
D
→
=
B
C
→
=
3
,
F
2
→
=
A
B
→
=
D
C
→
=
2
F
1
→
+
F
2
→
=
A
B
→
+
A
D
→
=
A
C
→
⇒
F
1
→
+
F
2
→
=
A
C
→
Xét ΔADC, có:
AC2 = AD2 + DC2 – 2AD.DC.cosD
= 32 + 22 – 2.3.2.cos600
= 7
⇒
A
C
=
7
⇒
F
1
→
+
F
2
→
=
7
Vậy độ lớn của hợp lực
F
1
→
+
F
2
→
là
7
.
Bài 4.10 trang 54 Toán 10 Tập 1: Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn giữ được lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?
Lời giải:
Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d1, d2 (H.4.17). Giả sử tàu 1 xuất phát từ A’ ∈ d1 và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α. Gọi
v
r
→
và
v
n
→
lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi B’, C’ là các điểm sao cho
v
r
→
=
A
‘
C
‘
→
,
v
n
→
=
C
‘
B
‘
→
.
Khi đó tàu chuyển động với vecto vận tốc thực tế là
v
→
1
=
v
r
→
+
v
n
→
=
A
‘
C
‘
→
+
C
‘
B
‘
→
=
A
‘
B
‘
→
.
Xét ΔA’B’C’, có:
A
‘
C
‘
B
‘
^
=
α
(hai góc so le trong)
v
1
→
2
=
v
r
→
2
+
v
n
→
2
−
2
v
r
→
.
v
n
→
cos
α
Giả sử tàu 2 xuất phát từ A ∈ d1 và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α. Gọi
v
r
→
và
v
n
→
lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi B, C là các điểm sao cho
v
r
→
=
A
C
→
,
v
n
→
=
C
B
→
.
Khi đó tàu chuyển động với vecto vận tốc thực tế là
v
→
=
v
r
→
+
v
n
→
=
A
B
→
+
C
B
→
=
A
B
→
.
Xét ΔABC, có:
A
B
C
^
=
180
0
−
α
Vì độ dài hai quãng đường AN và A’M’ của tàu 2 và tàu 1 chênh nhau không đáng kể nên ta coi nó bằng nhau. Do đó vì vận tốc tàu 2 lớn hơn tàu 1 nên tàu 2 là tàu đi qua bờ bên kia trước.