Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây
Mở đầu trang 55 Toán 10 Tập 1:
Qua bài học này, ta sẽ thấy Hình học cho phép xác định vị trí khối tâm của một hệ chất điểm.
Lời giải:
HĐ1 trang 55 Toán 10 Tập 1:
A
B
→
=
a
→
. Hãy xác định điểm C sao cho
B
C
→
=
a
→
.
a) Tìm mối quan hệ giữa
A
B
→
và
a
→
+
a
→
.
b) Vecto
a
→
+
a
→
có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài với vecto
a
→
.
Lời giải:
Xác định điểm C như sau:
Trên tia AB lấy điểm C sao cho BC = a.
a) Ta có:
a
→
+
a
→
=
A
B
→
+
B
C
→
=
A
C
→
(quy tắc ba điểm)
Ta nhận thấy vecto
A
C
→
cùng hướng với vecto
A
B
→
và AC = AB + BC = 2AB.
Suy ra
a
→
+
a
→
cùng hướng với vecto
A
B
→
và
a
→
+
a
→
=
2
A
B
.
b) Ta lại có:
A
B
→
=
a
→
Do đó
a
→
+
a
→
cùng hướng với vecto
a
→
và
a
→
+
a
→
=
2
a
→
.
Câu hỏi trang 55 Toán 10 Tập 1:
1
a
→
và
a
→
có bằng nhau hay không?
Lời giải:
Tích của vecto
a
→
≠
0
→
với số thực k = 1 > 0 là vecto kí hiệu là
1
a
→
, vecto này cùng hướng với vecto
a
→
và có độ dài bằng
1
a
→
=
a
→
.
Do đó
1
a
→
=
a
→
.
HĐ2 trang 56 Toán 10 Tập 1:
0
;
1
;
2
;
−
2
.
Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto
O
M
→
,
O
N
→
với vecto
a
→
=
O
A
→
. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto
O
M
→
và
O
A
→
.
Lời giải:
+) Ta có:
Điểm M biểu diễn cho số
2
nên
O
M
=
2
Điểm A biểu diễn cho số 1 nên OA = 1
Điểm N biểu diễn cho số
−
2
nên
O
N
=
−
2
=
2
Khi đó:
Vecto
O
M
→
cùng hướng với vecto
O
A
→
và
O
M
=
2
O
A
.
Vecto
O
N
→
ngược hướng với vecto
O
A
→
và
O
N
=
2
O
A
.
Đẳng thức biểu thị mối quan hệ giữa hai vecto
O
M
→
và
O
A
→
là
O
M
→
=
2
O
A
→
.
Câu hỏi trang 56 Toán 10 Tập 1:
−
a
→
và
−
1
a
→
có mối quan hệ gì?
Lời giải:
Vecto
−
1
a
→
có k = -1 < 0 nên
−
1
a
→
ngược hướng với
a
→
và có độ dài
−
1
a
→
=
a
→
.
Vecto
−
a
→
là vecto đối của vecto
a
→
nên
−
a
→
ngược hướng với
a
→
và có độ dài
a
→
.
Do đó vecto
−
1
a
→
cùng hướng với
−
a
→
và có độ dài bằng nhau.
Vì vậy
−
1
a
→
=
−
a
→
.
Luyện tập 1 trang 56 Toán 10 Tập 1:
a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để
A
M
→
=
t
A
B
→
.
b) Với điểm M bất kì, ta luôn có:
A
M
→
=
A
M
A
B
.
A
B
→
.
c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số t ≤ 0 để
A
M
→
=
t
A
B
→
.
Lời giải:
a) Nếu M thuộc đường thẳng d thì
A
M
→
cùng phương
A
B
→
Do đó ta có tồn tại một số thực t thỏa mãn
A
M
→
=
t
A
B
→
.
Nếu tồn tại số t thỏa mãn
A
M
→
=
t
A
B
→
thì
A
M
→
cùng phương
A
B
→
hay
A
M
→
trùng với
A
B
→
.
Do đó A, M, B thẳng hàng hay M thuộc đường thẳng d.
Vì thế khẳng định a) đúng.
b) Nếu M không thuộc đường thẳng d thì
A
M
→
và
A
B
→
không cùng phương. Do đó
A
M
→
≠
A
M
A
B
A
B
→
.
Vì vậy khẳng định b) sai.
c) Nếu điểm M thuộc tia đối của tia AB:
Thì ta có:
M
A
→
=
t
M
B
→
với t < 0.
Do đó khẳng định c) sai.
HĐ3 trang 57 Toán 10 Tập 1:
u
→
≠
0
→
và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Hai vecto
k
t
u
→
và
k
t
u
→
có cùng độ dài bằng
k
t
u
→
.
b) Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vecto
k
t
u
→
,
k
t
u
→
cùng hướng với
u
→
.
c) Nếu kt < 0 thì cả hai vecto
k
t
u
→
,
k
t
u
→
ngược hướng với
u
→
.
d) Hai vecto
k
t
u
→
và
k
t
u
→
bằng nhau.
