Chương 4: Vectơ

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây

Bài 4.27 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vecto nào sau đây có cùng phương?

A.



u







2


;


3



 và



v








1


2



;


6



.

B.



a








2



;


6



 và



b







1


;


3



2




.

C.



i







0


;


1



 và



j







1


;


0



.

D.



c







1


;


3



 và



d







2


;





6



.

Lời giải:

Hai vecto



u





 và



v





 là hai vecto không cùng phương vì



2



1


2






3


6


. Do đó A sai.

Hai vecto



a





 và



b





 là hai vecto cùng phương vì




2



1


=


6



3



2




=


2


. Do đó B đúng.

Hai vecto



i





 và



j





 là hai vecto không cùng phương vì



0


1





1


0


 và



1


0


 không tồn tại. Do đó C sai.

Hai vecto



c





 và



d





 là hai vecto không cùng phương vì



1


2





3






6



. Do đó D sai.

Chọn B.

Bài 4.28 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vecto nào sau đây vuông góc với nhau?

A.



u







2


;


3



 và



v







4


;


6



.

B.



a







1


;





1



 và



b










1


;


1



.

C.


z



a


;


b



 và



t










b


;


a



.

D.



n







1


;


1



 và



k







2


;


0



.

Lời giải:

Ta có:



u





.


v





= 2.4 + 3.6 = 8+18 = 26 ≠ 0. Suy ra hai vecto



u





,


v





 không vuông góc. Do đó A sai.

Ta có:



a





.


b





= 1.(–1) + (–1).1 = –1 + (–1) = –2 ≠ 0. Suy ra hai vecto



a





,


b





 không vuông góc với nhau. Do đó B sai.

Ta có:



z





.


t





= a.(–b) + b.a = –ab + ab = 0. Suy ra hai vecto



z





,


t





 vuông góc với nhau. Do đó C đúng.

Ta có:



n





.


k





= 1.2 + 1.0 = 2 +0 = 2 ≠ 0.Suy ra hai vecto



n





,


k





 không vuông góc. Do đó D sai.

Chọn C.

Bài 4.29 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, vecto nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. 



a







1


;


1



B. 



b







1


;





1



C. 



c







2


;



1


2




D. 



d








1



2




;







1




2





Lời giải:



a







1


;


1







a






=



1


2



+



1


2



=


2




1

. Do đó A sai.



b







1


;





1








b






=



1


2



+








1




2



=


2




1

. Do đó B sai.



c







2


;



1


2









c






=



2


2



+





1


2




2



=



17


4





1

. Do đó C sai.



d








1



2




;







1




2










d






=





1



2





2



+









1




2





2



=

1

. Do đó D đúng.

Chọn D

Bài 4.30 trang 71 Toán 10 Tập 1:



a







1


;





1



 và vecto



b










2


;


0



 có số đo bằng:

A. 900.

B. 00.

C. 1350.

D. 450.

Lời giải:

Ta có: 



a





.


b





=

1.






2



+






1



.0

=



2

,



a







=



1


2



+








1




2



=


2


,



b






=








2




2



+



0


2



=

2.




c

o

s




a






.



b







=




a






.



b










a







.




b








=






2




2



2




=




1



2









a






.



b







=


135


0


.

Chọn C

Bài 4.31 trang 71 Toán 10 Tập 1: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 





a






.



b








c





=


a








b






.



c







.

B. 






a






.



b








2


=



a






2


.



b






2


.

C. 



a





.


b





=



a






.



b






.

sin




a






,



b







.

D. 



a








b










c







=


a





.


b








a





.


c





.

Lời giải:

Theo tính chất của tích vô hướng ta có:



a








b










c







=


a





.


b








a





.


c





 (tính chất phân phối đối với phép trừ)

Chọn D

Bài 4.32 trang 71 Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 






A


B







,




B


D








=


45


0


.

B.






