Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây
- Sách giáo khoa đại số và giải tích 11
- Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
- Sách giáo khoa hình học 11
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11
- Giải Toán Lớp 11
- Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 11
- Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
- Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao
- Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
- Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
Sách giải toán 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 12 (trang 102 sgk Hình học 11 nâng cao): Khẳng định : “Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mp(P) thì nó vuông góc với (P)” có đúng không? Vì sao?
Lời giải:
Giải bài 12 trang 102 SGK Hình học 11 nâng cao
Không đúng vì nếu a ⊥ b và b // c (trong đó b, c nằm trong(P)) thì a chưa hẳn vuông góc với (P)
n→
Bài 13 (trang 102 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai đường thẳng a, b và mp(P) . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Nếu a // (P) và b ⊥ (P) thì b ⊥ a
b) Nếu a // (P) và b ⊥ a thì b ⊂ (P)
c) Nếu a // (P) b // a thì b // (P)
Lời giải:
Giải bài 13 trang 102 SGK Hình học 11 nâng cao
a) Đúng a // β nên tồn tại a’⊂ (P) sao cho a // a’ mà b ⊥ (P) nên b ⊥ a’. Do đó b ⊥ a
b) Sai b có thể song song với (P)
c) Sai b có thể nằm trong (P)
n→
Bài 14 (trang 102 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho điểm S có hình chiếu trên mp(P) là H . Với điểm M bất kì trên (P) (M không trùng H ), ta gọi đoạn thẳng SM là đường xiên , đoạn thẳng HM là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng :
a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau
b) Với đường xiên cho trước , đường xiên nào dài hơn thì có hình chiếu dài hơn và ngược lại , đường xiên nào có hình chiếu ngắn hơn thì ngắn hơn
Lời giải:
Giải bài 14 trang 102 SGK Hình học 11 nâng cao
a) Giả sử HM, HN lần lượt là hình chiếu của SM , SN.
– NẾU SM = SN thì ΔSHM = ΔSHN nên HM = HN
Ngược lại nếu HM = HN thì
ΔSHM = ΔSHN nên SM = SN
Vậy SM = SN ⇔ HM = HN
b) Áp dụng định lí pytago ta có :
SM2 – HM2 = SN2 – HN2 (= SH2 )
SM2 – SN2 = HM2 – HN2 . Từ đó suy ra SM > SN ⇔ HM > HN(đpcm)
n→
Bài 15 (trang 102 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tứ diện ABCD . Tìm điểm O cách đều bốn đỉnh của tứ diện
Lời giải:
Giải bài 15 trang 102 SGK Hình học 11 nâng cao
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp của ΔBCD. Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(BCD).
Theo kết quả bài 14. M Є d ⇔ MB = MC = MD (d là trục của đường tròn ngoại tiếp (BCD))
Gọi O là giao điểm của d với mặt phẳng trung trực của AB thì O cách đều bốn đỉnh của tứ diện (O gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD)
n→
Bài 16 (trang 103 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một góc vuông và AB = a, BC = b, CD = c.
a) Tính độ dài AD
b) Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D
Lời giải:
Giải bài 16 trang 103 SGK Hình học 11 nâng cao
a) Ta có CD ⊥ BC và CD ⊥ AB nên CD ⊥ (ABC)
Mà AC ⊂ (ABC) do đó CD ⊥ AC
Trong tam giác vuông ABC ta có :
AC2 = AB2 +BC2 = a2 + b2
trong tam giác vuông ACD ta có :
AD2 = AD2 +CD2 = a2 + b2 + c2 =>AD=√(a2 +b2 +c2 )
b) Ta có AB ⊥ BC và AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ (BCD) do đó AB ⊥ BD. Gọi I là trung điểm AD ta có IC = IA = ID = IB. Vây I cách đều A, B, C, D.
n→
Bài 17 (trang 103 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một góc vuông
a) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn
b) Chứng minh hình chiếu H của điểm O trên mp(ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC
Lời giải:
Giải bài 17 trang 103 SGK Hình học 11 nâng cao Giải bài 17 trang 103 SGK Hình học 11 nâng cao
(OBA) nên OA ⊥ BC. Vậy AH ⊥ BC (định lí ba đường vuông góc), tức là H thuộc 1 đường cao của tam giác ABC . Tương tự như trên ta cũng có H thuộc đường cao thứ hai của tam giác ABC. Vậy H là trực tâm tam giác ABC.
c) Nếu AH ⊥ BC tại A’ thì BC ⊥ OA’. Vì OH là đường cao của tam giác vuông AOA’ (vuông tại O) và OA’ là đường cao của tam giác vuông BOC (vuông tại O) nên :
n→
Bài 18 (trang 103 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ mp(ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a) AH, SK, BC đồng quy
b) SC ⊥ mp(BHK);
c) HK ⊥ mp(SBC)
Lời giải:
Giải bài 18 trang 103 SGK Hình học 11 nâng cao
a) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AH và BC
Ta có BC ⊥ AH (do h là trực tâm ΔABC)
BC ⊥ SA (do SA ⊥ mp(ABC))
⇒ BC ⊥ (SAI) mà SI ⊂ (SAI) nên : BC ⊥ SI
K là trực tâm ΔABC nên SI qua K
Vậy AH, SK, BC đồng quy tại I
b) Ta có BH ⊥ AC và BH ⊥ SA nên :
BH ⊥ mp(SAC) suy ra BH ⊥ SCH
Mặt khác SC ⊥ BK nên SC ⊥ mặt phẳng(BHK)
c) Ta có SC ⊥ HK (do HK ⊥ mặt phẳng(BHK))
Mà HK ⊥ BC (do BC ⊥ mặt phẳng(SAI))
Vậy HK ⊥ (SBC).
n→
Bài 19 (trang 103 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
a) Chứng minh rằng SG ⊥ (ABC) . Tính SG
b) Xét mp(P) di qua A và vuông góc với đường thẳng SC . Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại C_1 nằm giữa S và C . Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bới mp(P)
Lời giải:
Giải bài 19 trang 103 SGK Hình học 11 nâng cao Giải bài 19 trang 103 SGK Hình học 11 nâng cao
a) Vì SA= SB = SC nên S nằm trên trục của đường thẳng tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Mà G là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC nên SG ⊥ (ABC). Gọi I là trung điểm của BC, ta có AI ⊥ BC và BC ⊥ SI
n→
Bài 20 (trang 103 sgk Hình học 11 nâng cao):
a) Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. Chứng minh rằng AD ⊥ BC. Vậy các cạnh đối diện của tứ diện đó vuông góc với nhau. Tứ diện như thế gọi là tứ diện trực tâm.
b) Chứng minh các mệnh đề sau đây là tương đương.
i) ABCD la tứ diện trực tâm.
ii) Chân đường cao của tứ diện hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm của mặt đối diện.
iii) chứng minh rằng bốn đường cao của tứ diện trực tâm đồng quy taị 1 điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tứ diện nói trên.
Lời giải:
Giải bài 20 trang 103 SGK Hình học 11 nâng cao Giải bài 20 trang 103 SGK Hình học 11 nâng cao
c) Gọi K là trực tâm tam giác ACD thì K nằm trên AI (với BI ⊥ CD). Từ đó suy ra AH và BK cắt nhau do chúng cùng thuộc mp(ABI)
Tương tự bốn đường cao của tứ diện tâm cắt nhau đôi một và không cùng nằm trên một mặt phẳng nên chúng đồng quy.
n→