Lời giải:
a) Ta có:
k
t
u
→
=
k
t
u
→
=
k
t
u
→
=
k
t
u
→
và
k
t
u
→
=
k
t
u
→
Suy ra
k
t
u
→
=
k
t
u
→
=
k
t
u
→
Do đó hai vecto
k
t
u
→
và
k
t
u
→
có cùng độ dài bằng
k
t
u
→
.
Vậy khẳng định a) đúng.
b) Vecto
k
t
u
→
cùng hướng với vecto
u
→
khi kt ≥ 0
Vecto
k
t
u
→
cùng hướng với vecto
t
u
→
khi k ≥ 0
Vecto
t
u
→
cùng hướng với vecto
u
→
khi t ≥ 0
Suy ra
k
t
u
→
cùng hướng với vecto
u
→
khi kt ≥ 0.
Do đó nếu kt ≥ 0 thì cả hai vecto
k
t
u
→
,
k
t
u
→
cùng hướng với
u
→
.
Vậy khẳng định b) là đúng.
c) Vecto
k
t
u
→
ngược hướng với vecto
u
→
khi kt < 0
Vecto
k
t
u
→
ngược hướng với vecto
t
u
→
khi k < 0
Vecto
t
u
→
ngược hướng với vecto
u
→
khi t < 0
Suy ra
k
t
u
→
ngược hướng với vecto
u
→
khi kt < 0.
Do đó nếu kt < 0 thì cả hai vecto
k
t
u
→
,
k
t
u
→
ngược hướng với
u
→
.
Vậy khẳng định c) là đúng.
d) Hai vecto
k
t
u
→
và
k
t
u
→
có cùng độ dài (theo ý a)
Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vecto
k
t
u
→
,
k
t
u
→
cùng hướng với
u
→
.
Suy ra hai vecto
k
t
u
→
,
k
t
u
→
cùng hướng .
Nếu kt < 0 thì cả hai vecto
k
t
u
→
,
k
t
u
→
ngược hướng với
u
→
.
Suy ra hai vecto
k
t
u
→
,
k
t
u
→
cùng hướng.
Do đó hai vecto
k
t
u
→
,
k
t
u
→
cùng hướng với mọi k, t.
⇒
k
t
u
→
=
k
t
u
→
Vậy khẳng định d) đúng.
HĐ4 trang 57 Toán 10 Tập 1:
3
u
→
+
v
→
và
3
u
→
+
3
v
→
. Từ đó, nêu mối quan hệ giữa
3
u
→
+
v
→
và
3
u
→
+
3
v
→
.
Lời giải:
Xét hình bình hành OEMF, ta có:
u
→
+
v
→
=
O
E
→
+
OF
→
=
O
M
→
(quy tắc hình bình hành)
⇒
3
u
→
+
v
→
=
3
O
M
→
=
O
C
→
Xét hình bình hành OACB, ta có:
3
u
→
+
3
v
→
=
O
A
→
+
OB
→
=
O
C
→
(quy tắc hình bình hành)
⇒
3
u
→
+
v
→
=
3
u
→
+
3
v
→
=
O
C
→
Vậy
3
u
→
+
v
→
=
3
u
→
+
3
v
→
.
Luyện tập 2 trang 57 Toán 10 Tập 1:
O
A
→
+
O
B
→
+
O
C
→
=
3
O
G
→
Lời giải:
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
=
0
→
.
Do đó:
Vậy
O
A
→
+
O
B
→
+
O
C
→
=
3
O
G
→
.
Luyện tập 3 trang 57 Toán 10 Tập 1:
u
→
,
v
→
theo hai vecto
a
→
,
b
→
, tức là tìm các số x, y, z, t để
u
→
=
x
a
→
+
y
b
→
,
v
→
=
t
a
→
+
z
b
→
.
Lời giải:
Ta có hình vẽ sau:
Xét hình bình hành OABC, có:
O
A
→
=
a
→
,
O
C
→
=
2
b
→
,
O
B
→
=
u
→
Khi đó, ta có:
u
→
=
O
B
→
=
O
A
→
+
O
C
→
=
a
→
+
2
b
→
(quy tắc hình bình hành)
Xét hình bình hành OMNP, có:
O
N
→
=
v
→
,
O
M
→
=
3
b
→
,
O
P
→
=
−
2
a
→
Khi đó, ta có:
v
→
=
O
N
→
=
O
M
→
+
O
P
→
=
3
b
→
−
2
a
→
=
−
2
a
→
+
3
b
→
.
Vậy
u
→
=
a
→
+
2
b
→
,
v
→
=
−
2
a
→
+
3
b
→
.
Bài 4.11 trang 58 Toán 10 Tập 1:
A
M
→
theo hai vecto
A
B
→
và
A
D
→
.