A


C







,




B


C








=


45


0


và 




A


C






.



B


C






=


a


2


.

C. 




A


C






.



B


D






=


a


2



2


.

D. 




B


A






.



B


D






=




a


2


.

Lời giải:

Lấy các điểm E, F sao cho ABDE, ABFC là các hình bình hành.

Vì ABDE là hình bình hành nên 




B


D






=



A


E













A


B







,




B


D








=





A


B







,




A


E








=



B


A


E



^


=


135


0


.

Do đó A sai.

Vì ABFC là hình bình hành nên 




A


C






=



B


F













A


C







,




B


C








=





B


F







,




B


C








=



C


B


F



^


=


45


0







A


C






.



B


C






=

A

C

.

B

C

.

c

o

s



C


B


F



^



=


2


a

.

a

.

c


os45


0


=


a


2


.

Do đó B đúng.

Ta có AC ⊥ BD






A


C






.



B


D






=

0

. Do đó C sai.

Ta có:




B


A






.



B


D






=

B

A

.

B

D

.

cos





B


A







,




B


D









=

B

A

.

B

D

.

cos



B


A


D



^


=

a

.

a


2


.

c


os45


0


=


a


2


.

 Do đó D sai.

Bài 4.33 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3MC.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vecto




M


B






 và




M


C






.

b) Biểu thị vecto




A


M






 theo hai vecto




A


B






và 




A


C






.

Lời giải:

a) Hai vecto




M


B






 và




M


C






 là hai vecto ngược hướng và MB = 3MC nên ta có:




M


B






=



3



M


C






.

Vậy mối liên hệ là: 




M


B






=



3



M


C






.

b) Ta có: 




A


M






=



A


B






+



B


M






=



A


B






+


3


4




B


C







=



A


B






+


3


4






A


C












A


B








=


1


4




A


B






+


3


4




A


C






.

Bài 4.34 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:




M


A






+



M


C






=



M


B






+



M


D






Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và O cũng là trung điểm của BD.


V

T

=



M


A






+



M


C






=



M


O






+



O


A






+



M


O






+



O


C






=

2



M


O






;


V

P

=



M


B






+



M


D






=



M


O






+



O


B






+



M


O






+



O


D






=

2



M


O






;




V

T

=

V

P

Bài 4.35 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2;1), B(-2;5) và C(-5;2).

a) Tìm tọa độ của các vecto




B


A






và 




B


C






.

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Lời giải:

a) Ta có:




B


A








4


;





4



và 




B


C











3


;





3



.

b) Ta có: 




B


A






.



B


C






= 4.(–3) + (–4).(–3) = –12 + 12 = 0

⇒ BA ⊥ BC

∆ABC vuông tại B.

Diện tích tam giác vuông ABC là:



S



Δ


A


B


C



=


1


2


.

A

B

.

B

C


=


1


2


.



4


2



+








4




2



.








3




2



+








3




2




=


1


2


.4


2


.3


2


=

12

 (đvdt)

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:







x


G



=




2


+







2




+







5





3



=







5



3








y


G



=




1


+


5


+


2



3



=



8


3









G








5



3



;



8


3




Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: 


G








5



3



;



8


3




.

d) Để tứ giác BCAD là hình bình hành khi 




D


A






=



B


C






Ta có:




D


A








2





x


;


1





y



và 




B


C











3


;





3



Khi đó, ta có hệ phương trình:






2





x


=





3






1





y


=





3











x


=


5






y


=


4







D



5


;


4



.

Vậy với D(5;4) thì tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Bài 4.36 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;2), B(3;4), C(-1;-2) và D(6;5)

a) Tìm tọa độ của các vecto




A


B






 và




C


D






.

b) Hãy giải thích tại sao các vecto




A


B






 và




C


D






 cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a;1). Tìm a để vecto




A


C






 và




B


E






cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vecto




A


E






 theo các vecto




A


B






 và




A


C






.

