Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây
Bài 4.27 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vecto nào sau đây có cùng phương?
A.
u
→
2
;
3
và
v
→
1
2
;
6
.
B.
a
→
2
;
6
và
b
→
1
;
3
2
.
C.
i
→
0
;
1
và
j
→
1
;
0
.
D.
c
→
1
;
3
và
d
→
2
;
−
6
.
Lời giải:
Hai vecto
u
→
và
v
→
là hai vecto không cùng phương vì
2
1
2
≠
3
6
. Do đó A sai.
Hai vecto
a
→
và
b
→
là hai vecto cùng phương vì
2
1
=
6
3
2
=
2
. Do đó B đúng.
Hai vecto
i
→
và
j
→
là hai vecto không cùng phương vì
0
1
≠
1
0
và
1
0
không tồn tại. Do đó C sai.
Hai vecto
c
→
và
d
→
là hai vecto không cùng phương vì
1
2
≠
3
−
6
. Do đó D sai.
Chọn B.
Bài 4.28 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vecto nào sau đây vuông góc với nhau?
A.
u
→
2
;
3
và
v
→
4
;
6
.
B.
a
→
1
;
−
1
và
b
→
−
1
;
1
.
C.
z
a
;
b
và
t
→
−
b
;
a
.
D.
n
→
1
;
1
và
k
→
2
;
0
.
Lời giải:
Ta có:
u
→
.
v
→
= 2.4 + 3.6 = 8+18 = 26 ≠ 0. Suy ra hai vecto
u
→
,
v
→
không vuông góc. Do đó A sai.
Ta có:
a
→
.
b
→
= 1.(–1) + (–1).1 = –1 + (–1) = –2 ≠ 0. Suy ra hai vecto
a
→
,
b
→
không vuông góc với nhau. Do đó B sai.
Ta có:
z
→
.
t
→
= a.(–b) + b.a = –ab + ab = 0. Suy ra hai vecto
z
→
,
t
→
vuông góc với nhau. Do đó C đúng.
Ta có:
n
→
.
k
→
= 1.2 + 1.0 = 2 +0 = 2 ≠ 0.Suy ra hai vecto
n
→
,
k
→
không vuông góc. Do đó D sai.
Chọn C.
Bài 4.29 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, vecto nào sau đây có độ dài bằng 1?
A.
a
→
1
;
1
B.
b
→
1
;
−
1
C.
c
→
2
;
1
2
D.
d
→
1
2
;
−
1
2
Lời giải:
Vì
a
→
1
;
1
⇒
a
→
=
1
2
+
1
2
=
2
≠
1
. Do đó A sai.
Vì
b
→
1
;
−
1
⇒
b
→
=
1
2
+
−
1
2
=
2
≠
1
. Do đó B sai.
Vì
c
→
2
;
1
2
⇒
c
→
=
2
2
+
1
2
2
=
17
4
≠
1
. Do đó C sai.
Vì
d
→
1
2
;
−
1
2
⇒
d
→
=
1
2
2
+
−
1
2
2
=
1
. Do đó D đúng.
Chọn D
Bài 4.30 trang 71 Toán 10 Tập 1:
a
→
1
;
−
1
và vecto
b
→
−
2
;
0
có số đo bằng:
A. 900.
B. 00.
C. 1350.
D. 450.
Lời giải:
Ta có:
a
→
.
b
→
=
1.
−
2
+
−
1
.0
=
−
2
,
a
→
=
1
2
+
−
1
2
=
2
,
b
→
=
−
2
2
+
0
2
=
2.
⇒
c
o
s
a
→
.
b
→
=
a
→
.
b
→
a
→
.
b
→
=
−
2
2
2
=
−
1
2
⇒
a
→
.
b
→
=
135
0
.
Chọn C
Bài 4.31 trang 71 Toán 10 Tập 1: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
a
→
.
b
→
c
→
=
a
→
b
→
.
c
→
.
B.
a
→
.
b
→
2
=
a
→
2
.
b
→
2
.
C.
a
→
.
b
→
=
a
→
.
b
→
.
sin
a
→
,
b
→
.
D.
a
→
b
→
−
c
→
=
a
→
.
b
→
−
a
→
.
c
→
.
Lời giải:
Theo tính chất của tích vô hướng ta có:
a
→
b
→
−
c
→
=
a
→
.
b
→
−
a
→
.
c
→
(tính chất phân phối đối với phép trừ)
Chọn D
Bài 4.32 trang 71 Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
A
B
→
,
B
D
→
=
45
0
.