Lời giải:
Ta có hình vẽ sau:
Gọi E là điểm đối xứng với A qua M. Khi đó ABEC là hình bình hành
Ta có:
A
B
→
+
A
C
→
=
A
E
→
(quy tắc hình bình hành)
Mà
A
E
→
=
2
A
M
→
⇒
A
M
→
=
A
B
→
+
A
C
→
2
Ta lại có:
A
C
→
=
A
B
→
+
A
D
→
(quy tắc hình bình hành)
⇒
A
M
→
=
A
B
→
+
A
B
→
+
A
D
→
2
=
2
A
B
→
+
A
D
→
2
=
A
B
→
+
1
2
A
D
→
.
Vậy
A
M
→
=
A
B
→
+
1
2
A
D
→
.
Bài 4.12 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng
B
C
→
+
A
D
→
=
2
M
N
→
=
A
C
→
+
B
D
→
.
Lời giải:
Từ (1) và (2) suy ra:
B
C
→
+
A
D
→
=
2
M
N
→
=
A
C
→
+
B
D
→
.
Bài 4.13 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B.
a) Hãy xác định điểm K sao cho
K
A
→
+
2
K
B
→
=
0
→
.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có:
O
K
→
=
1
3
O
A
→
+
2
3
O
B
→
.
Lời giải:
a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:
I
A
→
+
I
B
→
=
0
→
.
Khi đó:
K
A
→
+
2
K
B
→
=
0
→
.
⇔
K
I
→
+
I
A
→
+
2
K
I
→
+
2
I
B
→
=
0
→
⇔
K
I
→
+
2
K
I
→
+
I
B
→
+
I
A
→
+
I
B
→
=
0
→
⇔
3
K
I
→
+
I
B
→
=
0
→
⇔
3
K
I
→
=
B
I
→
⇔
K
I
→
=
1
3
B
I
→
Suy ra vecto
K
I
→
cùng hướng với vecto
B
I
→
và thỏa mãn
K
I
=
1
3
B
I
.
Điểm K là điểm nằm giữa I và B và thỏa mãn
K
I
=
1
3
B
I
.
b) Lấy điểm O bất kì ta có:
Cách 1:
Ta có:
(Do
K
A
→
+
2
K
B
→
=
0
→
)
Cách 2:
Bài 4.14 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.
a) Hãy xác định điểm M để
M
A
→
+
M
B
→
+
2
M
C
→
=
0
→
.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có:
O
A
→
+
O
B
→
+
2
O
C
→
=
4
O
M
→
.
Lời giải:
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, có:
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
=
0
→
.
Xét
M
A
→
+
M
B
→
+
2
M
C
→
=
0
→
⇔
M
G
→
+
G
A
→
+
M
G
→
+
G
B
→
+
2
M
G
→
+
2
G
C
→
=
0
→
⇔
4
M
G
→
+
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
+
G
C
→
=
0
→
⇔
4
M
G
→
+
G
C
→
=
0
→
⇔
M
G
→
=
1
4
C
G
→
Suy ra điểm M nằm giữa C và G sao cho
M
G
=
1
4
C
G
.
b) Ta có:
V
T
=
O
A
→
+
O
B
→
+
2
O
C
→
=
O
M
→
+
M
A
→
+
O
M
→
+
M
B
→
+
2
O
M
→
+
2
M
C
→
=
4
O
M
→
+
M
A
→
+
M
B
→
+
2
M
C
→
=
4
O
M
→
=
V
P
.
(DO
M
A
→
+
M
B
→
+
2
M
C
→
=
0
→
)
Bài 4.15 trang 59 Toán 10 Tập 1:
F
1
→
,
F
2
→
,
F
3
→
như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là
F
1
→
+
F
2
→
+
F
3
→
=
0
→
). Tính độ lớn của các lực
F
2
→
,
F
3
→
,
biết
F
1
→
có độ lớn là 20N.
Lời giải:
Ta có:
F
1
→
+
F
2
→
+
F
3
→
=
0
→
⇔
F
1
→
+
F
2
→
=
−
F
3
→
Mà
F
1
→
+
F
2
→
=
O
A
→
+
O
B
→
=
O
D
→
(OBDA là hình bình hành)
⇒
O
D
→
=
−
F
3
→
⇒Hai vecto
O
D
→
và
F
3
→
là hai vecto đối nhau
⇒
O
D
→
=
−
F
3
→
và
B
O
D
^
=
60
0
.
Ta lại có:
B
D
→
=
F
1
→
Xét ΔOBD, có:
O
B
=
B
D
tan
60
0
=
20
3
N
⇒
F
2
→
=
20
3
N
.
O
D
=
B
D
sin
60
0
=
40
3
3
N
⇒
F
3
→
=
40
3
3
N
.
Vậy độ lớn vecto
F
2
→
,
F
3
→
lần lượt là
20
3
N
,
40
3
3
N
.