Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây
- Sách giáo khoa đại số và giải tích 11
- Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
- Sách giáo khoa hình học 11
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11
- Giải Toán Lớp 11
- Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 11
- Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
- Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao
- Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
- Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
Sách giải toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 29 (trang 67 sgk Hình học 11 nâng cao): Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
c) Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên một mặt phẳng đều song song với mặt phẳng còn lại.
d) Nếu hai mặt phẳng song song thì mỗi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia.
e) Nếu hai mặt phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì song song với nhau.
f) Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.
Lời giải:
a) Sai vì hai mặt phẳng có thể cắt nhau theo giao tuyến song song với đường thẳng đã cho
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
e) Sai vì có thể hai mặt phẳng cắt nhau
f) Đúng
X→
Bài 30 (trang 67 sgk Hình học 11 nâng cao): Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Hình hộp là một hình lăng trụ.
b) Hình lăng trụ có tất cả các cạnh song song.
c) Hình lăng trụ có tất cả các cạnh bằng nhau.
d) Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành.
e) Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau.
Lời giải:
a) Đúng.
b) Sai vì cạnh đáy không song song với cạnh bên.
c) Sai.
d) Đúng.
e) Đúng.
X→
Bài 31 (trang 68 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai đường thẳng chéo nhau. Chứng minh rằng có đúng hai mặt phẳng song song với nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng đó.
Lời giải:
Gọi hai đường thẳng chéo nhau là a và b.
– Trên đường thẩng a ta lấy điểm M, qua M kẻ đường thẳng b’ // b.
– Trên đường thẳng b ta lấy điểm N, qua N ta kẻ đường thẳng a’ // a.
– Gọi (α) = mp(a, b’), (β) = mp(b, a’) thì (α) // (β) .
– Ta chứng tỏ cặp mp(α) , (β) là duy nhất . Thật vâỵ giả sử tồn tại cặp (α’) , (β’) sao cho (α’) chứa a, (β’) chứa b và (α’) // (β’). Ta chứng minh (α’) ≡ (α) và (β’) ≡ (β)
+ Do (α’) và (α) cùng chứa a, nên nếu (α’) và (α) không trùng nhau thì (α’) ∩ (α)= a (1)
+ Do (α’) // (β’) ⇒ b // (α) (2)
+ Do (α) // (β) ⇒ b // (α) (3)
Từ (1) , (2), (3) suy ra a // b mâu thuẫn giả thiết
Vậy (α’) ≡(α), tương tự (β’) ≡ (β)
Do đó cặp mp(α), (β) duy nhất.
X→
Bài 32 (trang 68 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Chứng minh rằng nếu điểm M không nằm trên (P) và không nằm trên (Q) thì duy nhất một đường thẳng đi qua M cắt cả a và b
Lời giải:
Giải bài 32 trang 68 SGK Hình học 11 nâng cao
Giả sử c = mp(M, a) ∩ mp(M, b). Ta cần chứng minh c cắt cả a và b. Vì c và a cùng nằm trên một mặt phẳng và không thể trùng nhau (do c qua M và a không đi qua M) nên hoặc c // a hoặc c cắt b. Cũng vậy hoặc c // b hoặc c cắt b. Không thể xảy ra đồng thời c // a, c // b vì a, b chéo nhau. Vậy nếu c song song với a thì c phải cắt b , tức là c qua một điểm của mp(Q), và do đó M thuộc (Q) (trái giả thiết). Tương tự, không thể có c song song với b. Tóm lại c phải cắt a và b
Nếu còn có đường thẳng c’ khác đi qua M, cắt cả a và b thì a và b đồng phẳng. Vô lí
X→
Bài 33 (trang 68 sgk Hình học 11 nâng cao): Trong mặt phảng (P) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d đôi một song song với nhau và không nằm trên (P). Một mặt phẳng cắt a, b, c, d lần lượt tại 4 điểm A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng A’, B’, C’, D’ là hình bình hành
Lời giải:
Giải bài 33 trang 68 SGK Hình học 11 nâng cao
Tương tự (a, b) // (c, d)
Vì hai mp(a, b) và (c, d) song song nhau nên mp(A’B’C’) cắt hai mặt phẳng này lần lượt theo hai giao tuyến A’B’ và C’D’ song song nhau
Tương tự A’D’//B’C’
Vậy A’B’C’D’là hình bình hành
X→
Bài 34 (trang 68 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB . Hỏi mp(P) qua M , song song với cả AD và BC có đi qua trung điểm N của CD không? Tại sao?
Lời giải:
Giải bài 34 trang 68 SGK Hình học 11 nâng cao
Giả sử (P) cắt BD , AC và CD lần lượt tại F, E, N
Vì AD// (P) nên (P) cắt mp(ABD) theo giao tuyến MF//AD.
Vì M là trung điểm của AB nên F là trung điểm của BD. Vì BC // (P) nên(P) cắt mp(BCD) theo giao tuyến FN // BC. Vì F là trung điểm của BD nên N là trung điểm của CD.