B.
A
C
→
,
B
C
→
=
45
0
và
A
C
→
.
B
C
→
=
a
2
.
C.
A
C
→
.
B
D
→
=
a
2
2
.
D.
B
A
→
.
B
D
→
=
−
a
2
.
Lời giải:
Lấy các điểm E, F sao cho ABDE, ABFC là các hình bình hành.
Vì ABDE là hình bình hành nên
B
D
→
=
A
E
→
⇒
A
B
→
,
B
D
→
=
A
B
→
,
A
E
→
=
B
A
E
^
=
135
0
.
Do đó A sai.
Vì ABFC là hình bình hành nên
A
C
→
=
B
F
→
⇒
A
C
→
,
B
C
→
=
B
F
→
,
B
C
→
=
C
B
F
^
=
45
0
⇒
A
C
→
.
B
C
→
=
A
C
.
B
C
.
c
o
s
C
B
F
^
=
2
a
.
a
.
c
os45
0
=
a
2
.
Do đó B đúng.
Ta có AC ⊥ BD
⇒
A
C
→
.
B
D
→
=
0
. Do đó C sai.
Ta có:
B
A
→
.
B
D
→
=
B
A
.
B
D
.
cos
B
A
→
,
B
D
→
=
B
A
.
B
D
.
cos
B
A
D
^
=
a
.
a
2
.
c
os45
0
=
a
2
.
Do đó D sai.
Bài 4.33 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3MC.
a) Tìm mối liên hệ giữa hai vecto
M
B
→
và
M
C
→
.
b) Biểu thị vecto
A
M
→
theo hai vecto
A
B
→
và
A
C
→
.
Lời giải:
a) Hai vecto
M
B
→
và
M
C
→
là hai vecto ngược hướng và MB = 3MC nên ta có:
M
B
→
=
−
3
M
C
→
.
Vậy mối liên hệ là:
M
B
→
=
−
3
M
C
→
.
b) Ta có:
A
M
→
=
A
B
→
+
B
M
→
=
A
B
→
+
3
4
B
C
→
=
A
B
→
+
3
4
A
C
→
−
A
B
→
=
1
4
A
B
→
+
3
4
A
C
→
.
Bài 4.34 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:
M
A
→
+
M
C
→
=
M
B
→
+
M
D
→
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và O cũng là trung điểm của BD.
V
T
=
M
A
→
+
M
C
→
=
M
O
→
+
O
A
→
+
M
O
→
+
O
C
→
=
2
M
O
→
;
V
P
=
M
B
→
+
M
D
→
=
M
O
→
+
O
B
→
+
M
O
→
+
O
D
→
=
2
M
O
→
;
⇒
V
T
=
V
P
Bài 4.35 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2;1), B(-2;5) và C(-5;2).
a) Tìm tọa độ của các vecto
B
A
→
và
B
C
→
.
b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.
Lời giải:
a) Ta có:
B
A
→
4
;
−
4
và
B
C
→
−
3
;
−
3
.
b) Ta có:
B
A
→
.
B
C
→
= 4.(–3) + (–4).(–3) = –12 + 12 = 0
⇒ BA ⊥ BC
∆ABC vuông tại B.
Diện tích tam giác vuông ABC là:
S
Δ
A
B
C
=
1
2
.
A
B
.
B
C
=
1
2
.
4
2
+
−
4
2
.
−
3
2
+
−
3
2
=
1
2
.4
2
.3
2
=
12
(đvdt)
c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
x
G
=
2
+
−
2
+
−
5
3
=
−
5
3
y
G
=
1
+
5
+
2
3
=
8
3
⇒
G
−
5
3
;
8
3
Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là:
G
−
5
3
;
8
3
.
d) Để tứ giác BCAD là hình bình hành khi
D
A
→
=
B
C
→
Ta có:
D
A
→
2
−
x
;
1
−
y
và
B
C
→
−
3
;
−
3
Khi đó, ta có hệ phương trình:
2
−
x
=
−
3
1
−
y
=
−
3
⇔
x
=
5
y
=
4
⇒
D
5
;
4
.
Vậy với D(5;4) thì tứ giác BCAD là một hình bình hành.