Lời giải:

a) Ta có:




A


B








2


;


2



 và




C


D








7


;


7



.

b) Hai vecto




A


B






 và




C


D






 cùng phương vì



7


2


=


7


2


.

c) Ta có:




A


C











2


;





4



và 




B


E








a





3


;





3



Để hai vecto




A


C






 và




B


E






cùng phương khi







2




a





3



=






4







3







4



a





3



=

6



a



3

=




3


2




a

=


3


2


.

Vậy


a

=


3


2


 thì hai vecto




A


C






 và




B


E






cùng phương

d) Với


a

=


3


2




E




3


2



;


1







A


E









1


2



;





1



,

Ta có:




A


B








2


;


2



và 




A


C











2


;





4



Tồn tại hai số thực u, v thỏa mãn:




A


E






=

u



A


B






+

v



A


C














1


2



=


u


.2


+


v


.







2








1


=


u


.2


+


v


.







4














2


u





2


v


=



1


2







2


u





4


v


=


1











u


=


0






v


=






1


4











A


E






=

0.



A


B









1


4




A


C






Vậy




A


E






=




1


4




A


C






.

Bài 4.37 trang 72 Toán 10 Tập 1:



a








0





.

 Chứng minh rằng



1




a







.


a





 (hay còn được viết là




a








a







) là một vecto đơn vị cùng hướng với



a





.

Lời giải:

Nhắc lại kiến thức:


k

.


a





 cùng hướng với



a





 nếu k > 0.

Ta có: 


k

=


1




a







>

0




a










0







Do đó



1




a







.


a





 cùng hướng với



a





 hay




a








a







cùng hướng với 



a





.

Bài 4.38 trang 72 Toán 10 Tập 1:



a





,


b





,


u





 với




a






=



b






=

1

 và



a








b





. Xét một hệ trục Oxy với hệ vecto đơn vị



i





=


a





,


j





=


b





. Chứng minh rằng:

a) Vecto



u





có tọa độ là 





u






.



a






,



u






.



b







.

 

b) 



u





=




u






.



a







.


a





+




u






.



b







.


b





.

Lời giải:

a) Vì



i





=


a








a







1


;


0



và 



j





=


b








b







0


;


1



Gọi tọa độ của vecto 



u







c


;


d



Khi đó, ta có:



u





.


a





=

1.

c

+

0.

d

=

c

;



u





.


b





=

0.

c

+

1.

d

=

d

;

Vì vậy tọa độ của vecto



u





là 





u






.



a






,



u






.



b







.

b) Ta có:





u






.



a







.


a





+




u






.



b







.


b





=

c

.


a





+

d

.


b





=

c



1


;


0



+

d

.



0


;


1



=



c


;


d



=


u





.

Bài 4.39 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S150E với vận tốc có độ lớn bằng 20km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3km/h.

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Trong đó:




A


B






 là hướng đông




A


D






 là hướng S150E




v


n






 là vận tốc dòng nước




v



c


n







 là vận tốc ca nô




v


r






 là vận tốc riêng của ca nô

Xét tam giác ABD, có:


B


D


2


=

A


B


2


+

A


D


2




2.

A

B

.

A

D

.

c

o

s



B


A


D



^


 (định lí cosin)







v


r







2


=




v


n







2


+




v



c


n








2




2.




v


n







.




v



c


n








.

c

o

s


15


0


= 32 + 202 – 2.3.20.cos150

≈ 291,09

⇒ vr ≈ 17,12

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 17,12 km/h.

 

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Đánh giá trung bình 5 / 5. Số lượt đánh giá: 897

Chưa có ai đánh giá! Hãy là người đầu tiên đánh giá bài này.

--Chọn Bài--

Tài liệu trên trang là MIỄN PHÍ, các bạn vui lòng KHÔNG trả phí dưới BẤT KỲ hình thức nào!

Tải xuống