X→
Bài 35 (trang 68 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q) . Tìm tập hợp các điểm I thuộc đoan thẳng MN sao cho IM/IN = k, k ≠ 0 cho trước
Lời giải:
Giải bài 35 trang 68 SGK Hình học 11 nâng cao
Thuận. Giả sử M Є (P) (N) Є (Q) và điểm I thuộc đoạn thẳng MN sao cho :
Trên hai mp(P), (Q) ta lần lượt lấy hai điểm cố định Mo và No rồi lấy một điểm Io thuộc đoạn thẳng MoNo sao cho∶
Áp dụng định lí Ta-lét đảo, ta suy ra đường thẳng IoI thuộc một mặt phẳng song song với (P) và (Q). Mp(R) cố định vì nó qua điểm cố định Io và song song với mặt phẳng cố định (P). Vậy điểm I thuộc mp(R) cố định
Đảo. Ngược lại, lấy một điểm I’ bất kì trên mp(R). Qua I’ ta kẻ một đường thẳng cắt hai mp(P) và (Q) lần lượt tại M’, N’. Xét hai cát tuyến MoNo, M’N’ và ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) . Theo định lí ta-lét ta có :
X→
Bài 36 (trang 68 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho lăng trụ ABC.A’B’C. Gọi H là trung điểm của canh A’B’.
a) Chứng minh rằng đường thẳng CB’ song song với mp(AHC’)
b) Tìm giao tuyến d của hai mp(A’B’C’) và (A’BC). Chứng minh rằng d song song với mp(BB’C’C)
c) Xác định thiết diện của hình lăng trụ ABC. A’B’C’ khi cắt bởi mp(H, d).
Lời giải:
Giải bài 36 trang 68 SGK Hình học 11 nâng cao
a) Chứng minh CB’// (AHC’) ta tìm trong(AHC’) một đường thẳng song song với CB’ , muốn vậy ta tìm giao điểm của một mặt phẳn chứA CB’ với (AHC’) đó là (A’C’B’). Gọi O là giao điểm AC và A’C.AA’C’C là hình bình hành nên O là trung điểm của A’C
Do đó HO là đường trung bình của ΔA’B’C’
⇔ HO // BC ⇒ BC // (AHC’)
(Vì HO ⊂ (AHC’) )
b) Tìm giao tuyến d của (A’B’C’) và (A’BC)
Gọi O là giao điểm của AB’ và A’B thì O, O’ là hai điểm chung của hai mặt phẳng
(AB’C’) và (A’BC) nên : (AB’C’) ∩ (A’BC) = OO’
Vậy d = OO’. Ta có O’ là trung điểm của AB’(vì AA’B’B là hình bình hành)
⇔ OO’ là đường trung bình của ΔAB’C’
⇔ OO’ // B’C’// BC ⇒ OO’// (BB’C’C)⇒ d // (BB’C’C)
c) Gọi {K} = HO’ ∩ AB thì HK // AA’
Qua O kẻ ML// AA’(M Є A’C’, L Є AC). Thiết diện cần tìm là hình bình hành HKLM
X→
Bài 37 (trang 68 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’:
a) Chứng minh rằng (BDA’) // mp(B’D’C’)
b) Chứng minh rằng chéo AC’ đi qua các trọng tâm G1,G2, của hai tam giác BDA’ và B’D’C
c) Chứng minh rằng G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau
d) Chứng minh các trung điểmcủa sau cạnh BC, CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B
Lời giải:
Giải bài 37 trang 68 SGK Hình học 11 nâng cao Giải bài 37 trang 68 SGK Hình học 11 nâng cao
a) Chứng minh (BDA’) // (B’D’C’)
Ta có tứ giác BB’D’D và A’B’CD là các hình bình hành nên:
BD // B’D’và DA’// B’C ⇒ hai mp(BDA’) và (B’D’C’) có các cặp đường thẳng cắt nhau và song song nhau từng đôi một nên chúng song song
Vậy (BDA’)// (B’D’C’)
Chứng minh G1,G2 Є AC’
Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và A’B’C’D’
Trong mp(AA’C’C) gọi G1,G2 lần lượt là giao điểm của AC’với A’O và O’C. Ta chứng minh G1,G2, lần lượt là trọng tâm của ΔA’BD và ΔCB’D’
Thật vây, ta có ΔG1OA ∼ ΔG1A’C'(vì AC // A’C’)
d) Gọi M, N, P, Q, S, R lần lượt là trung điểm của các cạnh :
AB, AD, DD’, C’D’, C’B’, C’B’
X→
Bài 38 (trang 68 sgk Hình học 11 nâng cao): Chứng minh rằng tổng bình phương tất cả các đường chéo của một hình hộp bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình hộp đó
Lời giải:
Giải bài 38 trang 68 SGK Hình học 11 nâng cao
Áp dụng tính chất “Trong một hình bình hành tổng bình phương hai đường chéo bằng tổng bình phương bốn cạnh”.
Đặt : AB = a, BC = b, AA’= c (đó là 3 kích thước của hình hộp)
Trong hình bình hành ABC’D’ Ta có :
AC2 + BD2 = 2(a2 + BC2 )(1)
Tron hình bình hành A’B’CD Ta có :
A’C2 + BD2 = 2(a2 + B’C2 )(2)
Cộng (1) và (2) ta được :
AC2 + BD2 + A’C2 + B’D2 = 2(2a2 + BC’2 + B’C2 (3)
Mặt khác trong hình bình hành BB’C’C Ta có
BC2 + B’C2 = 2(b2 + c2 )(4)
Thay (4) và (3) ta được :
AC2 + BD2 + A’C2 + B’D2 = 4(a2 + b2 + c2)(đpcm)
X→
Bài 39 (trang 68 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’có đáy lớn ABC và cạnh bên AA’, BB’, CC’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và M’, N’, P’ lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, B’C’, C’A’. Chứng minh MNP. M’N’P’ là hình chóp cụt.
Lời giải:
Giải bài 39 trang 68 SGK Hình học 11 nâng cao
Gọi S là giao điểmcác cạnh AA’, BB’, CC’ của hình chóp cụt do A’B’//AB và M’, M lần lượt là trung điểm của A’B’, AB nên MM’ đi qua S . Tương tự NN’ PP’ cùng đi qua S.
Vậy MM’, NN’, PP’ đồng quy tại S.
Ta có (M’N’P’) // (MNP) nên MNP. M’N’P’ là hình chọp cụt
X→