Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10 – Kết Nối Tri Thức: tại đây
Bài 7.26 trang 59 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?
A. 2x – y + 1 = 0.
B.
x
=
2
t
y
=
t
.
C. x2 + y2 = 1.
D. y = 2x + 3.
Lời giải:
Đáp án đúng là: B.
Phương trình tham số của đường thẳng có dạng
x
=
x
0
+
a
t
y
=
y
0
+
b
t
.
Do đó trong các phương trình đã cho, thì phương trình ở đáp án B là phương trình tham số của đường thẳng với x0 = y0 = 0, a = 2 và b = 1.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 7 trang 58, 59 hay, chi tiết khác:
Bài 7.27 trang 59 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng?
A. – x – 2y + 3 = 0.
B.
x
=
2
t
y
=
t
.
C. y2 = 2x.
D.
x
2
10
+
y
2
6
=
1
.
Lời giải:
Đáp án đúng là: A.
Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng ax + bx + c = 0 với a, b không đồng thời bằng 0.
Do đó, trong các đáp án đã cho, phương trình ở đáp án A là phương trình tổng quát của đường thẳng với a = – 1, b = – 2, c = 3.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 7 trang 58, 59 hay, chi tiết khác:
Bài 7.28 trang 59 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
A. x2– y2 = 1.
B. (x – 1)2 + (y – 2)2 = – 4.
C. x2 + y2 = 2.
D. y2 = 8x.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C.
Phương trình đường tròn có dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2.
Trong các đáp án trên, phương trình ở đáp án C là phương trình đường tròn với a = 0, b = 0 và R =
2
.
Chú ý: Phương trình ở đáp án B không phải là phương trình đường tròn vì – 4 < 0.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 7 trang 58, 59 hay, chi tiết khác:
Bài 7.29 trang 59 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?
A.
x
2
9
+
y
2
9
=
1
.
B.
x
2
1
+
y
2
6
=
1
.
C.
x
2
4
−
y
2
1
=
1
.
D.
x
2
2
+
y
2
1
=
1
.
Lời giải:
Đáp án đúng là: D.
Phương trình chính tắc của đường elip có dạng
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
với a > b > 0.
Ta có:
2
>
1
>
0
.
Do đó trong các đáp án đã cho, chỉ có phương trình ở đáp án D là phương trình chính tắc của đường elip.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 7 trang 58, 59 hay, chi tiết khác:
Bài 7.30 trang 59 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?
A.
x
2
3
−
y
2
2
=
−
1
.
B.
x
2
1
−
y
2
6
=
1
.
C.
x
2
6
+
y
2
1
=
1
.
D.
x
2
2
+
y
2
1
=
−
1
.
Lời giải:
Đáp án đúng là: B.
Phương trình chính tắc của đường hypebol có dạng
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
với a, b > 0.
Do đó trong các đáp án đã cho, chỉ có phương trình ở đáp án B là phương trình chính tắc của đường hypebol.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 7 trang 58, 59 hay, chi tiết khác:
Bài 7.31 trang 59 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?
A. x2 = 4y.
B. x2 = – 6y.
C. y2 = 4x.
D. y2 = – 4x.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C.
Phương trình chính tắc của đường parabol có dạng: y2 = 2px (với p > 0).
Do đó ta loại ngay đáp án A, B.
Đáp án D có – 4 < 0 nên đây cũng không phải phương trình chính tắc của parabol.
Vậy trong các đáp án đã cho, chỉ có phương trình ở đáp án C là phương trình chính tắc của parabol.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 7 trang 58, 59 hay, chi tiết khác:
Bài 7.32 trang 59 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(1; – 1), B(3; 5), C(– 2; 4). Tính diện tích tam giác ABC.
Lời giải:
Độ dài đường cao từ đỉnh A đến BC chính bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng BC, do đó diện tích của tam giác ABC bằng nửa tích khoảng cách từ A đến BC với BC.
Ta viết phương trình đường thẳng BC: có vectơ chỉ phương là
B
C
→
=
−
2
−
3
;
4
−
5
=
−
5
;
−
1
và đi qua B(3; 5).
Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là:
n
→
=
1
;
−
5
.
Do đó, phương trình đường thẳng BC là: 1(x – 3) – 5(y – 5) = 0 hay x – 5y + 22 = 0.
Áp dụng công thức khoảng cách ta có: d(A; BC) =
1
−
5.
−
1
+
22
1
2
+
−
5
2
=
14
26
13
.
Độ dài đoạn BC là: BC =
3
−
−
2
2
+
5
−
4
2
=
26
.
Vậy diện tích tam giác ABC là: SABC =
1
2
d(A; BC) . BC =
1
2
.
14
26
13
.
26
=
14
(đvdt).
Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 7 trang 58, 59 hay, chi tiết khác:
Bài 7.33 trang 59 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm A(– 1; 0) và B(3; 1).
a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB.
