Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây
- Sách giáo khoa đại số và giải tích 11
- Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
- Sách giáo khoa hình học 11
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11
- Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 11
- Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
- Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao
- Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao
- Giải Toán Lớp 11 Nâng Cao
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
- Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
Sách giải toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 64: Cho hai mặt phẳng song song α và β. Đường thẳng d nằm trong α (h.2.47). Hỏi d và β có điểm chung không?
Lời giải
hai mặt phẳng song song α và β ⇒ α và β không có điểm chung
Đường thẳng d nằm trong α ⇒ Đường thẳng d không nằm trong β
Vậy d và β không có điểm chung
Lời giải
Mặt phẳng (α) là mặt phẳng đi qua 3 trung điểm I, K, L của SA, SB, SC
Thật vậy, do I, K , L lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC nên IK, KL lần lượt là đường trung bình trong tam giác SAB và SBC
IK // AB ∈ (ABC) ⇒ IK // (ABC)
KL // BC ∈ (ABC) ⇒ KL // (ABC)
IK và KL cắt nhau và cùng // (ABC)
⇒ Mặt phẳng chứa IK và KL // (ABC) hay (α) // (ABC)
Lời giải
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
Bài 1 (trang 71 SGK Hình học 11): Trong mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (α). Trên a, b và c lần lượt lấy ba điểm A’, B’ và C’ tùy ý.
a) Hãy xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’).
b) Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.
Lời giải:
a) Giả sử (A’B’C’) ∩ d = D’
⇒ (A’B’C’) ∩ (C’CD) = C’D’.
+ AA’ // CC’ ⊂ (C’CD)
⇒ AA’ // (C’CD).
AB // CD ⊂ (CC’D)
⇒ AB // (CC’D)
(AA’B’B) có:
Mà (A’B’C’) ∩ (AA’B’B) = A’B’
⇒ (A’B’C’) cắt (C’CD) và giao tuyến song song với A’B’
⇒ C’D’ // A’B’.
b) Chứng minh tương tự phần a ta có B’C’ // A’D’.
Tứ giác A’B’C’D’ có: B’C’ // A’D’ và C’D’ // A’B’
⇒ A’B’C’D’ là hình bình hành.
Bài 2 (trang 71 SGK Hình học 11): Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.
a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’.
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (A’B’C’) với đường thẳng A’M.
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’).
d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mp(AMA’). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.
Lời giải:
a) Ta có: MM’// BB’ và MM’ = BB’ .
AA’ // BB’ và AA’ = BB’ (Do ABB’A’ là hình bình hành).
⇒ MM’ // AA’ và MM’ = AA’
⇒ AMM’A’ là hình bình hành.
b) Trong (AMM’A’) gọi O = A’M ∩ AM’, ta có :
Ta có : O ∈ AM’ ⊂ (AB’C’)
⇒ O = A’M ∩ (AB’C’).
c)
Gọi K = AB’ ∩ BA’, ta có :
K ∈ AB’ ⊂ (AB’C’)
K ∈ BA’ ⊂ (BA’C’)
⇒ K ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)
Dễ dàng nhận thấy C’ ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)
⇒ (AB’C’) ∩ (BA’C’) = KC’.
Vậy d cần tìm là đường thẳng KC’
d) Trong mp(AB’C’), gọi C’K ∩ AM’ = G.
Ta có: G ∈ AM’ ⊂ (AM’M)
G ∈ C’K.
⇒ G = (AM’M) ∩ C’K.
+ K = AB’ ∩ A’B là hai đường chéo của hình bình hành ABB’A’
⇒ K là trung điểm AB’.
ΔAB’C’ có G là giao điểm của 2 trung tuyến AM’ và C’K
⇒ G là trọng tâm ΔAB’C’.
Bài 3 (trang 71 SGK Hình học 11): Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.
b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
c) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.
d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và ΔA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.
Lời giải:
a) + A’D’ // BC và A’D’ = BC
⇒ A’D’CB là hình bình hành
⇒ A’B // D’C, mà D’C ⊂ (B’D’C) ⇒ A’B // (B’D’C) (1)
+ BB’ // DD’ và BB’ = DD’
⇒ BDD’B’ là hình bình hành
⇒ BD // B’D’, mà B’D’ ⊂ (B’D’C) ⇒ BD // (B’D’C) (2)
A’B ⊂ (BDA’) và BD ⊂ (BDA’); A’B ∩ BD = B (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra : (BDA’) // (B’D’C).
b) Gọi O = AC ∩ BD
+ Ta có: O ∈ AC ⊂ (AA’C’C)
⇒ A’O ⊂ (AA’C’C).
Trong (AA’C’C), gọi A’O ∩ AC’ = G1.
G1 ∈ A’O ⊂ (A’BD)
⇒ G1 ∈ AC’ ∩ (BDA’).
+ Trong hình bình hành AA’C’C gọi I = A’C ∩ AC’
⇒ A’I = IC.
⇒ AI là trung tuyến của ΔA’AC
⇒ G1 = A’O ∩ AC’ là giao của hai trung tuyến AI và A’O của ΔA’AC
⇒ G1 là trọng tâm ΔA’AC
⇒ A’G1 = 2.A’O/3
⇒ G1 cũng là trọng tâm ΔA’BD.
Vậy A’C đi qua trọng tâm G1 của ΔA’BD.
Chứng minh tương tự đối với điểm G2.
c) *Vì G1 là trọng tâm của ΔAA’C nên AG1/AI = 2/3 .
Vì I là trung điểm của AC’ nên AI = 1/2.AC’
Từ các kết quả này, ta có : AG1 = 1/3.AC’
*Chứng minh tương tự ta có : C’G2 = 1/3.AC’
Suy ra : AG1 = GG2 = G2C’ = 1/3.AC’.
d) (A’IO) chính là mp (AA’C’C) nên thiết diện cần tìm chính là hình bình hành AA’C’C.
Bài 4 (trang 71 SGK Hình học 11): Cho hình chóp S. ABCD. Gọi A1 là trung điểm của cạnh SA và A2 là trung điểm của đoạn AA1. Gọi (α) và (β) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua A1, A2. Mặt phẳng (α) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B1, C1, D1 . Mặt phẳng (β) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B2, C2, D2. Chứng minh:
a) B1, C1, D1 lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.
b) B1B2 = B2B, C1C2 = C2C, D1D2 = D2D.
c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD.
Lời giải:
a) Chứng minh B1, C1, D1 lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD
Ta có:
⇒A1B1 là đường trung bình của tam giác SAB.
⇒ B1 là trung điểm của SB (đpcm)
*Chứng minh tương tự ta cũng được:
• C1 là trung điểm của SC.
• D1 là trung điểm của SD.
b) Chứng minh B1B2 = B2B, C1C2 = C2C, D1D2 = D2D.
⇒A2B2 là đường trung bình của hình thang A1B1BA
⇒ B2 là trung điểm của B1B
⇒ B1B2 = B2B (đpcm)
*Chứng minh tương tự ta cũng được:
• C2 là trung điểm của C1C2 ⇒ C1C2 = C2C
• D2 là trung điểm của D1D2 ⇒ D1D2 = D2D.
c) Các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD, đó là : A1B1C1D1.ABCD và A2B2C2D2.ABCD