Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây
Bài 3.12 trang 44 Toán 10 Tập 1:
B
^
=
135
0
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a)
A.
S
=
1
2
c
a
.
B.
S
=
−
2
4
a
c
.
C.
S
=
2
4
b
c
.
D.
S
=
2
4
c
a
.
b)
A.
R
=
a
sin
A
.
B.
R
=
2
2
b
.
C.
R
=
2
2
c
.
D.
R
=
2
2
a
.
c)
A.
a
2
=
b
2
+
c
2
+
2
a
b
.
B.
b
sin
A
=
a
sin
B
.
C.
sin
B
=
−
2
2
.
D. b2 = c2 + a2 – 2ca.cos1350.
Lời giải:
a) Diện tích tam giác ABC:
S
=
1
2
.
a
.
c
.
sin
B
=
1
2
a
.
c
.
sin
135
0
=
2
4
a
c
.
Chọn D.
b) Ta có:
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
=
2
R
(định lí sin)
⇒
R
=
b
2
sin
B
=
b
2
sin
135
0
=
b
2
=
2
2
b
.
Chọn B.
c) Theo định lí cos, ta có:
b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB = a2 + c2 – 2ac.cos1350.
Chọn D.
Bài 3.13 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a)
A.
S
=
a
b
c
4
r
.
B.
r
=
2
S
a
+
b
+
c
.
C. a2 = b2 + c2 + 2bc.cosA.
D. S = r(a + b + c).
b)
A. sinA = sin(B + C).
B. cosA = cos(B + C).
C. cosA > 0.
D. sinA ≤ 0
Lời giải:
a) Ta có:
S
=
p
r
=
a
b
c
4
R
=
a
+
b
+
c
r
2
.
Do đó A,D sai.
Theo định lí cos, ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA. Do đó C sai.
Ta có:
S
=
a
+
b
+
c
r
2
⇒
r
=
2
S
a
+
b
+
c
.
Do đó B đúng.
Chọn B
b) Ta có:
A
^
+
B
^
+
C
^
=
180
0
⇒
A
^
=
180
0
−
B
^
+
C
^
sin
A
^
=
sin
180
0
−
B
^
+
C
^
=
sin
B
^
+
C
^
. Do đó A đúng.
c
o
s
A
^
=
c
o
s
180
0
−
B
^
+
C
^
=
−
c
o
s
B
^
+
C
^
. Do đó B sai.
Ta có: cosA > 0 khi 00 <
A
^
< 900, mà góc A có thể là góc tù hay
A
^
>
90
°
. Do đó C sai.
Trong một tam giác, ta có:
0
0
≤
A
^
≤
180
0
⇒ sin A > 0. Do đó D sai.
Chọn A
Bài 3.14 trang 44 Toán 10 Tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) M = sin450.cos450 + sin300;
b)
N
=
sin
60
0
.
c
o
s
30
0
+
1
2
sin
45
0
.
c
o
s
45
0
;
c) P = 1 + tan2600;
d)
Q
=
1
sin
2
120
°
−
cot
2
120
°
.
Lời giải:
a) M = sin450.cos450 + sin300
=
2
2
.
2
2
+
1
2
=
1
2
+
1
2
=
1
b)
N
=
sin
60
0
.
c
o
s
30
0
+
1
2
sin
45
0
.
c
o
s
45
0
=
3
2
.
3
2
+
1
2
.
2
2
.
2
2
=
3
4
+
1
4
=
1
c) P = 1 + tan2600
=
1
+
3
2
=
1
+
3
=
4
d)
Q
=
1
sin
2
120
°
−
cot
2
120
°
.
Cách 1: Ta có
1
sin
2
120
°
=
1
+
cot
2
120
°
Do đó
Q
=
1
+
cot
2
120
°
−
cot
2
120
°
= 1.
Cách 2:
sin
120
°
=
3
2
;
cot
120
°
=
−
1
3
Thay vào Q, ta được:
Q
=
1
3
2
2
−
−
1
3
2
=
1
3
4
−
1
3
=
4
3
−
1
3
=
1
.
Bài 3.15 trang 44 Toán 10 Tập 1:
B
^
=
60
0
,
C
^
=
45
0
,
AC = 10. Tính a, R, S, r.
Lời giải:
Xét ΔABC, có:
Ta có:
A
^
=
180
0
−
B
^
−
C
^
=
1800 – 600 – 450 = 750
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
=
2
R
(định lí sin)
Diện tích tam giác ABC là:
S
=
1
2
.
b
.
a
.
sin
C
=
1
2
.10.11
,
15.
sin
45
0
≈ 39,42 (đvdt)
⇒
c
sin
C
=
b
sin
B
=
20
3
⇒
c
=
20
3
sin
C
=
20
3
.
sin
45
0
=
10
6
3
Ta có:
Vậy a = 11,15;
R
=
10
3
,
c
=
10
6
3
,
r = 2,69.
Bài 3.16 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:
a)
c
o
s
A
M
B
^
+
c
o
s
A
M
C
^
=
0
;
b) MA2 + MB2 – AB2 = 2MA.MB.cos
A
M
B
^
và MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MC.cos
A
M
C
^
;
c)
M
A
2
=
2
A
B
2
+
A
C
2
−
B
C
2
4
(công thức đường trung tuyến).
Lời giải:
a)
c
o
s
A
M
B
^
+
c
o
s
A
M
C
^
=
0
Ta có:
A
M
B
^
+
A
M
C
^
=
180
0
A
M
C
^
=
180
0
−
A
M
B
^
c
o
s
A
M
B
^
=
−
c
o
s
180
0
−
A
M
B
^
=
−
c
o
s
A
M
C
^
⇒
c
o
s
A
M
B
^
+
c
o
s
A
M
C
^
=
−
c
o
s
A
M
C
^
+
c
o
s
A
M
C
^
=
0
b) Xét ΔAMB, ta có:
AB2 = MA2 + MB2 – 2MA.MB.cos
A
M
B
^
⇔ MA2 + MB2 – AB2 = 2MA.MB.cos
A
M
B
^
(1)
Xét ΔAMC, ta có:
AC2 = MA2 + MC2 – 2MA.MC.cos
A
M
C
^
⇔ MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MC.cos
A
M
C
^
(2)
c) Cộng vế với vế của (1) với (2), ta được:
MA2 + MB2 – AB2 + MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MB.cos
A
M
B
^
+ 2MA.MC.cos
A
M
C
^
⇔
2
M
A
2
+
B
C
2
4
–
A
B
2
+
B
C
2
4
–
A
C
2
=
2
M
A
.
B
C
2
.
c
o
s
A
M
B
^
+
2
M
A
.
B
C
2
.
c
o
s
A
M
C
^
(Vì
M
B
=
M
C
=
B
C
2
)
⇔
M
A
2
=
2
A
B
2
+
A
C
2
−
B
C
2
4
(công thức đường trung tuyến).
Bài 3.17 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu góc A nhọn thì b2 + c2 > a2;
b) Nếu góc A tù thì b2 + c2 < a2;
c) Nếu góc A vuông thì b2 + c2 = a2.
Lời giải:
Xét ΔABC, có:
Theo định lí cos, ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
a) Nếu góc A nhọn thì cosA > 0 ⇒ 2bccosA > 0 ⇒ – 2bccosA < 0
Do đó: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA < b2 + c2
Vậy b2 + c2 > a2
b) Nếu góc A tù thì cosA > 0 ⇒ 2bccosA < 0 ⇒ – 2bccosA > 0
Do đó: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA > b2 + c2
Vậy b2 + c2 < a2.
c) Nếu góc A vuông thì cosA = 0 ⇒ 2bccosA = 0
Do đó: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA = b2 + c2
Vậy b2 + c2 = a2.
Bài 3.18 trang 45 Toán 10 Tập 1: Trên biển, tàu B ở vị trí cách tàu A 53 km về hướng N34°E. Sau đó, tàu B chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30km/h về hướng đông và tàu A chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50km/h để gặp tàu B.
a) Hỏi tàu A cần phải chuyển động theo hướng nào?
b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu A gặp tàu B?
Lời giải:
a) Gọi thời gian tàu A gặp tàu B ở vị trí C là x (h) (x > 0).
Vì tàu B chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30km/h đến C nên quãng đường BC là 30x (km).
Vì tàu A chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50km/h để đuổi kịp tàu B nên quãng đường AC là 50x (km).
Đặt
B
A
C
^
=
α
.
Do tàu B ở vị trí cách tàu A về hướng N34°E và tàu B chạy về hướng đông nên tàu A chạy từ A theo hướng N(34 + α)°E.
Theo định lí sin trong tam giác ABC, ta có:
B
C
sin
B
A
C
^
=
A
C
sin
A
B
C
^
.
Khi đó,
30
x
sin
α
=
50
x
sin
124
°
⇔
α ≈ 30° hoặc α ≈ 150° (loại do tổng ba góc trong tam giác bằng 180°).
Vậy tàu A chuyển động theo hướng N64°E để gặp tàu B.
b) Xét tam giác ABC, ta có:
A
^
=
α
=
30
°
;
A
B
C
^
=
124
°
.
⇒
C
^
=
180
o
−
(
A
^
+
B
^
)
=
180
°
−
(
30
°
+
124
°
)
=
26
°
.
Theo định lí sin, ta có:
B
C
sin
A
=
A
B
sin
C
⇒
B
C
=
A
B
.
sin
A
sin
C
Mà BC = 30x, AB = 53,
A
^
=
30
°
;
C
^
=
26
°
.
Khi đó,
30
x
=
53
.
sin
30
°
sin
26
°
⇔
30x ≈ 60
⇔
x ≈ 2 (giờ)
Vậy sau khoảng 2 giờ chạy theo hướng N64°E thì tàu A gặp tàu B.
Bài 3.19 trang 45 Toán 10 Tập 1: Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn Nhà (Home plate), gôn 1 (First base), gôn 2(Second base), gôn 3 (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4m. Vị trí đứng ném bóng (Pitcher’s mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 2 và cách gôn nhà 18,44m. Tính các khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3.
Lời giải:
A là vị trí gôn Nhà, B là vị trí gôn 1, C là vị trí gôn 2, D là vị trí gôn 3, E là vị trí ném bóng.
Khi đó ABCD là hình vuông nên đường chéo AC là tia phân giác của góc BAD hay AE là tia phân giác của góc BAD.
Suy ra
B
A
E
^
=
D
A
E
^
=
45
°
Xét ΔABE, có:
BE2 = AB2 + AE2 – 2.AB.AE.cos
B
A
E
^
(định lí côsin)
⇔ BE2 = 27,42 + 18,442 – 2.27,4.18,44.cos450
⇔ BE2 ≈ 376,25
⇔ BE ≈ 19,4 m.
Xét ΔABE và ΔADE, có:
AB = AD (gt)
B
A
E
^
=
D
A
E
^
=
45
0
AE chung
Do đó ΔABE = ΔCDE (c – g – c)
⇒ BE = DE (hai cạnh tương ứng)
⇒ DE = BE ≈ 19,4 m.
Vậy khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3 xấp xỉ bằng 19,4 m.