Lời giải:
a) Đường tròn tâm A đi qua B có bán kính R = AB =
3
−
−
1
2
+
1
−
0
2
=
17
.
Phương trình đường tròn tâm A(– 1; 0) và đi qua B là:
x
−
−
1
2
+
y
−
0
2
=
17
2
hay (x + 1)2 + y2 = 17.
b) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là
A
B
→
=
3
−
−
1
;
1
−
0
=
4
;
1
.
Suy ra một vectơ pháp tuyến của AB là
n
→
=
1
;
−
4
.
Đường thẳng AB đi qua điểm A(– 1; 0) và có một vectơ pháp tuyến là
n
→
=
1
;
−
4
, do đó phương trình tổng quát của đường thẳng AB là: 1(x + 1) – 4( y – 0) = 0 hay x – 4y + 1 = 0.
c) Đường tròn tâm O(0; 0) tiếp xúc với đường thẳng AB có bán kính bằng khoảng cách từ O đến AB.
Ta có: R = d(O; AB) =
0
−
4.0
+
1
1
2
+
−
4
2
=
1
17
.
Phương trình đường tròn tâm O có bán kính R =
1
17
là:
x
−
0
2
+
y
−
0
2
=
1
17
2
hay x2 + y2 =
1
17
.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 7 trang 58, 59 hay, chi tiết khác:
Bài 7.34 trang 59 Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2– 4x + 6y – 12 = 0.
a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (C).
b) Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.
Lời giải:
a) Ta có: x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 ⇔ x2 + y2 – 2 . 2 . x – 2 . (– 3) . y – 12 = 0.
Có các hệ số: a = 2, b = – 3, c = – 12.
Do đó, đường tròn (C) có tâm I(2; – 3) và bán kính R =
2
2
+
−
3
2
−
−
12
=
25
=
5
.
b) Vì 52 + 12– 4 . 5 + 6 . 1 – 12 = 0 nên điểm M(5; 1) thuộc (C).
Tiếp tuyến d của (C) tại M có vectơ pháp tuyến là
I
M
→
=
5
−
2
;
1
−
−
3
=
3
;
4
và đi qua M(5; 1) nên có phương trình là: 3(x – 5) + 4(y – 1) = 0 hay 3x + 4y – 19 = 0.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 7 trang 58, 59 hay, chi tiết khác:
Bài 7.35 trang 59 Toán 10 Tập 2:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
a
>
b
>
0
.
a) Tìm các giao điểm A1, A2 của (E) với trục hoành và các giao điểm B1, B2 của (E) với trục tung. Tính A1A2, B1B2.
b) Xét một điểm bất kì M(x0; y0) thuộc (E).
Chứng minh rằng, b2 ≤ x02 + y02 ≤ a2 và b ≤ OM ≤ a.
Chú ý: A1A2, B1B2 tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b.
Lời giải:
a)
+) Có A1 thuộc trục hoành Ox nên y = 0, hơn nữa A1 lại thuộc (E) nên
x
2
a
2
+
0
2
b
2
=
1
.
⇔ x2 = a2.
Chọn A1 nằm bên trái trục Oy nên có hoành độ âm. Vậy tọa độ A1(– a; 0).
Chọn A2 nằm bên phải trục Oy nên có hoành độ dương. Vậy tọa độ A2(a; 0).
Suy ra độ dài A1A2 =
a
−
−
a
2
+
0
−
0
2
=
2
a
2
=
2
a
(do a > 0).
+) B1 thuộc trục tung Oy nên x = 0,hơn nữa B1 lại thuộc (E) nên
0
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
.
⇔ y2 = b2.
Chọn B1 nằm phía dưới trục Ox nên có tung độ âm. Vậy tọa độ B1(0; – b).
Chọn B2 nằm phía trên trục Ox nên có tung độ dương. Vậy tọa độ B2(0; b).
Suy ra độ dài B1B2 =
0
−
0
2
+
b
−
−
b
2
=
2
b
2
= 2b (do b > 0).
Vậy A1A2 = 2a, B1B2 = 2b.
b) Vì M(x0; y0) thuộc (E) nên ta có tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình (E), do đó:
x
0
2
a
2
+
y
0
2
b
2
=
1
.
+) Giả sử b2 ≤ x02 + y02, chia cả hai vế cho b2 > 0 ta được:
b
2
b
2
≤
x
0
2
b
2
+
y
0
2
b
2
⇔
1
≤
x
0
2
b
2
+
y
0
2
b
2
⇔
x
0
2
a
2
+
y
0
2
b
2
≤
x
0
2
b
2
+
y
0
2
b
2
⇔
x
0
2
a
2
≤
x
0
2
b
2
Do a > b > 0 nên a2 > b2 > 0, và x02 ≥ 0 với mọi x0 nên
x
0
2
a
2
≤
x
0
2
b
2
luôn đúng.
Vậy b2 ≤ x02 + y02.