Bài 4.36 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;2), B(3;4), C(-1;-2) và D(6;5)
a) Tìm tọa độ của các vecto
A
B
→
và
C
D
→
.
b) Hãy giải thích tại sao các vecto
A
B
→
và
C
D
→
cùng phương.
c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a;1). Tìm a để vecto
A
C
→
và
B
E
→
cùng phương.
d) Với a tìm được, hãy biểu thị vecto
A
E
→
theo các vecto
A
B
→
và
A
C
→
.
Lời giải:
a) Ta có:
A
B
→
2
;
2
và
C
D
→
7
;
7
.
b) Hai vecto
A
B
→
và
C
D
→
cùng phương vì
7
2
=
7
2
.
c) Ta có:
A
C
→
−
2
;
−
4
và
B
E
→
a
−
3
;
−
3
Để hai vecto
A
C
→
và
B
E
→
cùng phương khi
−
2
a
−
3
=
−
4
−
3
⇔
−
4
a
−
3
=
6
⇔
a
−
3
=
−
3
2
⇔
a
=
3
2
.
Vậy
a
=
3
2
thì hai vecto
A
C
→
và
B
E
→
cùng phương
d) Với
a
=
3
2
⇒
E
3
2
;
1
⇒
A
E
→
1
2
;
−
1
,
Ta có:
A
B
→
2
;
2
và
A
C
→
−
2
;
−
4
Tồn tại hai số thực u, v thỏa mãn:
A
E
→
=
u
A
B
→
+
v
A
C
→
⇔
1
2
=
u
.2
+
v
.
−
2
1
=
u
.2
+
v
.
−
4
⇔
2
u
−
2
v
=
1
2
2
u
−
4
v
=
1
⇔
u
=
0
v
=
−
1
4
⇒
A
E
→
=
0.
A
B
→
−
1
4
A
C
→
Vậy
A
E
→
=
−
1
4
A
C
→
.
Bài 4.37 trang 72 Toán 10 Tập 1:
a
→
≠
0
→
.
Chứng minh rằng
1
a
→
.
a
→
(hay còn được viết là
a
→
a
→
) là một vecto đơn vị cùng hướng với
a
→
.
Lời giải:
Nhắc lại kiến thức:
k
.
a
→
cùng hướng với
a
→
nếu k > 0.
Ta có:
k
=
1
a
→
>
0
a
→
≠
0
→
Do đó
1
a
→
.
a
→
cùng hướng với
a
→
hay
a
→
a
→
cùng hướng với
a
→
.
Bài 4.38 trang 72 Toán 10 Tập 1:
a
→
,
b
→
,
u
→
với
a
→
=
b
→
=
1
và
a
→
⊥
b
→
. Xét một hệ trục Oxy với hệ vecto đơn vị
i
→
=
a
→
,
j
→
=
b
→
. Chứng minh rằng:
a) Vecto
u
→
có tọa độ là
u
→
.
a
→
,
u
→
.
b
→
.
b)
u
→
=
u
→
.
a
→
.
a
→
+
u
→
.
b
→
.
b
→
.
Lời giải:
a) Vì
i
→
=
a
→
⇒
a
→
1
;
0
và
j
→
=
b
→
⇒
b
→
0
;
1
Gọi tọa độ của vecto
u
→
c
;
d
Khi đó, ta có:
u
→
.
a
→
=
1.
c
+
0.
d
=
c
;
u
→
.
b
→
=
0.
c
+
1.
d
=
d
;
Vì vậy tọa độ của vecto
u
→
là
u
→
.
a
→
,
u
→
.
b
→
.
b) Ta có:
u
→
.
a
→
.
a
→
+
u
→
.
b
→
.
b
→
=
c
.
a
→
+
d
.
b
→
=
c
1
;
0
+
d
.
0
;
1
=
c
;
d
=
u
→
.
Bài 4.39 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S150E với vận tốc có độ lớn bằng 20km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3km/h.
Lời giải:
Ta có hình vẽ sau:
Trong đó:
A
B
→
là hướng đông
A
D
→
là hướng S150E
v
n
→
là vận tốc dòng nước
v
c
n
→
là vận tốc ca nô
v
r
→
là vận tốc riêng của ca nô
Xét tam giác ABD, có:
B
D
2
=
A
B
2
+
A
D
2
−
2.
A
B
.
A
D
.
c
o
s
B
A
D
^
(định lí cosin)
⇔
v
r
→
2
=
v
n
→
2
+
v
c
n
→
2
−
2.
v
n
→
.
v
c
n
→
.
c
o
s
15
0
= 32 + 202 – 2.3.20.cos150
≈ 291,09
⇒ vr ≈ 17,12
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 17,12 km/h.