+) Chứng minh tương tự ta được: x02 + y02 ≤ a2.
Vậy b2 ≤ x02 + y02 ≤ a2 (*).
+) Ta lại có: OM =
x
0
2
+
y
0
2
Từ (*) ta suy ra:
b
≤
x
0
2
+
y
0
2
≤
a
Do đó: b ≤ OM ≤ a.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 7 trang 58, 59 hay, chi tiết khác:
Bài 7.36 trang 59 Toán 10 Tập 2:
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
.
a) Tìm các giao điểm A1, A2 của hypebol với trục hoành (hoành độ của A1 nhỏ hơn của A2).
b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ − a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.
c) Tìm các điểm M1, M2 tương ứng thuộc cách nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để M1M2 nhỏ nhất.
Lời giải:
a) A1 thuộc trục hoành nên y = 0, lại có A1 thuộc hypebol, do đó ta có:
x
2
a
2
−
0
2
b
2
=
1
⇔ x2 = a2.
Do hoành độ của A1 nhỏ hơn hoành độ của A2 nên ta xác định được tọa độ của hai điểm A1 và A2 là: A1(− a; 0) và A2(a; 0).
b) Điểm M(x; y) thuộc hypebol nên ta có:
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
.
Ta cần chứng minh: x2 ≥ a2 thì yêu cầu của bài toán được giải quyết.
Giả sử: x2 ≥ a2
⇔
x
2
a
2
≥
1
(chia cả 2 vế cho a2).
Vì
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
nên
x
2
a
2
=
1
+
y
2
b
2
≥
1
(do
y
2
b
2
≥
0
)
Do đó:
x
2
a
2
≥
1
luôn đúng.
Suy ra x2 ≥ a2.
+) Nếu M thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol thì hoành độ x < 0 mà x2 ≥ a2 nên x ≤ − a.
+) Nếu M thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol thì hoành độ x > 0 mà x2 ≥ a2 nên x ≥ a.
c) Gọi điểm M1(x1; y1) thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol nên hoành độ x1 < 0, M2(x2; y2) thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol nên hoành độ x2 > 0.
Theo câu b ta có: x1 ≤ − a và x2 ≥ a nên |x1| + |x2| ≥ a + a = 2a.
Do x1 < 0 và x2 > 0 nên x2 − x1 = |x2| + |x1| ≥ a + a = 2a.
Ta có: M1M2 =
x
2
−
x
1
2
+
y
2
−
y
1
2
; A1A2 =
a
−
−
a
2
+
0
−
0
2
=
2
a
2
Lại có: (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 ≥ (|x2| + |x1|)2 + 0 ≥ (2a)2.
Nên (M1M2)2 ≥ (A1A2)2
Suy ra M1M2 ≥ A1A2.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M1 trùng A1 và M2 trùng A2.
Vậy để M1M2 nhỏ nhất thì M1 trùng A1 và M2 trùng A2.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 7 trang 58, 59 hay, chi tiết khác:
Bài 7.37 trang 59 Toán 10 Tập 2: Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1 m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5 m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm chính giữa hai cột, trục Oy đi qua điểm chính giữa, hai bên cột lần lượt nằm về hai phía của trục tung (như hình vẽ).
Phương trình hypebol (H) có dạng:
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
(với a, b > 0).
Theo bài ra ta có: A1A2 = 0,8 m; AB = EH = 1 m. Khoảng cách giữa HE và AB là 6 m.
(H) cắt trục hoành tại hai điểm A1, A2, ta xác định được tọa độ 2 điểm là: A1(− 0,4; 0) và A2(0,4; 0).
Thay tọa độ A2 vào phương trình (H) ta được:
0,4
2
a
2
−
0
2
b
2
=
1
Suy ra a = 0,4 (do a > 0).
Ta xác định được tọa độ điểm E là E(0,5; 3).
(H) đi qua điểm có tọa độ E(0,5; 3) nên:
0,5
2
0,4
2
−
3
2
b
2
=
1
.
⇔ b2 = 16 ⇒ b = 4 (do b > 0).
Vậy phương trình (H) là:
x
2
0,4
2
−
y
2
4
2
=
1
hay
x
2
0,16
−
y
2
16
=
1
.
Gọi F là điểm thuộc hypebol mà cột có độ cao 5 m. Ở độ cao 5 m thì khoảng cách từ vị trí F đó đến trục hoành là 2 m, tương ứng ta có tung độ điểm F là y = 2, ta cần tìm hoành độ của F.
Thay y = 2 vào phương trình (H) ta có:
x
2
0,16
−
2
2
16
=
1
.
⇔ x2 = 0,2 ⇔ x ≈ ± 0,45.
Vậy độ rộng của cột là: 0,45 . 2 = 0,9 m (độ rộng là khoảng cách nên phải dương).
Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 7 trang 58, 59 hay, chi tiết khác: